2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (IV).doc

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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (IV) 注意事項(xiàng)： 1.答題時(shí)，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置。 2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 4.選做題的作答：先把所做題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 5.考試結(jié)束后，請將答題卡上交； 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1.已知集合， ，則A∩B=（　?。? A. B. C. （0，1] D. （0，3] 【答案】D 【解析】 由解得，所以，由解得，所以，故，選D. 2.設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ， ，，故選A。 3.若命題：“，”為假命題，則的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 原命題若為假命題，則其否定必為真，即 ax2﹣ax﹣2≤0恒成立，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解不等式可得答案． 【詳解】∵命題”為假命題，命題“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”為真命題， 當(dāng)a＝0時(shí)，﹣2≤0成立， 當(dāng)a≠0時(shí)，a＜0，故方程ax2﹣ax﹣2＝0的△＝a2+8a≤0解得：﹣8≤a＜0， 故a的取值范圍是：[﹣8，0] 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，其中將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，是解答本題的關(guān)鍵． 4.已知：，，若函數(shù)和有完全相同的對稱軸，則不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，所以 因此 ，選B. 5.執(zhí)行程序框圖，假如輸入兩個(gè)數(shù)是、，那么輸出的=( ) A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 分析：模擬執(zhí)行程序框圖可知程序框圖的功能是求，的值，用裂項(xiàng)法即可得解． 詳解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 是、，， 滿足條件 ， 滿足條件 滿足條件 不滿足條件 ，退出循環(huán)，輸出 的值為4． 故選C． 點(diǎn)睛：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查了數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題． 6.某多面體的三視圖如圖所示，正視圖中大直角三角形的斜邊長為，左視圖為邊長是1的正方形，俯視圖為有一個(gè)內(nèi)角為的直角梯形，則該多面體的體積為（） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 由題可知，， 所以，故選C。 7.已知5臺機(jī)器中有2臺存在故障，現(xiàn)需要通過逐臺檢測直至區(qū)分出2臺故障機(jī)器為止.若檢測一臺機(jī)器的費(fèi)用為1000元，則所需檢測費(fèi)的均值為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 設(shè)檢測的機(jī)器的臺數(shù)為x,則x的所有可能取值為2,3,4. 所以， 所以所需的檢測費(fèi)用的均值為10003.5=3500. 故選C. 8.已知實(shí)數(shù)，滿足，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，分類討論求得最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)即可得到答案 【詳解】由作出可行域如圖： 聯(lián)立，解得 聯(lián)立，解得 化為 由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線過時(shí)在軸上的截距最大，有最小值為，即 當(dāng)時(shí)，直線過時(shí)在軸上的截距最大，有最小值為，即 綜上所述，實(shí)數(shù)的值為 故選 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是簡單線性規(guī)劃，本題有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，一是可行域錯(cuò)誤；二是不能正確的對進(jìn)行分類討論，根據(jù)不同情況確定最優(yōu)解，利用最小值求解的值，并確定是否符合題意，線性規(guī)劃題目中含有參數(shù)的問題是?？碱} 9.函數(shù)，則使得成立的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：先判斷出偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，然后根據(jù)對稱性將函數(shù)不等式化為絕對值不等式求解． 詳解：由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，， ∴在上單調(diào)遞減， ∵是偶函數(shù)， ∴在上單調(diào)遞增． ∵， ∴， 兩邊平方后化簡得且， 解得或， 故使不等式成立的取值范圍是． 故選B． 點(diǎn)睛：①解題時(shí)要注意函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，對于圖象具有對稱性的函數(shù)，在解不等式時(shí)，可將不等式轉(zhuǎn)化為變量到對稱軸的距離的大小關(guān)系求解． ②解絕對值不等式時(shí)，要根據(jù)絕對值不等式的特點(diǎn)進(jìn)行求解，解題時(shí)要注意絕對值的幾何意義的利用． 10.(xx太原五中模擬)已知的外接圓的圓心為，半徑，如果，且，則向量在方向上的投影為(　　) A. 6 B. －6 C. D. 【答案】B 【解析】 由＝0得，＝∴DO經(jīng)過邊EF的中點(diǎn)， ∴DO⊥EF.連接OF，∵||＝||＝||＝4， ∴△DOF為等邊三角形， ∴∠ODF＝60.∴∠DFE＝30，且EF＝4sin 602＝4. ∴向量在方向上的投影為 ||cos〈,〉＝4cos 150＝－6，故選B. 點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的類型及求法 (1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式ab＝|a||b|cos θ；二是坐標(biāo)公式ab＝x1x2＋y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義. (2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡. 11.直線與圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線、的傾斜角分別為、，則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函數(shù)的定義得：cosα+cosβ＝x1+x2，由此利用韋達(dá)定理能求出cosα+cosβ的值． 