高考數(shù)學 5.3 等比數(shù)列及其前n項和課件.ppt

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第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 等比數(shù)列及其相關概念 前面 一項 同一個常數(shù) 常數(shù) G2 ab 2 等比數(shù)列的通項公式 若等比數(shù)列 an 的首項是a1 公比是q 則其通項公式為 n N 3 等比數(shù)列的前n項和公式 當公比q 1時 Sn 當公比q 1時 Sn an a1qn 1 na1 2 必備結論教材提煉記一記等比數(shù)列的常見性質 1 項的性質 an amqn m am kam k am2 m k m k N a 若m n p q 2k m n p q k N 則am an ak2 ap aq b 若數(shù)列 an bn 項數(shù)相同 是等比數(shù)列 則 an an an2 an bn 0 仍然是等比數(shù)列 c 在等比數(shù)列 an 中 等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列 即an an k an 2k an 3k 為等比數(shù)列 公比為qk 2 和的性質 Sm n Sn qnSm 若等比數(shù)列 an 共2k k N 項 則 公比不為 1的等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 則Sn S2n Sn 仍成等比數(shù)列 其公比為qn 當公比為 1時 Sn S2n Sn 不一定構成等比數(shù)列 S3n S2n S3n S2n 3 等比數(shù)列 an 的單調性 滿足時 an 是 數(shù)列 滿足時 an 是 數(shù)列 當時 an 為 數(shù)列 當q 0時 an 為擺動數(shù)列 遞增 遞減 常 4 其他性質 an 為等比數(shù)列 若a1 a2 an Tn 則 成等比數(shù)列 當數(shù)列 an 是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列時 數(shù)列 lgan 是公差為lgq的等差數(shù)列 3 必用技法核心總結看一看 1 常用方法 基本量運算中的消元法 待定系數(shù)法 整體代入法 等比數(shù)列的四個判定方法 2 數(shù)學思想 函數(shù)與方程 分類討論 轉化與化歸 3 記憶口訣 等差等比兩數(shù)列 通項公式n項和 數(shù)列問題多變幻 方程化歸整體算 歸納思想非常好 編個程序好思考 一算二看三聯(lián)想 猜測證明不可少 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的比都是常數(shù) 則這個數(shù)列是等比數(shù)列 2 滿足an 1 qan n N q為常數(shù) 的數(shù)列 an 為等比數(shù)列 3 G為a b的等比中項 G2 ab 4 如果 an 為等比數(shù)列 bn a2n 1 a2n 則數(shù)列 bn 也是等比數(shù)列 5 如果數(shù)列 an 為等比數(shù)列 則數(shù)列 lnan 是等差數(shù)列 6 數(shù)列 an 的通項公式是an an 則其前n項和為Sn 解析 1 錯誤 根據(jù)等比數(shù)列的定義可知 把 常數(shù) 改為 同一非零常數(shù) 后結論正確 2 錯誤 q 0時 an 不是等比數(shù)列 3 錯誤 G為a b的等比中項 G2 ab 反之不真 如a 0 b 0 G 0 4 錯誤 如數(shù)列 an 為1 1 1 1 則數(shù)列 bn 為0 0 0 0 不是等比數(shù)列 5 錯誤 等比數(shù)列 an 中可能有小于零的項 而當an 0時lnan無意義 6 錯誤 當a 1時結論不成立 答案 1 2 3 4 5 6 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修5P53T1 2 改編 在等比數(shù)列 an 中 若a1 0 a2 18 a4 8 則公比q等于 解析 選C 方法一 由解得又a10 所以所以 2 必修5P62T2改編 設等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若則 解析 S3 S6 S3 S9 S6成等比數(shù)列 則 S6 S3 2 S3 S9 S6 由則 S3 S9 S6 所以所以答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 北京高考 設 an 是公比為q的等比數(shù)列 則 q 1 是 an 