2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 專題3.2 一元二次不等式及其解法試題 新人教A版必修5.doc

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3.2 一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的定義 我們把只含有_________個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_________的不等式，稱為一元二次不等式．例如：x2＋x＞0，2x2＋3x＋1＜0，x2－3x≥0，x2－x－2≤0都是一元二次不等式． 注：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知數(shù)，并且這個未知數(shù)是唯一的，但這并不意味著不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，則把其他字母看成常數(shù)；（2）一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知數(shù)的最高次數(shù)必須是2，且最高次項的系數(shù)不為0． 2．一元二次不等式的一般形式 一元二次不等式的一般形式：ax2＋bx＋c＞0， ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≤0． 其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0． 3．一元二次不等式的解與解集 使某個一元二次不等式成立的x的值叫這個一元二次不等式的_________，所有的解組成的集合叫做這個一元二次不等式的_________．例如x＝1是不等式x2－2x＜0的解，不等式x2－2x＜0的解集為． 注：將一個不等式轉(zhuǎn)化為另一個與它解集相同的不等式叫做不等式的同解變形． 4．三個“二次”之間的關(guān)系 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩個不相等的實數(shù)根 有兩個相等的實數(shù)根 沒有實數(shù)根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 或 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 ____________ 注：上述表格是解一元二次不等式的一個依據(jù)，其中x1，x2具有三重身份：（1）相應(yīng)的一元二次方程的實數(shù)根；（2）相應(yīng)的二次函數(shù)的零點；（3）相應(yīng)的一元二次不等式解集的區(qū)間端點． 5．一元二次不等式的解法 由上述三個“二次”之間的關(guān)系可知，求一元二次不等式的解集的步驟如下： （1）通過變形化成標準的一元二次不等式的形式(要求二次項系數(shù)為正且右邊為0)； （2）計算判別式，求相應(yīng)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根； （3）畫出對應(yīng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象； （4）根據(jù)圖象及一元二次不等式解集的幾何意義寫出解集． 我們可以用一個程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來，如下： K知識參考答案： 1．一 2 3．解 解集 4． K—重點 三個“二次”之間的關(guān)系、一元二次不等式的解法及步驟 K—難點 含參不等式的求解、高次(分式)不等式的求解、穿針引線法的應(yīng)用 K—易錯 解含參不等式時不能正確分類或忽略對二次項系數(shù)的討論 解不含參數(shù)的一元二次不等式 解不含參數(shù)的一元二次不等式有以下三種方法： 方法1：若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個代數(shù)式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集．其依據(jù)是上一節(jié)所學(xué)的有關(guān)因式積的符號法則． 即：若ab＞0，則a，b同號；若ab＜0，則a，b異號．因此我們可以將二次三項式進行因式分解，然后利用上述符號法則來求解一元二次不等式． 方法2：若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，不等式的解集易得． 方法3：若上述兩種方法不能解決，則采用求一元二次不等式解集的通法——判別式法． 解下列不等式： （1）2x2＋7x＋3＞0； （2）x2－4x－5≤0； （3）－4x2＋18x－≥0； （4）x2＋3x－5＞0； （5）－2x2＋3x－2＜0； （6）－2＜x2－3x≤10． 【答案】（1）{x|x＞或x＜－3}；（2）{x|－1≤x≤5}；（3）； （4）；（5）R；（6）[－2，1)∪(2，5]． （4）原不等式可化為x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0無實根， 又二次函數(shù)y＝x2－6x＋10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為． （5）原不等式可化為2x2－3x＋2＞0， 因為Δ＝9－422＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根， 又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R． （6）原不等式等價于， ①可化為x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1；②可化為x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5． 