【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 由三角函數(shù)的定義得：cosα+cosβ＝x1+x2， 由，消去y得：17x2﹣4x﹣12＝0 則， 即． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)角的余弦值之和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理和三角函數(shù)定義的合理運(yùn)用． 12.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 構(gòu)造函數(shù)F（x）=，求出導(dǎo)數(shù)，判斷F（x）在R上遞增．原不等式等價(jià)為F（lnx）＜F（），運(yùn)用單調(diào)性，可得lnx＜，運(yùn)用對數(shù)不等式的解法，即可得到所求解集． 【詳解】可構(gòu)造函數(shù)F（x）=， F′（x）==， 由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上遞增． 不等式f（lnx）＜x2即為＜1，（x＞0），即＜1，x＞0． 即有F（）==1，即為F（lnx）＜F（）， 由F（x）在R上遞增，可得lnx＜，解得0＜x＜． 故不等式的解集為（0，）， 故選：B． 【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造， 構(gòu)造， 構(gòu)造， 構(gòu)造等 第Ⅱ卷（非選擇題部分，共90分） 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22～23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本題共4題，每小題5分，共20分。 13.設(shè)，則______． 【答案】-1 【解析】 由題意，得；故填. 14.已知函數(shù)（，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)，，則______． 【答案】 2 【解析】 【分析】 把要求零點(diǎn)的函數(shù)，變成兩個(gè)基本初等函數(shù)，根據(jù)所給的a，b的值，可以判斷兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的所在的位置，與所給的區(qū)間進(jìn)行比較，得到n的值． 【詳解】設(shè)函數(shù)y＝logax，y＝﹣x+b 根據(jù)2＜a＜3＜b＜4， 對于函數(shù)y＝logax，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)值y＜1，當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)值y＞1， 在同一坐標(biāo)系中劃出兩個(gè)函數(shù)的圖象，判斷兩個(gè)函數(shù)的圖形的交點(diǎn)在（2，3）之間， ∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)x0∈（n，n+1）時(shí)，n＝2， 故答案為2． 【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，是一個(gè)基本初等函數(shù)的圖象的應(yīng)用，這種問題一般應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來解決． 15.、分別為雙曲線左、右支上的點(diǎn)，設(shè)是平行于軸的單位向量，則的最小值為__________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可 【詳解】 由向量數(shù)量積的定義可知即向量在向量上的投影模長的乘積，故求的最小值，即求在軸上的投影的絕對值的最小值， 由雙曲線的圖象可知的最小值為 故答案為 【點(diǎn)睛】本題有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：一是不理解向量投影的概念，導(dǎo)致無法求解；二是不能結(jié)合雙曲線圖象求解，突破方法是強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。 16.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，若，， 給定四個(gè)命題①；②；③；④. 則上述四個(gè)命題中真命題的序號為____. 【答案】②④ 【解析】 構(gòu)造函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，依題意有 又，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差故 故①錯(cuò)誤；故②正確；由題意知 若，則而此時(shí)，不成立，故③錯(cuò)誤； .，故④成立. 即答案為②④ 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17.已知向量，，. （1）求的最大值，并求此時(shí)的值； （2）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，滿足，，，求的值. 【答案】(1) ，時(shí)，的最大值為 (2) 【解析】 【分析】 ⑴利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)結(jié)合降冪公式及輔助角公式化簡求得，進(jìn)一步求得函數(shù)的最大值，并求得使函數(shù)取得最大值的的值 ⑵由⑴中的解析式結(jié)合求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理求得答案 【詳解】（1） ， 當(dāng)，，即，時(shí)， 的最大值為. （2）∵， ∴， ∵，∴，∴， ∴，在中，由余弦定理得， ，∴，在中，由正弦定理得， ，∴. 【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以及正弦定理和余弦定理，在化簡過程中注意輔助角公式的運(yùn)用和求最值時(shí)的方法 18.如圖，在四棱椎中，是棱上一點(diǎn)，且，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且平面平面，平面與棱交于點(diǎn). (1)求證：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)見解析(2) 【解析】 試題分析：(1)在正方形中，，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，∴平面，又平面，∴，進(jìn)而證得，又平面，， ∴平面，∵平面，∴平面平面. (2)取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量.由空間的夾角公式可求兩個(gè)向量的的夾角，又由題意可得二面角為鈍角，即可得到二面角的余弦值. 試題解析： (1)在正方形中，，又平面平面，且平面平面， ∴平面，又平面，∴，∵底面是正方形，∴， 又平面，平面，∴平面. 又四點(diǎn)共面，且平面平面，∴，∴， 又，∴為棱的中點(diǎn)，是棱中點(diǎn)， ∵是正三角形，∴，又平面，， ∴平面，∵平面，∴平面平面. (2)取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 ，，，，，，，. 設(shè)平面的法向量為，則，∴，，，解得，，令，則為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，， ∴，，得，，令，則為平面的一個(gè)法向量. ∴，由圖知二面角為鈍角， ∴二面角的余弦值為. 19.