山東省德州市2019年中考數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的應(yīng)用訓(xùn)練.doc

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第三章　函　數(shù) 第六節(jié)　二次函數(shù)的應(yīng)用 姓名：________　班級(jí)：________　用時(shí)：______分鐘 1．(xx衡陽(yáng)中考)如圖，已知直線y＝－2x＋4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D. (1)若拋物線的表達(dá)式為y＝－2x2＋2x＋4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N. ①求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)； ②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由； (2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 2．(xx衢州中考)某游樂(lè)園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向?yàn)閤軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系． (1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式； (2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以內(nèi)？ (3)經(jīng)檢修評(píng)估，游樂(lè)園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度． 3．(xx黃岡中考)我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準(zhǔn)扶貧”活動(dòng)中銷售一農(nóng)產(chǎn)品，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷售量y(萬(wàn)件)與月份x(月)的關(guān)系為y＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)z(元)與月份x(月)的關(guān)系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 (1)請(qǐng)你根據(jù)表格求出每件產(chǎn)品利潤(rùn)z(元)與月份x(月)的關(guān)系式； (2)若月利潤(rùn)w(萬(wàn)元)＝當(dāng)月銷售量y(萬(wàn)件)當(dāng)月每件產(chǎn)品的利潤(rùn)z(元)，求月利潤(rùn)w(萬(wàn)元)與月份x(月)的關(guān)系式； (3)當(dāng)x為何值時(shí)，月利潤(rùn)w有最大值，最大值為多少？ 4．(xx隨州中考)如圖1，拋物線C1：y＝ax2－2ax＋c(a＜0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC＝3OA，拋物線C1的頂點(diǎn)為G. (1)求出拋物線C1的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)； (2)如圖2，將拋物線C1向下平移k(k＞0)個(gè)單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′，B′，頂點(diǎn)為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí)，求k的值； (3)在(2)的條件下，如圖3，設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于P，Q兩點(diǎn)，試探究在直線y＝－1上是否存在點(diǎn)N，使得以P，Q，N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 5．(xx棗莊中考)如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，4)，與x軸交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)C坐標(biāo)為(8，0)，連接AB，AC. (1)請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c的表達(dá)式； (2)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由； (3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A，N，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)； (4)如圖2，若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B，C重合)，過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)． 圖1 　 圖2 參考答案 1．解：(1)①如圖， ∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－)2＋， ∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)． 當(dāng)x＝時(shí)，y＝－2＋4＝3， 則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，3)． ②不存在．理由如下： MN＝－3＝. 假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，－2m＋4)，則D(m，－2m2＋2m＋4)， ∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m. ∵PD∥MN， ∴當(dāng)PD＝MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形， 即－2m2＋4m＝，解得m1＝(舍去)，m2＝， 此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)． ∵PN＝＝， ∴PN≠M(fèi)N， ∴平行四邊形MNPD不為菱形， ∴不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形． (2)存在． 如圖， OB＝4，OA＝2，則AB＝＝2. 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－2x＋4＝2， 則P(1，2)， ∴PB＝＝. 設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋4， 把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2， ∴拋物線的表達(dá)式為y＝ax2－2(a＋1)x＋4. 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a， 則D(1，2－a)， ∴PD＝2－a－2＝－a. ∵DC∥OB， ∴∠DPB＝∠OBA， ∴當(dāng)＝時(shí)，△PDB∽△BOA，即＝， 解得a＝－2， 此時(shí)拋物線的表達(dá)式為y＝－2x2＋2x＋4. 