2019年高中數(shù)學 模塊學習評價 蘇教版選修4-2.doc
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2019年高中數(shù)學 模塊學習評價 蘇教版選修4-2 1.已知矩陣M=,求矩陣M的特征值與特征向量. 【解】 矩陣M的特征多項式為f(λ) ==λ2-3λ+2,令f(λ)=0,解得λ1=1,λ2=2, 將λ1=1代入二元一次方程組 解得x=0, 所以矩陣M屬于特征值1的一個特征向量為; 同理,矩陣M屬于特征值2的一個特征向量為. 2.已知在二階矩陣M對應變換的作用下,四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′,其中A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),A′(3,-3),B′(1,1),D′(-1,-1). (1)求出矩陣M; (2)確定點D及點C′的坐標. 【解】 設M=,則有=, =,所以 解得 所以M=. (2)由=,得C′(-3,3). 由=,得D(1,-1). 3.設曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣A=(a>0)對應的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1. ①求實數(shù)a,b的值; ②求A2的逆矩陣. 【解】?、僭O曲線2x2+2xy+y2=1上任意點P(x,y)在矩陣A對應的變換作用下的像是P′(x′,y′). 由= =,得 又點P′(x′,y′)在x2+y2=1上,所以x′2+y′2=1, 即a2x2+(bx+y)2=1, 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1. 依題意得解得或 因為a>1,所以 ②由①知,A=,A2= =. 所以|A2|=1,(A2)-1=. 4.已知矩陣A=,向量β=.求向量α,使得A2α=β. 【解】 ∵A=, ∴A2== 設α=,則A2α=β? = ?= ∴,∴ ∴a=. 5.曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=的作用下變換為曲線x2-2y2=1. (1)求實數(shù)a,b的值;(2)求M的逆矩陣M-1. 【解】 (1)設P(x,y)為曲線x2-2y2=1上任意一點,P′(x′,y′)為曲線x2+4xy+2y2=1上與P對應的點,則=,即 代入得(x′+ay′)2-2(bx′+y′)2=1, 即得(1-2b2)x′2+(2a-4b)x′y′+(a2-2)y′2=1, 及方程x2+4xy+2y2=1,從而 解得a=2,b=0. (2)因為M的行列式為 =1≠0,M-1==. 6.已知矩陣M=,向量α=,求M3α的值. 【解】 矩陣M的特征多項式 f(λ)==(λ+1)(λ-3)-(-2)=λ2-2λ-8=(λ+2)(λ-4).令f(λ)=0,解得λ1=4,λ2=-2.從而求得屬于特征值λ1=4的一個特征向量為, 屬于λ2=-2的一個特征向量為. 令α==m+n,則m=,n=,即=+,所以M3α=43+(-2)3=. 7.利用矩陣解二元一次方程組 【解】 方程組可寫為=, 系數(shù)行列式為32-41=2,方程組有唯一解. 利用矩陣求逆公式得 -1= 因此原方程組的解為== 即 8.密碼學是關于信息編碼和解碼的理論,其中經(jīng)常用到矩陣知識,首先建立如下對應關系: A B C … Y Z ? ? ? ? ? 1 2 3 … 25 26 取矩陣A=. (1)將Good進行編碼; (2)將93,36,60,21恢復成原來的信息. 【解】 (1)Good的編碼為7,15,15,4. (2)∵det(A)=51-32=-1, ∴A-1=,把接收到的密碼按順序分成兩組并寫成列向量,可得 A-1= =,A-1==. ∴密碼恢復成編碼15,6,3,15, 即得到原來的信息OFCO. 9.已知矩陣M=,β=. (1)求M的特征值和特征向量; (2)計算M4β,M10β,M100β; (3)從第(2)小題的計算中,你發(fā)現(xiàn)了什么? 【解】 (1)矩陣M的特征多項式 f(λ)==(λ-1)(λ-2). 令f(λ)=0,得λ1=1,λ2=2. ∴屬于λ1=1的一個特征向量α1=,屬于λ2=2的一個特征向量α2=. (2)令β=mα1+nα2,則有m+n=,∴m=2,n=1,即β=2α1+α2.∴M4β=M4(2α1+α2)=2M4α1+M4α2=2λα1+λα2=214+24=, 同理可得M10β=, M100β=. (3)當n→+∞時,可近似認為 Mnβ=Mn(2α1+α2)≈Mnα2=2n=. 10.自然界生物種群的成長受到多種因素的影響,如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災害等.因此,它們和周邊環(huán)境是一種既相生,又相克的生存關系.但是如果沒有任何限制,種群也會泛濫成災.現(xiàn)假設兩個互相影響的種群X,Y隨時間段變化的數(shù)量分別為{an},{bn},并有關系式其中a1=1,b1=7,試分析10個時段后,這兩個種群的數(shù)量變化趨勢. 【解】 由題意知=, 令M=, 則f(λ)= =(λ-1)(λ-4). 令f(λ)=0,解得λ1=1,λ2=4,對應的一個特征向量分別為,. 設α==, 則α=3+(-2), 則M10α=3410+(-2)110= ≈. 照此發(fā)展下去,兩個種群的數(shù)量趨于均衡.- 配套講稿:
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