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3.1.1 平均變化率
學習目標 1.通過實例,了解平均變化率的概念,并會求具體函數(shù)的平均變化率.2.了解平均變化率概念的形成過程,會在具體的環(huán)境中,說明平均變化率的實際意義.3.了解平均變化率的正負.
知識點一 函數(shù)的平均變化率
在吹氣球時,氣球的半徑r(單位:dm)與氣球空氣容量(體積)V(單位:L)之間的函數(shù)關系是r(V)=.
思考1 當空氣容量V從0增加到1L時,氣球的平均膨脹率是多少?
答案 平均膨脹率為≈=0.62 (dm/L).
思考2 當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?
答案 平均膨脹率為.
梳理 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為=,其中Δy=f(x2)-f(x1)是函數(shù)值的改變量.
知識點二 平均變化率的意義
思考 如何用數(shù)學反映曲線的“陡峭”程度?
答案 如圖,表示A,B之間的曲線和B,C之間的曲線的陡峭程度,可以近似地用直線的斜率來量化.
如用比值近似量化B,C這一段曲線的陡峭程度,并稱該比值是曲線在[xB,xC]上的平均變化率.
梳理 平均變化率的幾何意義:設A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲線y=f(x)上任意不同的兩點,函數(shù)y=f(x)的平均變化率==為割線AB的斜率.
1.函數(shù)y=x2+1在[2,3]上的平均變化率是5.( √ )
2.甲、乙二人銷售化妝品,從2014年2月開始的3個月內(nèi),甲投入資金5萬元,獲利4萬元,乙投入資金8萬元,獲利6萬元.因此我們認為乙的經(jīng)營效果較好.( )
3.一次函數(shù)任意兩點的平均變化率都是相應直線的斜率.( √ )
4.函數(shù)f(x)在A(x1,y1),B(x2,y2)上的平均變化率就是直線AB的斜率.( √ )
類型一 求函數(shù)的平均變化率
例1 (1)已知函數(shù)f(x)=2x2+3x-5.
①求:當x1=4,x2=5時,函數(shù)增量Δy和平均變化率;
②求:當x1=4,x2=4.1時,函數(shù)增量Δy和平均變化率.
(2)求函數(shù)y=f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均變化率,取Δx都為,哪一點附近的平均變化率最大?
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
解 (1)因為f(x)=2x2+3x-5,
所以Δy=f(x1+Δx)-f(x1)
=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2x+3x1-5)
=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx
=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.
==2Δx+4x1+3.
①當x1=4,x2=5時,Δx=1,
Δy=2(Δx)2+(4x1+3)Δx=2+19=21,=21.
②當x1=4,x2=4.1時,Δx=0.1,
Δy=2(Δx)2+(4x1+3)Δx=0.02+1.9=1.92.
=2Δx+4x1+3=19.2.
(2)在x=1附近的平均變化率為
k1==
=2+Δx;
在x=2附近的平均變化率為
k2==
=4+Δx;
在x=3附近的平均變化率為
k3==
=6+Δx.
當Δx=時,k1=2+=,
k2=4+=,k3=6+=.
由于k1
,∴甲企業(yè)的生產(chǎn)效益較好.
1.準確理解平均變化率的意義是求解平均變化率的關鍵,其實質(zhì)是函數(shù)值增量Δy與自變量取值增量Δx的比值.涉及具體問題,計算Δy很容易出現(xiàn)運算錯誤,因此,計算時要注意括號的應用,先列式再化簡,這是減少錯誤的有效方法.
2.函數(shù)的平均變化率在生產(chǎn)生活中有廣泛的應用,如平均速度、平均勞動生產(chǎn)率、面積體積變化率等.解決這類問題的關鍵是能從實際問題中引出數(shù)學模型并列出函數(shù)關系式,需注意是相對什么量變化的.
一、填空題
1.函數(shù)f(x)=在[2,6]上的平均變化率為________.
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
答案 -
解析?。剑剑?
2.在雨季潮汛期間,某水文觀測員觀察千島湖水位的變化,在24h內(nèi)發(fā)現(xiàn)水位從102.7m上漲到105.1m,則水位漲幅的平均變化率是________m/h.
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
答案 0.1
解析?。?.1 (m/h).
3.已知某質(zhì)點的運動規(guī)律為S(t)=5t2(單位:m),則在1s到3s這段時間內(nèi),該質(zhì)點的平均速度為________m/s.
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
答案 20
解析?。剑?0 (m/s).
4.函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間[-2,t]上的平均變化率為2,則t=________.