故原不等式的解集為[－2，1)∪(2，5]． 【名師點睛】（1）一元二次不等式的解與一元二次不等式的解集是部分與整體的關(guān)系，不要將二者混淆；（2）如果能對一個多項式進行因式分解，則運用符號法則可快速解決相應(yīng)不等式的解集問題，但利用符號法則的前提是能熟練地對多項式進行因式分解． 解含參數(shù)的一元二次不等式 在解含有參數(shù)的一元二次不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，一般從如下三個方面進行考慮： （1）關(guān)于不等式類型的討論：二次項的系數(shù)a＞0，a＝0，a＜0； （2）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程的根的討論：兩根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ＜0)； （3）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2． （1）解關(guān)于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a＞0(aR)； （2）解關(guān)于x的不等式：x2－ax＋1≤0(aR)； （3）解關(guān)于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0 (aR)． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析． （2）對于方程x2－ax＋1＝0，其判別式Δ＝a2－4＝(a－2) (a＋2)， 當(dāng)－2＜a＜2時，Δ＜0，方程無實根，不等式的解集為； 若a＝－2時，Δ＝0，方程有兩個相等的實根x1＝x2＝－1，不等式的解集為{x|x＝－1}； 若a＝2時，Δ＝0，方程有兩個相等的實根x1＝x2＝1，不等式的解集為{x|x＝1}； 當(dāng)a＜－2或a＞2時，Δ＞0，方程有兩個不相等的實根， 不等式的解集為{x|≤x≤}． （3）原不等式可化為(ax＋1)(x－1)＜0， 當(dāng)a＞0時，(x＋) (x－1)＜0，原不等式的解集為{x|＜x＜1}； 當(dāng)a＝0時，原不等式為x－1＜0，原不等式的解集為{x|x＜1}； 當(dāng)－1＜a＜0時，(x＋) (x－1)＞0，，原不等式的解集為{x|x＞或x＜1}； 當(dāng)a＝－1時，(x－1)2＞0，原不等式的解集為{x| x≠1}； 當(dāng)a＜－1時，(x＋) (x－1)＞0，，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜}． 【名師點睛】（1）若不等式對應(yīng)的一元二次方程可以因式分解，則可根據(jù)一元二次方程的根的大小分類進行討論；（2）若一元二次方程根的判別式符號不確定，應(yīng)由Δ＞0，Δ＜0，Δ＝0分情況進行討論；（3）若二次項的系數(shù)含有參數(shù)，則先對不等式中二次項的系數(shù)進行討論，然后按照不等式的求解方法求解． 三個“二次”之間的關(guān)系 在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)明確三個“二次”之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化．已知不等式的解集求參數(shù)問題的實質(zhì)是考查三個“二次”之間的關(guān)系，其解題的一般思路為： （1）根據(jù)所給解集確定相應(yīng)方程的根和二次項系數(shù)的符號； （2）由根與系數(shù)的關(guān)系或直接代入方程，求出參數(shù)的值或參數(shù)之間的關(guān)系． 已知關(guān)于x的不等式a(x－1)＞x2－x＋b的解集為{x|2＜x＜3}，則的值為_____________． 【答案】2 已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|3＜x＜4}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 【答案】(－∞，)∪(，＋∞)． 【解析】方法1：由ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|3＜x＜4}可知a＜0，且3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根， 由根與系數(shù)的關(guān)系可知＝7，＝12， 由a＜0易知c＜0，，， 故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋x＋＞0， 即x2x＋＞0，解得x＜或x＞， 所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為(－∞，)∪(，＋∞)． 【名師點睛】根據(jù)三個“二次”之間的關(guān)系可知：給出一元二次不等式的解集，則可知不等式中二次項系數(shù)的符號和相應(yīng)一元二次方程的根．若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點值恰是相應(yīng)一元二次方程的根，但要注意解集的形式與二次項系數(shù)的聯(lián)系． 