2019高考數(shù)學二輪復習 第一部分 壓軸專題一 解析幾何 第1講 直線與圓錐曲線的位置關系練習 文.doc

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第1講 直線與圓錐曲線的位置關系 A組　小題提速練 一、選擇題 1．若直線l1：(a－1)x＋y－1＝0和直線l2：3x＋ay＋2＝0垂直，則實數(shù)a的值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝，故選D. 答案：D 2．“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的(　　) A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：因為兩條直線平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又當a＝1，b＝4時，滿足ab＝4，但是兩直線重合，故選C. 答案：C 3．當a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為(　　) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即該直線恒過點(－1,2)，∴所求圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0. 答案：C 4．(2018北京西城區(qū)模擬)與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標準方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－2)2＋(y－2)2＝2 解析：由題意知，曲線為(x－6)2＋(y－6)2＝18，過圓心(6,6)作直線x＋y－2＝0的垂線，垂線方程為y＝x，則所求的最小圓的圓心必在直線y＝x上，又(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝5，故最小圓的半徑為，圓心坐標為(2,2)，所以標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2. 答案：D 5．一束光線從圓C的圓心C(－1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程剛好是圓C的直徑，則圓C的方程為(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝16 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 解析：圓C1的圓心C1的坐標為(2,3)，半徑為r1＝1.點C(－1,1)關于x軸的對稱點C′的坐標為(－1，－1)．因為C′在反射線上，所以最短路程為|C′C1|－r1，即－1＝4.故圓C的半徑為r＝4＝2，所以圓C的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝4，故選A. 答案：A 6．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1、半徑之和為5，而1<<5，所以兩圓相交． 答案：B 7．圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的差是(　　) A．30 B．18 C．6 D．5 解析：由圓x2＋y2－4x－4y－10＝0知圓心坐標為(2,2)，半徑為3，則圓上的點到直線x＋y－14＝0的最大距離為＋3＝8，最小距離為－3＝2，故最大距離與最小距離的差為6. 答案：C 8．在平面直角坐標系xOy中，設直線y＝－x＋2與圓x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B兩點，O為坐標原點．若圓上一點C滿足＝＋，則r＝(　　) A．2 B. C．2 D. 解析：已知＝＋，兩邊平方化簡得＝－r2，所以cos ∠AOB＝－，所以cos＝，圓心O(0,0)到直線的距離為＝，所以＝，解得r＝. 答案：B 9．已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則直線l的方程為(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：由已知得，圓心為(0,3)，所求直線的斜率為1，由直線方程的斜截式得y＝x＋3，即x－y＋3＝0，故選D. 答案：D 10．已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B.O是坐標原點，且有|＋|≥||，那么k的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．[，＋∞) C．[，2) D．[，2) 解析：當|＋|＝||時，O，A，B三點為等腰三角形的三個頂點，其中OA＝OB，∠AOB＝120，從而圓心O到直線x＋y－k＝0(k>0)的距離為1，此時k＝；當k>時，|＋|>||，又直線與圓x2＋y2＝4有兩個不同的交點，故k<2.綜上，k的取值范圍為[，2)． 答案：C 11．(2018唐山一中調(diào)研)點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析：設圓上任意一點為(x1，y1)，中點為(x，y)，則，即，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 答案：A 12．已知圓x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)關于直線x－y－1＝0對稱，則ab的最大值是(　　) A. B. C. D. 解析：由圓x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)關于直線x－y－1＝0對稱，可得圓心(2a，－b)在直線x－y－1＝0上，故有2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1≥2 ，解得ab≤，故ab的最大值為，故選B. 答案：B 二、填空題 13．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________． 解析：設圓心為(a,0)(a>0)，則圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝，得a＝2，半徑r＝＝3，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 14．點P(1,2)和圓C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的點的距離的最小值是________． 解析：圓的方程化為標準式為(x＋k)2＋(y＋1)2＝1. ∴圓心C(－k，－1)，半徑r＝1. 易知點P(1,2)在圓外． ∴點P到圓心C的距離為： |PC|＝＝≥3. ∴|PC|min＝3. ∴點P和圓C上點的最小距離dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2. 答案：2 15．過點M(1,2)的直線l與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B兩點，C為圓心，當∠ACB最小時，直線l的方程是________． 解析：驗證得M(1,2)在圓內(nèi)，當∠ACB最小時，直線l與CM垂直，又圓心為(3,4)，則kCM＝＝1，則kl＝－1，故直線l的方程為y－2＝－(x－1)，整理得x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 B組　大題規(guī)范練 1.若橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2＝2bx的焦點F內(nèi)分成了3∶1的兩段． (1)求橢圓的離心率； (2)如圖，過點C(－1,0)的直線l交橢圓于不同兩點A，B，且＝2，當△AOB的面積最大時，求直線l和橢圓的方程． 解析：(1)由題意知c＋＝3，∴b＝c，a2＝2b2，e＝＝＝. (2)設直線l：x＝ky－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵＝2，∴(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)， 即2y2＋y1＝0，　① 由(1)知a2＝2b2，∴橢圓方程為x2＋2y2＝2b2. 由消去x得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0， ∴y1＋y2＝，?、? y1y2＝，?、? 由①②知y2＝－，y1＝. ∵S△AOB＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|， ∴S＝3＝3≤3＝， 當且僅當|k|2＝2，即k＝時取等號，此時直線的方程為x＝y(tǒng)－1或x＝－y－1. 又當|k|2＝2時，y1y2＝ ＝－＝－1， ∴由y1y2＝得b2＝， ∴橢圓方程為＋＝1. 2．(2018貴州興義八中月考)已知點M(，)在橢圓C：＋＝1(a>b>0)上，且橢圓的離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3,2)，求△PAB的面積． 解析：(1)由已知得 解得 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)設直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)， B(x2，y2)，AB的中點為D(x0，y0)． 由消去y， 整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0， 則x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m， 即D. 因為AB是等腰三角形PAB的底邊，所以PD⊥AB， 即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2. 此時x1＋x2＝－3，x1x2＝0，則|AB|＝|x1－x2|＝＝3，又點P到直線l：x－y＋2＝0的距離為d＝， 所以△PAB的面積為S＝|AB|d＝. 3．已知P是圓C：x2＋y2＝4上的動點，P在x軸上的射影為P′，點M滿足＝′，當P在圓C上運動時，點M形成的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)經(jīng)過點A(0,2)的直線l與曲線E相交于點C，D，并且＝，求直線l的方程． 解析：(1)如圖，設M(x，y)，則P(x,2y)在圓C：x2＋y2＝4上． 所以x2＋4y2＝4，即曲線E的方程為＋y2＝1. (2)經(jīng)檢驗，當直線l⊥x軸時，題目條件不成立，所以直線l的斜率存在(如圖)． 設直線l：y＝kx＋2，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 則聯(lián)立?(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0. Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)12>0，得k2>. x1＋x2＝－，?、? x1x2＝.?、? 又由＝，得x1＝x2， 將它代入①，②得k2＝1，k＝1(滿足k2>)． 所以直線l的斜率為k＝1. 所以直線l的方程為y＝x＋2. 4．已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點F(1,0)，其準線與x軸的交點為K，過點K的直線l與C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為D. (1)證明：點F在直線BD上； (2)設＝，求△BDK內(nèi)切圓M的方程． 解析：(1)證明：由題設可知K(－1,0)，拋物線的方程為y2＝4x，則可設直線l的方程為x＝my－1， A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)， 故整理得y2－4my＋4＝0，故 則直線BD的方程為 y－y2＝(x－x2)， 即y－y2＝， 令y＝0，得x＝＝1， 所以F(1,0)在直線BD上． (2)由(1)可知 所以x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2， x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1， 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， 故＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋5＝8－4m2， 則8－4m2＝，∴m＝， 故直線l的方程為3x＋4y＋3＝0或3x－4y＋3＝0， y2－y1＝ ＝＝， 故直線BD的方程為3x＋y－3＝0或 3x－y－3＝0， 又KF為∠BKD的平分線， 故可設圓心M(t,0)(－10)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為(　　) A. B．3 C.m D．3m 解析：雙曲線方程為－＝1，焦點F到一條漸近線的距離為b＝.選A. 答案：A 3．已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝(　　) A．2 B. C. D．1 解析：因為雙曲線的方程為－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.選D. 答案：D 4．等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準線交于A，B兩點，|AB|＝4，則C的實軸長為(　　) A. B．2 C．4 D．8 解析：拋物線y2＝16x的準線方程是x＝－4，所以點A(－4,2)在等軸雙曲線C：x2－y2＝a2(a>0)上，將點A的坐標代入得a＝2，所以C的實軸長為4. 答案：C 5．已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設A為圓上任一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析：點P在線段AN的垂直平分線上， 故|PA|＝|PN|.又AM是圓的半徑， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|， 由橢圓定義知，點P的軌跡是橢圓． 答案：B 6．下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y＝2x的是(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C.－x2＝1 D．y2－＝1 解析：A、B選項中雙曲線的焦點在x軸上，C、D選項中雙曲線的焦點在y軸上，又令－x2＝0，得y＝2x，令y2－＝0，得y＝x，故選C. 答案：C 7．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由題意得c＝，＝，則a＝2，b＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1. 答案：A 8．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為10，點P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：依題意，解得， ∴雙曲線C的方程為－＝1. 