為遞增數(shù)列 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 解析 選D 當a11時 an 是遞減數(shù)列 當 an 為遞增數(shù)列時 a10 q 1 因此 q 1 是 an 為遞增數(shù)列 的既不充分也不必要條件 2 2014 天津高考 設 an 是首項為a1 公差為 1的等差數(shù)列 Sn為其前n項和 若S1 S2 S4成等比數(shù)列 則a1 解析 選D 因為S1 S2 S4成等比數(shù)列 所以S22 S1 S4 即 a1 a1 1 2 解得 3 2015 洛陽模擬 設等比數(shù)列 an 的公比為q 前n項和為Sn 若Sn 1 Sn Sn 2成等差數(shù)列 則q為 解析 若q 1 則Sn na1 Sn 1 n 1 a1 Sn 2 n 2 a1 顯然2Sn Sn 1 Sn 2 不合題意 所以q 1 由題意知2Sn Sn 1 Sn 2 即由于所以2 2qn 2 qn 1 qn 2 而qn 0 所以q2 q 2 0 而q 1 所以q 2 答案 2 4 2014 廣東高考 若等比數(shù)列 an 的各項均為正數(shù) 且a10a11 a9a12 2e5 則lna1 lna2 lna20 解析 方法一 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中a10a11 a9a12 a1a20 則a1a20 e5 lna1 lna2 lna20 ln a1a20 10 lne50 50 方法二 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中a10a11 a9a12 a1a20 則a1a20 e5 設lna1 lna2 lna20 S 則lna20 lna19 lna1 S 2S 20ln a1a20 100 S 50 答案 50 考點1等比數(shù)列的基本運算 典例1 1 等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知S3 a2 10a1 a5 9 則a1 2 2014 福建高考 在等比數(shù)列 an 中 a2 3 a5 81 求an 設bn log3an 求數(shù)列 bn 的前n項和Sn 解題提示 1 利用S3 a1 a2 a3 求出q2 再解方程求得a1 2 利用等比數(shù)列通項公式求出首項和公比 由an求出bn的通項公式 得出 bn 為等差數(shù)列 利用等差數(shù)列前n項和公式求前n項和 規(guī)范解答 1 選C 由S3 a2 10a1 得a1 a2 a3 a2 10a1 即a3 9a1 即a1q2 9a1 解得q2 9 又因為a5 9 所以a1q4 9 解得 2 設 an 的公比為q 依題意得解得因此 an 3n 1 因為bn log3an n 1 所以數(shù)列 bn 為等差數(shù)列 其前n項和 互動探究 若本例題 1 已知條件不變 求其前n項和Sn 解析 由本例 1 知q 3 所以當q 3時 當q 3時 因此 規(guī)律方法 解決等比數(shù)列有關問題的常見思想方法 1 方程的思想 等比數(shù)列中有五個量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 求關鍵量a1和q 問題可迎刃而解 2 數(shù)形結合的思想 通項an a1qn 1可化為因此an是關于n的函數(shù) 點 n an 是曲線上一群孤立的點 3 分類討論的思想 等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論 當q 1時 an 的前n項和Sn na1 當q 1時 an 的前n項和 4 整體思想 應用等比數(shù)列前n項和公式時 常把qn或當成整體進行求解 5 等比數(shù)列設項技巧對稱設元法 一般地 連續(xù)奇數(shù)個項成等比數(shù)列 可設為 x xq 連續(xù)偶數(shù)個項成等比數(shù)列 可設為 xq xq3 注意 此時公比q2 0 并不適合所有情況 這樣即可減少未知量的個數(shù) 也使得解方程較為方便 變式訓練 等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知S1 S3 S2成等差數(shù)列 1 求 an 的公比q 2 若a1 a3 3 求Sn 解析 1 因為S1 S3 S2成等差數(shù)列 所以a1 a1 a1q 2 a1 a1q a1q2 由于a1 0 故2q2 q 0 又q 0 從而 2 由已知可得故a1 4 從而 加固訓練 設數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知a1 1 且數(shù)列 Sn 