不等式恒成立問題 求不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的常見方法： （1）利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在R上的恒成立問題， 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則 f(x)＞0恒成立a＞0且Δ＜0； f(x)≥0恒成立a＞0且Δ≤0； f(x)＜0恒成立a＜0且Δ＜0； f(x)≤0恒成立a＜0且Δ≤0． 注：當(dāng)未說明不等式是否為一元二次不等式時，先討論a＝0的情況． （2）將參數(shù)分離出來，利用等價轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題（轉(zhuǎn)化為f(x)＞a或f(x)≥a或f(x)＜a或f(x)≤a恒成立的問題）即： 若f(x)在定義域內(nèi)存在最大值m，則f(x)＜a恒成立a＞m； 若f(x)在定義域內(nèi)存在最大值m，則f(x)≤a恒成立a≥m； 若f(x)在定義域內(nèi)存在最小值m，則f(x)＞a恒成立a＜m； 若f(x)在定義域內(nèi)存在最小值m，則f(x)≥a恒成立a≤m． （1）已知關(guān)于x的不等式(m－1)x2－x＋1＞0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍； （2）已知關(guān)于x的不等式(m2＋3m＋2)x2－2(m＋1)x＋1＞0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍； （3）若不等式kx2－2x＋1－k＜0對滿足的所有k都成立，求x的取值范圍； （4）已知f(x)＝x2－2ax＋4，x[－1，1]，若f(x)≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 【答案】（1）；（2）[－1，＋∞）；（3）；（4）[－2，2]． 【解析】（1）當(dāng)m－1＝0，即m＝1時，－x＋1＞0，顯然不符合題意； 當(dāng)m－1≠0，即m≠1時，對應(yīng)拋物線開口向上，即m－1＞0， 且對于方程(m－1)x2－x＋1＝0，Δ＝(－1)2－4(m－1)＜0，即． 故當(dāng)時，不等式(m－1)x2－x＋1＞0對一切實數(shù)x恒成立，實數(shù)m的取值范圍為． （3）原不等式可化為， 設(shè)，則是關(guān)于k的一次函數(shù)，且是單調(diào)函數(shù)， 根據(jù)題意可得，即， 解得，故x的取值范圍為． （4）原問題等價于：當(dāng)x[－1，1]， f(x)min≥1．由于f(x)圖象的對稱軸為x＝a， 故或或， 即或或，即－2≤a≤2． 故實數(shù)a的取值范圍為[－2，2]． 【名師點睛】（2）中易漏掉對m2＋3m＋2的討論，當(dāng)二次項系數(shù)含參時，需討論不等式是否為一元二次不等式；對于含參的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于某個常數(shù)的問題，可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解． 一元二次不等式的實際應(yīng)用 在一段限速為60 km/h的城市道路上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相碰了．事后交警現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過30 m，乙車的剎車距離略超過28 m．已知甲、乙兩種車型的剎車距離s(單位：m)與車速x(單位：km/h)之間的關(guān)系分別為＝0.1x＋0.01x2，＝0.05x＋0.005x2．試判斷甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象． 【答案】甲車沒有超速，乙車超速． 【名師點睛】用一元二次不等式解決實際問題的步驟： （1）理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系； （2）建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實際問題抽象為關(guān)于一元二次不等式的問題； （3）解一元二次不等式，從而得到實際問題的解． 簡單分式不等式和高次不等式的解法 （1）簡單分式不等式的解法 已知f(x)與g(x)是關(guān)于x的多項式，不等式，，，稱為分式不等式．前面介紹過的符號法則可以進行推廣，進而可以研究分式不等式．將分式不等式進行同解變形，利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式（組）即可求解．具體如下： ，即或，即； ，即或，即； ，即，即或； ，即，即或． （1）不等式的解集為________________； （2）不等式的解集為________________． 【答案】（1）；（2）或． 【名師點睛】對于形如，，，為非零實數(shù)或代數(shù)式的分式不等式，求解的方法是先把不等式的右邊化為0，通分后利用符號法則轉(zhuǎn)化為整式不等式即可求解，但應(yīng)特別注意分母不為0這一隱含條件． （2）簡單高次不等式的解法 不等式的最高次項的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式．前面介紹過的符號法則可以進行推廣，進而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有兩種： 方法1：將高次不等式f(x)＞0(＜0)中的多項式f(x)分解成若干個不可約因式的乘積，根據(jù)符號法則等價轉(zhuǎn)化為兩個或多個不等式（組）即可求解．