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
答案 5
解析 函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間[-2,t]上的平均變化率是===2,
即t2-t-6=2t+4,t2-3t-10=0,
解得t=5或t=-2(舍去).
所以當函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間[-2,t]上的平均變化率是2時,t的值是5.
5.假設在生產(chǎn)8到30臺機器的情況下,生產(chǎn)x臺機器的成本是c(x)=x3-6x2+15x(元),而售出x臺的收入是r(x)=x3-3x2+12x(元),則生產(chǎn)并售出10臺至20臺的過程中平均利潤是________元.
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
答案 87
解析 由題意,得生產(chǎn)并售出x臺機器所獲得的利潤是
L(x)=r(x)-c(x)=(x3-3x2+12x)-(x3-6x2+15x)=3x2-3x,故所求的平均利潤為
===87(元).
6.在x=1附近取Δx=0.3,在四個函數(shù)①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=中平均變化率最大的是________.
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
答案 ③
解析 由平均變化率的定義計算可得③最大.
7.一球沿某一斜面自由滾下,測得滾下的垂直距離h(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數(shù)關系為h=2t2+2t,則下列說法正確的是________.(填序號)
①前3s內(nèi)球滾下的垂直距離的增量為Δh=24m;
②在時間[2,3]內(nèi)球滾下的垂直距離的增量為Δh=12m;
③前3s內(nèi)球的平均速度為8m/s;
④在時間[2,3]內(nèi)球的平均速度為12m/s.
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
答案 ①②③④
解析 前3s內(nèi),Δt=3s,Δh=h(3)-h(huán)(0)=24(m),此時平均速度為==8(m/s),故①③正確;在時間[2,3]上,Δt=3-2=1(s),Δh=h(3)-h(huán)(2)=12(m),故平均速度為=12(m/s),所以②④正確.綜上,①②③④都正確.
8.如果函數(shù)y=f(x)=ax+b在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為3,則a的值為________.
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
答案 3
解析 根據(jù)平均變化率的定義可知,
==a=3.
9.汽車行駛的路程S和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示,在時間段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分別為1,2,3,則三者的大小關系為________________.(用“<”連接)
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
答案 1<2<3
解析 1=kOA,2=kAB,3=kBC,
由圖象知,kOA0)上的平均變化率不大于-1,求Δx的取值范圍.
考點 平均變化率的概念
題點 函數(shù)因變量的增量
解 ∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,2+Δx]上的平均變化率為
=
==-3-Δx,
∴由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.
又∵Δx>0,∴Δx的取值范圍是(0,+∞).
13.巍巍泰山為我國五岳之首,有“天下第一山”之美譽,登泰山在當?shù)赜小熬o十八,慢十八,不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受,下面是一段登山路線圖.同樣是登山,但是從A處到B處會感覺比較輕松,而從B處到C處會感覺比較吃力.想想看,為什么?你能用數(shù)學語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎?
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
解 山路從A到B高度的平均變化率為
hAB===,
山路從B到C高度的平均變化率為
hBC===,
∵hBC>hAB,
∴山路從B到C比從A到B要陡峭得多.
三、探究與拓展
14.如圖所示是物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)運動路程的變化情況,下列說法正確的是________.
①在0到t0范圍內(nèi),甲的平均速度大于乙的平均速度;
②在0到t0范圍內(nèi),甲的平均速度小于乙的平均速度;
③在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速度大于乙的平均速度;
④在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速度小于乙的平均速度;
⑤在0到t1范圍內(nèi),甲的平均速度大于乙的平均速度.
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
答案?、邰?
解析 在0到t0范圍內(nèi),甲、乙的平均速度都為v=,故①②錯;在t0到t1范圍內(nèi),甲的平均速度為,乙的平均速度為.因為S2-S0>S1-S0,t1-t0>0,所以>.所以甲的平均速度大于乙的平均速度;在0到t1范圍內(nèi),甲的平均速度為,乙的平均速度為,又S2>S1,所以甲的平均速度大于乙的平均速度.故填③⑤.
15.很多人都吹過氣球,回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.試從平均變化率的角度,比較氣球容量V從0增加到1L及從1L增加到2L時平均膨脹率的大小關系,能否用來解釋氣球的半徑增加得越來越慢?
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
解 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關系是V(r)=πr3,將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么r(V)=,當氣球容積V從0增加到1L時,氣球半徑增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm).氣球的平均膨脹率為≈0.62(dm/L).
類似地,當空氣容積從1L增加到2L時,氣球半徑增加了r(2)-r(1)≈0.16(dm).
氣球的平均膨脹率為≈0.16(dm/L).因為0.62>0.16,所以隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小了,因此氣球的半徑增加的越來越慢.
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