是以2為公比的等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 求a1 a3 a2n 1 解析 1 因為S1 a1 1 且數(shù)列 Sn 是以2為公比的等比數(shù)列 所以Sn 2n 1 又當n 2時 an Sn Sn 1 2n 2 2 1 2n 2 故 2 因為a3 a5 a2n 1是以2為首項 4為公比的等比數(shù)列 所以a3 a5 a2n 1 所以a1 a3 a2n 1 考點2等比數(shù)列的判定與證明 典例2 1 2013 福建高考 已知等比數(shù)列 an 的公比為q 記bn am n 1 1 am n 1 2 am n 1 m cn am n 1 1 am n 1 2 am n 1 m m n N 則以下結論一定正確的是 A 數(shù)列 bn 為等差數(shù)列 公差為qmB 數(shù)列 bn 為等比數(shù)列 公比為q2mC 數(shù)列 cn 為等比數(shù)列 公比為D 數(shù)列 cn 為等比數(shù)列 公比為 2 2015 鎮(zhèn)海模擬 已知數(shù)列 an 和 bn 滿足 a1 an 1 bn 1 n an 3n 21 其中 為實數(shù) n為正整數(shù) 對任意實數(shù) 證明 數(shù)列 an 不是等比數(shù)列 試判斷數(shù)列 bn 是否為等比數(shù)列 并證明你的結論 解題提示 1 判定一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列 可利用作差法或作商法 看看結果是不是常數(shù) 2 只要證明這個數(shù)列中有連續(xù)的三項不是等比數(shù)列即可 若判斷 bn 為等比數(shù)列 則必須證明對任意的正整數(shù)n 這個數(shù)列都符合等比數(shù)列的定義 規(guī)范解答 1 選C 因為bn am n 1 q q2 qm 所以 常數(shù) bn 1 bn不是常數(shù) 又因為cn am n 1 mq1 2 m 所以 常數(shù) cn 1 cn不是常數(shù) 故選C 2 假設存在一個實數(shù) 使 an 是等比數(shù)列 則有a22 a1a3 即故即9 0 矛盾 所以 an 不是等比數(shù)列 因為bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 又b1 18 所以當 18時 bn 0 n N 此時 bn 不是等比數(shù)列 當 18時 b1 18 0 由可知bn 0 所以 n N 故當 18時 數(shù)列 bn 是以 18 為首項 為公比的等比數(shù)列 易錯警示 解答本例第 2 題容易出現(xiàn)忽略對等比數(shù)列各項均不為零的討論而致誤 規(guī)律方法 等比數(shù)列的判定方法 1 定義法 若 q q為非零常數(shù) n N 或 q q為非零常數(shù)且n 2 n N 則 an 是等比數(shù)列 2 中項公式法 若數(shù)列 an 中 an 0且an 12 an an 2 n N 則數(shù)列 an 是等比數(shù)列 3 通項公式法 若數(shù)列通項公式可寫成an c qn 1 c q均是不為0的常數(shù) n N 則 an 是等比數(shù)列 4 前n項和公式法 若數(shù)列 an 的前n項和Sn k qn k k為常數(shù)且k 0 q 0 1 則 an 是等比數(shù)列 提醒 1 前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法 常用于證明 而后兩種方法常用于選擇題 填空題中的判定 2 若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列 則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可 變式訓練 已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn 數(shù)列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an Sn n 設cn an 1 1 求證 cn 是等比數(shù)列 2 求數(shù)列 bn 的通項公式 解析 1 因為an Sn n 所以an 1 Sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 所以2an 1 an 1 所以2 an 1 1 an 1 所以所以 an 1 是等比數(shù)列 又a1 a1 1 所以因為首項c1 a1 1 從而cn 0 所以公比所以 cn 是以為首項 以為公比的等比數(shù)列 2 由 1 可知所以所以當n 2時 bn an an 1 又代入上式也符合 