但應(yīng)注意：原不等式的解集是各不等式（組）解集的并集，且次數(shù)較大時，此種方法比較煩瑣． 方法2：穿針引線法：①將不等式化為標準形式，右端為0，左端為一次因式（因式中x的系數(shù)為正）或二次不可約因式的乘積；②求出各因式的實數(shù)根，并在數(shù)軸上標出；③自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過數(shù)軸，遇奇次重根穿過，遇偶次重根穿而不過（奇過偶不過）；④記數(shù)軸上方為正，下方為負，根據(jù)不等式的符號即可寫出解集． （1）不等式的解集為________________； （2）不等式的解集為________________． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】（1）原不等式等價于， 令，各因式對應(yīng)的根分別為－2，1，2， 結(jié)合圖1可得原不等式的解集為或． （2）原不等式等價于， 各因式對應(yīng)的根為2（5重根），1（3重根），－3（2重根）． 結(jié)合圖2可得原不等式的解集為． 【名師點睛】應(yīng)用穿針引線法可快速求解一元二次不等式的解集，但應(yīng)深刻理解穿針引線法，正確把握應(yīng)用穿針引線法的步驟及要點，這是正確解題的前提． 解含參不等式時不能正確分類導(dǎo)致錯誤 解不等式． 【錯解】原不等式可化為，即， 等價于，即， 因為，所以 當(dāng)，即或時，； 當(dāng)，即時，； 當(dāng)，即時，． 綜上，當(dāng)或時，原不等式的解集為或； 當(dāng)時，原不等式的解集為； 當(dāng)時，原不等式的解集為或． 【錯因分析】顯然當(dāng)a＝0時，原不等式是不成立的，故上述求解過程是錯誤的．實際上錯解中的變形非同解變形，因為a－1的符號是不確定的，錯解中僅考慮了當(dāng)a－1＞0時的情況． 【正解】顯然當(dāng)時，原不等式是不成立的． 當(dāng)a≠0時原不等式可化為，即， 等價于(*)， 當(dāng)時，(*)式可轉(zhuǎn)化為，即，即． 當(dāng)時，(*)式可轉(zhuǎn)化為． 當(dāng)時，(*)式可轉(zhuǎn)化為． 又當(dāng)時，， 所以當(dāng)或時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，． 綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為或； 當(dāng)時，原不等式的解集為； 當(dāng)時，原不等式的解集為； 當(dāng)時，原不等式的解集為； 當(dāng)時，原不等式的解集為． 【名師點睛】在求解此類問題時，既要討論不等式中相關(guān)系數(shù)的符號，也要討論相應(yīng)方程兩個根的大?。诓坏仁睫D(zhuǎn)化的過程中，要特別注意等價性；在比較兩根的大小時，也要注意等價性，否則將導(dǎo)致分類討論不完全而出錯． 忽略對二次項系數(shù)的討論導(dǎo)致錯誤 已知關(guān)于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，則m的取值范圍為______________． 【錯解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0對一切實數(shù)x都成立， 所以m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0， 解得m＜0．故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，0)． 【錯因分析】由于本題中x2的系數(shù)含有參數(shù)，且當(dāng)m＝0時不等式不是一元二次不等式，因此必須討論m的值是否為0．而錯解中直接默認不等式為一元二次不等式，從而采用判別式法處理導(dǎo)致漏解． 【正解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0對一切實數(shù)x都成立， 當(dāng)m＝0時，－1＜0恒成立；當(dāng)m≠0時，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0． 綜上，故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，0]． 1．不等式的解集是 A． B． C． D． 2．已知全集，集合，，則 A． B． C． D． 3．不等式的解集是 A． B． C． D．R 4．若關(guān)于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小、另一根比1大，則a的取值范圍為 A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－2，1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 5．若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 6．關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為 A． B． C． D． 7．設(shè)集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{mR|mx2＋4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立}，則下列說法正確的是 A．P是Q 的真子集 B．Q是P的真子集 C．P＝Q D．P∩Q＝ 8．在R上定義運算：xy＝x(1－y)，若不等式(x－a)(x＋a)＜1對任意實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍為 A．