當(dāng)＝時(shí)，△PDB∽△BAO，即＝， 解得a＝－， 此時(shí)拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋3x＋4. 綜上所述，滿足條件的拋物線的表達(dá)式為y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4. 2．解：(1)設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x－3)2＋5(a≠0)，將(8，0)代入y＝a(x－3)2＋5， 解得a＝－， ∴水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為 y＝－(x－3)2＋5(0＜x＜8)． (2)當(dāng)y＝1.8時(shí)，有－(x－3)2＋5＝1.8， 解得x1＝－1(舍去)，x2＝7， ∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心7米以內(nèi)． (3)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－(x－3)2＋5＝. 設(shè)改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋bx＋. ∵該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(16，0)， ∴0＝－162＋16b＋，解得b＝3， ∴改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋3x＋＝－(x－)2＋， ∴擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為米． 3．解：(1)根據(jù)表格可知當(dāng)1≤x≤10(x為整數(shù))時(shí)，z＝－x＋20， 當(dāng)11≤x≤12(x為整數(shù))時(shí)，z＝10， ∴z與x的關(guān)系式為 z＝ (2)當(dāng)1≤x≤8時(shí)， w＝(－x＋20)(x＋4)＝－x2＋16x＋80； 當(dāng)9≤x≤10時(shí)， w＝(－x＋20)(－x＋20)＝x2－40x＋400； 當(dāng)11≤x≤12時(shí)， w＝10(－x＋20)＝－10x＋200， ∴w與x的關(guān)系式為 w＝ (3)當(dāng)1≤x≤8時(shí)， w＝－x2＋16x＋80＝－(x－8)2＋144， ∴x＝8時(shí)，w有最大值為144萬(wàn)元； 當(dāng)9≤x≤10時(shí)，w＝x2－40x＋400＝(x－20)2， w隨x的增大而減小， ∴x＝9時(shí)，w有最大值為121萬(wàn)元； 當(dāng)11≤x≤12時(shí)，w＝－10x＋200， w隨x的增大而減小， ∴x＝11時(shí)，w有最大值為90萬(wàn)元． ∵90<121<144， ∴x＝8時(shí)，w有最大值為144萬(wàn)元． 4．解：(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，∴OA＝1. ∵OC＝3OA，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)． 將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2－2ax＋c得 解得 ∴拋物線C1的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，4)． (2)設(shè)拋物線C2的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3－k， 即y＝－(x－1)2＋4－k. 如圖，過(guò)點(diǎn)G′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D， 設(shè)B′D＝m. ∵△A′B′G′為等邊三角形， ∴G′D＝B′D＝m， 則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(m＋1，0)，點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(1，m)． 將點(diǎn)B′，G′的坐標(biāo)代入y＝－(x－1)2＋4－k得 解得(舍去)或 ∴k＝1. (3)存在．M1(，0)，N1(，－1)；M2(，0)，N2(1，－1)；M3(4，0)，N3(10，－1)；M4(4，0)，N4(－2，－1)． 5．解：(1)y＝－x2＋x＋4. 提示：∵二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，4)，與x軸交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)C坐標(biāo)為(8，0)， ∴解得 ∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋x＋4. (2)△ABC是直角三角形．理由如下： 令y＝0，則－x2＋x＋4＝0， 解得x1＝8，x2＝－2， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，0)． 在Rt△ABO中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20， 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80. 又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10， ∴在△ABC中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． (3)∵A(0，4)，C(8，0)， ∴AC＝＝4. ①以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于點(diǎn)N，此時(shí)N的坐標(biāo)為(－8，0)； ②以C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于點(diǎn)N，此時(shí)N的坐標(biāo)為(8－4，0)或(8＋4，0)； ③作AC的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)N，此時(shí)N的坐標(biāo)為(3，0)． 綜上所述，若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A，N，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(－8，0)，(8－4，0)，(8＋4，0)，(3，0)． (4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n，0)，則BN＝n＋2. 如圖，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D， ∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO， ∴＝. ∵M(jìn)N∥AC，∴＝，∴＝. ∵OA＝4，BC＝10，BN＝n＋2，∴MD＝(n＋2)． ∵S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝BNOA－BNMD ＝(n＋2)4－(n＋2)2 ＝－(n－3)2＋5， 當(dāng)n＝3時(shí)，S△AMN最大， ∴當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)．