答案：A 9．已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由題意得e＝＝，又右焦點為F2(5,0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故雙曲線C的方程為－＝1. 答案：C 10．在同一平面直角坐標系中，方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0(a>b>0)表示的曲線大致是(　　) 解析：將方程a2x2＋b2y2＝1變形為＋＝1，∵a>b>0，∴<，∴橢圓焦點在y軸上．將方程ax＋by2＝0變形為y2＝－x，∵a>b>0，∴－<0， ∴拋物線焦點在x軸負半軸上，開口向左．故選D. 答案：D 11．(2017高考天津卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 解析：根據(jù)題意畫出草圖如圖所示 . 由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60，c＝|OF|＝2. 又點A在雙曲線的漸近線y＝x上，∴＝tan 60＝. 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝， ∴雙曲線的方程為x2－＝1. 故選D. 答案：D 12．已知雙曲線－＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：根據(jù)圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形．雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓的方程為x2＋y2＝4，不妨設交點A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四邊形ABCD的面積為4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的雙曲線方程為－＝1，選D. 答案：D 二、填空題 13．若橢圓的方程為＋＝1，且此橢圓的焦距為4，則實數(shù)a＝________. 解析：由橢圓的焦距為4得c＝2，當20，b>0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為____________． 解析：由拋物線y2＝8x可知準線方程為x＝－2，所以雙曲線的左焦點為(－2,0)，即c＝2；又因為雙曲線的離心率為2，所以e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2知b2＝3，所以該雙曲線的方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 16．已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)．矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________． 解析：由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c. 因為2|AB|＝3|BC|，所以＝6c,2b2＝3ac，＝3e,2(e2－1)＝3e,2e2－3e－2＝0，解得e＝2，或e＝－(舍去)． 答案：2 B組　大題規(guī)范練 1．過雙曲線－＝1的右焦點F2，傾斜角為30的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，F(xiàn)1為左焦點． (1)求|AB|； (2)求△AOB的面積． 解析：(1)由題意得a2＝3，b2＝6， ∴c2＝9，∴F2(3,0)． 直線方程為y＝(x－3)， ∴由得2x2－2＝6. 即5x2＋6x－27＝0，∴x＝－3或x＝. ∴則A，B(－3，－2) ∴|AB|＝＝. (2)由(1)得直線方程為x－3y－3＝0， ∴(0,0)到直線的距離d＝＝， ∴S△AOB＝|AB|d＝＝. 2．已知對稱中心在原點的橢圓的一個焦點與圓x2＋y2－2x＝0的圓心重合，且橢圓過點(，1)． (1)求橢圓的標準方程； (2)過點P(0,1)的直線與該橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，若＝2，求△AOB的面積． 解析：(1)設橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，c為半焦距，由c＝得a2－b2＝2，① ∵橢圓過點(，1)，∴＋＝1，② 由①②解得a2＝4，b2＝2， 即所求橢圓的標準方程為＋＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由＝2，有 設直線方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程整理得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， 解得x＝，設x1＝，x2＝， 則－＝2，解得k2＝， 所以△AOB的面積S＝|OP||x1－x2|＝＝＝. 3．已知橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點M，且離心率為. (1)求橢圓Γ的方程； (2)設點M在x軸上的射影為點N，過點N的直線l與橢圓Γ相交于A，B兩點，且＋3 ＝0，求直線l的方程． 解析：(1)由已知可得＋＝1， ＝， 解得a＝2，b＝1， 所以橢圓Γ的方程為＋y2＝1. (2)由已知N的坐標為(，0)， 當直線l斜率為0時，直線l為x軸，易知＋3 ＝0不成立． 當直線l斜率不為0時，設直線l的方程為x＝my＋，代入＋y2＝1， 整理得(4＋m2)y2＋2my－1＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1＋y2＝，① y1y2＝，② 由＋3 ＝0，得y2＝－3y1，③ 由①②③解得m＝. 所以直線l的方程為x＝y(tǒng)＋， 即y＝(x－)． 4.如圖所示，拋物線y2＝4x的焦點為F，動點T(－1，m)，過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點，弦PQ的中點為N. (1)證明：線段NT平行于x軸(或在x軸上)； (2)若m>0且|NF|＝|TF|，求m的值及點N的坐標． 解析：(1)證明：易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1，動點T(－1，m)在準線上，則kTF＝－. 當m＝0時，T為拋物線準線與x軸的交點，這時PQ為拋物線的通徑，點N與焦點F重合，顯然線段NT在x軸上． 當m≠0時，由條件知kPQ＝， 所以直線PQ的方程為y＝(x－1)， 聯(lián)立 得x2－(2＋m2)x＋1＝0， Δ＝[－(2＋m2)]2－4＝m2(4＋m2)>0， 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 可知x1＋x2＝2＋m2， y1＋y2＝(x1＋x2－2)＝2m. 所以弦PQ的中點N. 又T(－1，m)， 所以kNT＝0，則NT平行于x軸． 綜上可知，線段NT平行于x軸(或在x軸上)． (2)已知|NF|＝|TF|， 在△TFN中，tan∠NTF＝＝1?∠NTF＝45， 設A是準線與x軸的交點，則△TFA是等腰直角三角形，所以|TA|＝|AF|＝2， 又動點T(－1，m)，其中m>0，則m＝2. 因為∠NTF＝45，所以kPQ＝tan 45＝1， 又焦點F(1,0)，可得直線PQ的方程為y＝x－1. 由m＝2，得T(－1,2)， 由(1)知線段NT平行于x軸， 設N(x0，y0)，則y0＝2，代入y＝x－1， 得x0＝3，所以N(3,2)．