(－1，1) B．(0，2) C．(，) D．(，) 9．已知集合，，則_______________． 10．函數(shù)的定義域是_______________． 11．滿足不等式的的取值范圍是_______________． 12．某廠去年生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷量為1000輛．今年為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本，若每輛摩托車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1），則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x，則 （1）今年的利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式為_______________； （2）為使今年的利潤高于去年的利潤，x的取值范圍為_______________． 13．求下列不等式的解集： （1）； （2）．  14．已知函數(shù)． （1）當(dāng)時，求不等式的解集； （2）若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍． 15．若一元二次不等式的解集是，則的值是 A．10 B．?10 C．14 D．?14 16．若不等式的解集是，那么實數(shù)的值是 A．1 B．2 C．3 D．4 17．若不等式的解集為，則不等式的解集為 A． B．或 C． D．或 18．設(shè)實數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為 A． B． C． D． 19．已知集合，，且，則實數(shù)a的取值范圍是 A． B． C． D． 20．任意，函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 21．不等式的解集為，則_____________． 22．若不等式的解集是，則不等式的解集是_____________． 23．已知函數(shù)，，若不等式的解集為，若對任意的，存在，使成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____________． 24．對于函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足下列條件： ①在內(nèi)是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是時，的值域也是． 則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．若函數(shù)存在“和諧區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍為_______________． 25．已知，不等式的解集為． （1）求的值； （2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．  26．已知的圖象過點，且． （1）求函數(shù)的解析式； （2）若，解關(guān)于的不等式． 27．（2018新課標全國Ⅰ理）已知集合，則 A． B． C． D． 28．（2015新課標全國Ⅱ）已知集合A={－2，－1，0，1，2}，B={x|(x－1)(x＋2)＜0}，則A∩B＝ A．{－1，0} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．{0，1，2} 29．（2015廣東文）不等式的解集為_______________．（用區(qū)間表示） 30．（2015江蘇）不等式的解集為_______________． 31．（2014江蘇）已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_______________． 32．（2017江蘇）記函數(shù)的定義域為．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則的概率是_______________． 1．【答案】D 【解析】根據(jù)題意可得或，故選D． 2．【答案】B 【解析】因為，，所以， 所以．故選B． 4．【答案】C 【解析】令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依題意得f(1)＜0，即1＋a2－1＋a－2＜0， 即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1，故選C． 5．【答案】B 【解析】可化為， 當(dāng)時，不等式為4＞0，恒成立； 當(dāng)時，不等式的解集為R，則 解得．綜上，，故選B． 6．【答案】B 【解析】的解集為，即方程的兩根為， 由根與系數(shù)的關(guān)系可求得，則方程可化為， 解得，結(jié)合不等式可求得不等式的解集為，故選B． 7．【答案】A 【解析】當(dāng)m＝0時，－4＜0對任意實數(shù)x恒成立； 當(dāng)m≠0時，由mx2＋4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立可得， 解得－1＜m＜0．綜上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，所以PQ，故選A． 8．【答案】C 【解析】由題意可得(x－a)(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＜1，即x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，即4a2－4a－3＜0，解得＜a＜，故選C． 