某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 溫差（C） 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù)（顆） 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)． （1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率； （2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程； （3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？ （注： ） 【答案】（1）；（2）；（3）可靠的，理由見解析． 【解析】 試題分析：（1）求出抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的事件概率，利用對立事件的概率計(jì)算抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)的概率值；（2）由表中數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算回歸直線方程的系數(shù)，寫出回歸直線方程，利用方程計(jì)算并判斷所得的線性回歸方程是否可靠. 試題解析：（1）設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件，因?yàn)閺牡?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種，所以 故選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率是， （2）由數(shù)據(jù)，求得 ，由公式得， ， 所以關(guān)于的線性回歸方程這 （3）當(dāng)時(shí)， 同樣地，當(dāng)時(shí)， 所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠 20.已知點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，軸于點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足. （1）求動點(diǎn)的軌跡的方程； （2）過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求的值. 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】 【分析】 ：（1）設(shè)，則，根據(jù)向量表達(dá)式，表示出的坐標(biāo)關(guān)系式，得出動點(diǎn)的軌跡。 （2），將直線被代入橢圓方程消去得，根據(jù)韋達(dá)定理表示出。所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，表示出線段的垂直平分線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出的長度，最后求解。 【詳解】：（1）設(shè)，則，所以，由化簡得，因?yàn)?，代入得，即為的軌跡為橢圓方程. （2）由（1）知，點(diǎn)為橢圓的左偏點(diǎn)，將直線被代入橢圓方程消去得，設(shè)，則有，則 ，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 所以線段的垂直平分線所在的直線方程為 令得，即，所以 所以 【點(diǎn)睛】：聯(lián)立直線與橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理列出，的關(guān)系式，利用弦長公式。求解圓錐曲線有關(guān)的值，最終落腳點(diǎn)在于計(jì)算直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式。根據(jù)題目的條件，轉(zhuǎn)化為，關(guān)系的式子是解題的關(guān)鍵。 21.已知函數(shù). (Ⅰ)求曲線在處的切線方程； (Ⅱ)求證：當(dāng)時(shí)，. 【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)見解析． 【解析】 試題分析：（1）則導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在處的切線方程。（2）由（1）當(dāng)時(shí)，，即，+,只需證,x 試題解析：（Ⅰ）， 由題設(shè)得，， 在處的切線方程為 (Ⅱ)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增， 所以.過點(diǎn)，且在處的切線方程為，故可猜測：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在切線的上方. 下證：當(dāng)時(shí)， 設(shè)，則， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又 ，∴， 所以，存在，使得， 所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故. 又，即，當(dāng)時(shí)，等號成立. 【點(diǎn)睛】解本題的關(guān)鍵是第（1）結(jié)論對第（2）問的證明鋪平了路，只需證明x。所以利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)，要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，特別是變形成第（1）問相似或相同形式時(shí)，將有利于快速證明。 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），已知曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，并將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （2）求曲線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo). 【答案】（1）（或）. .（2）. 【解析】 【詳解】（1）先求出，再代入消元將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)將，，.曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先求曲線與曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo). （1）∵，∴，即， 又，∴，∴或， ∴曲線的普通方程為（或）. ∵，∴，∴，即曲線的直角坐標(biāo)方程為. （2）由得， ∴（舍去），， 則交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，極坐標(biāo)為. 【點(diǎn)睛】本題考查曲線的普通方程、直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題． 23.已知函數(shù) （1）若，求的取值范圍； （2）若，對，都有不等式恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析： (1)由題意得到關(guān)于實(shí)a的不等式，然后零點(diǎn)分段求解不等式組可得的取值范圍是. (2)原問題等價(jià)于，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，由絕對值不等式的性質(zhì)可得，據(jù)此求解關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式可得的取值范圍是. 試題解析： （1）， 若，則，得，即時(shí)恒成立， 若 ，則，得，即， 若，則，得，即不等式無解， 綜上所述，的取值范圍是. （2）由題意知，要使得不等式恒成立，只需， 當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，， 即，解得，結(jié)合，所以的取值范圍是.