9．【答案】 【解析】由題意得，或，． 11．【答案】 【解析】原不等式等價于解得或．故的取值范圍是． 12．【答案】（1）y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)；（2）(，) ． 【解析】（1）由題意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－1(1＋x)]1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． （2）要保證今年的利潤高于去年的利潤，則，即， 解得．故投入成本增加的比例x的取值范圍為(，)． 13．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，可得，解得， 故的解集為． （2）不等式可化為，即，解得， 故的解集為． 14．【答案】（1）；（2）． 15．【答案】D 【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集與方程的根的關(guān)系可知，是方程的兩根，所以，，所以，故選D． 16．【答案】C 【解析】因為不等式的解集是， 所以是方程的兩根，所以，解得，故選C． 17．【答案】C 【解析】由三個二次的關(guān)系可知方程的解為且， 設(shè)，則，所以， 所以不等式為，解集為．故選C． 18．【答案】B 【解析】 即， 所以，故選B． 19．【答案】C 【解析】因為集合， ， 又集合是的真子集，所以，且兩個等號不能同時取到，解得， 故實數(shù)的取值范圍是．故選C． 21．【答案】 【解析】由一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系可知，方程的兩根是，所以因此． 22．【答案】或 【解析】由不等式的解集是，可知的根為1，2， 所以，，不等式即，即． 因為恒大于0，所以， 所以原不等式的解集為或． 23．【答案】 【解析】因為不等式的解集為，所以，， 即，在區(qū)間上，為單調(diào)遞減，且；在定義域內(nèi)為減函數(shù)，且在區(qū)間上，又對任意的，存在，使 ，所以，即，故實數(shù)m的取值范圍是． 【名師點睛】解此題需要注意以下幾點：①由不等式的解集求二次函數(shù)解析式要巧妙利用“端點值為零點”，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求二次函數(shù)中的參數(shù)；②要能夠正確理解題意，題中對任意的 ，存在，使成立，是指對任意的，總能找到一個 ，使成立，而并非對任意的，都有． 24．【答案】 【名師點睛】本題考查一元二次方程的有解問題、新定義問題，屬于難題．新定義題型的特點是：通過給出一個新概念、或約定一種新運算、或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)知識的遷移，達到靈活解題的目的．遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．本題是在正確理解“和諧區(qū)間”這一新定義基礎(chǔ)上，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題進行求解的． 25．【答案】（1）；（2）． 【思路分析】（1）由題為已知一元二次不等式的解集，求函數(shù)解析式．可由二次不等式的解法，先找到對應(yīng)的二次方程，則0，5為二次方程的兩個根，代入可得b，c，函數(shù)解析式可得；（2）由題為恒成立問題，可等價轉(zhuǎn)化為最值問題，即恒成立，再利用函數(shù) ，求它的最大值可得t的取值范圍． 【解析】（1）因為，所以不等式即， 由不等式的解集為， 所以方程的兩個為和， 所以． 令， 則， 所以在上為增函數(shù)， 所以， 所以，故實數(shù)的取值范圍為． 方法2：由（1）知：， 所以“對任意的，不等式恒成立”等價于“對任意的，不等式恒成立”， 令， 則， 因為在上為減函數(shù)， 所以， 所以，故實數(shù)的取值范圍為． 【名師點睛】不等式的恒成立問題，常用的方法有兩種： （1）分離變量法，將變量和參數(shù)移到不等式的兩邊，要就函數(shù)的圖象，找參數(shù)范圍即可； （2）含參討論法，此法是一般方法，也是高考的熱點問題，需要求導(dǎo)，討論參數(shù)的范圍，結(jié)合單調(diào)性處理． 26．【答案】（1）；（2）當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為． 當(dāng)，即時，原不等式的解集為； 當(dāng)，即時，． 綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為， 當(dāng)時，原不等式的解集為， 當(dāng)時，原不等式的解集為． 27．【答案】B 【解析】解不等式得或，所以或，所以 ，故選B． 【名師點睛】本題考查了一元二次不等式的解法及集合的補集運算，在解題的過程中需要明確一元二次不等式的解集的形式及補集中元素的特征． 28．【答案】A 【解析】B={x|－2＜x＜1}，故A∩B={－1，0}．故選A． 29．【答案】(－4，1) 【解析】原不等式可化為，解得，所以原不等式的解集為(－4，1)． 30．【答案】(－1，2) 【解析】由題意得：，故所求解集為(－1，2)． 31．【答案】(，0) 【解析】由題可得f(m)＝2m2－1＜0且f(m＋1)＝2m2＋3m＜0，解得． 32．【答案】 【解析】由，即，得，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得的概率是．