所以 加固訓練 已知單調遞增的正項等比數(shù)列 an 中 a5 a1 15 a4 a2 6 1 求an Sn 2 求證 S7 S14 S7 S21 S14成等比數(shù)列 3 若數(shù)列 bn 滿足bn 2an 在直角坐標系中作出bn f n 的圖象 4 若數(shù)列 cn 滿足其前n項和為Tn 試比較Tn與2的大小 解析 1 設遞增的正項等比數(shù)列 an 的公比為q 依題設有a5 a1 a1 q4 1 15 a4 a2 a1q q2 1 6 兩式相除 得即2q2 5q 2 0 解得q 2或因為 an 是遞增的正項等比數(shù)列 故q 2 代入a1 q4 1 15 得a1 1 所以an a1qn 1 2n 1 所以an 2n 1 Sn 2n 1 2 由 1 知S7 27 1 S14 214 1 S21 221 1 所以S14 S7 27 27 1 S21 S14 214 27 1 這樣有 S14 S7 2 214 27 1 2 S7 S21 S14 故S7 S14 S7 S21 S14成等比數(shù)列 3 f n 2n 則bn f n 的圖象是函數(shù)f x 2x的圖象上的一列孤立的點 如圖所示 4 cn 則Tn c1 c2 cn 考點3等比數(shù)列性質的應用知 考情等比數(shù)列的性質是高考重點考查的內容之一 題型有選擇題 填空題 近幾年也與方程 不等式 三角函數(shù)等內容交匯考查 主要考查通項公式的變式 等比中項的變形 前n項和公式的變形等求值運算或判斷證明等問題 明 角度命題角度1 根據(jù)等比數(shù)列的性質求基本量 典例3 1 2015 濟南模擬 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 則a32 2a2a6 a3a7 本題源于人A教材必修5P58T2 A 4B 6C 8D 2 2015 衡水模擬 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若Sn 2 S3n 14 則S4n等于 A 80B 30C 26D 16 解題提示 1 利用等比數(shù)列的性質 將所求式中的a2a6替換為a3a5 a3a7替換為a52 然后將所求式配方轉化為 a3 a5 2求值 2 利用等比數(shù)列中Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n仍成等比數(shù)列的性質解方程求值 規(guī)范解答 1 選C 在等比數(shù)列中 a3a7 a52 a2a6 a3a5 所以a32 2a2a6 a3a7 a32 2a3a5 a52 a3 a5 2 2 選B 由等比數(shù)列性質得 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n成等比數(shù)列 則 S2n Sn 2 Sn S3n S2n 所以 S2n 2 2 2 14 S2n 又S2n 0 得S2n 6 又 S3n S2n 2 S2n Sn S4n S3n 所以 14 6 2 6 2 S4n 14 解得S4n 30 命題角度2 根據(jù)等比數(shù)列的性質判斷單調性 求最大 小 項 典例4 2013 天津高考 已知首項為的等比數(shù)列 an 不是遞減數(shù)列 其前n項和為Sn n N 且S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 設 n N 求數(shù)列 Tn 的最大項的值與最小項的值 解題提示 1 由S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列求等比數(shù)列 an 的公比 然后寫出其通項公式 2 寫出等比數(shù)列 an 的前n項和Sn 表示分n為奇數(shù)或偶數(shù)討論其最值 規(guī)范解答 1 設等比數(shù)列 an 的公比為q 由S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即4a5 a3 于是又 an 不是遞減數(shù)列且所以故等比數(shù)列 an 的通項公式為 2 由 1 得當n為奇數(shù)時 Sn隨n的增大而減小 所以故當n為偶數(shù)時 Sn隨n的增大而增大 所以故綜上 對于n N 總有所以數(shù)列 Tn 最大項的值為最小項的值為 悟 技法應用等比數(shù)列性質解題的類型及思路 1 求基本量的值靈活運用等比數(shù)列的定義 通項公式 前n項和公式與性質 以及函數(shù)與方程的思想 整體思想 分類討論思想等思想方法求解 2 判斷單調性 求最大 小 項根據(jù)題目條件 認真分析 確定首項與公比 發(fā)現(xiàn)具體的變化特征 利用數(shù)列相鄰兩項的大小關系 從而判斷單調性或利用不等式組求解最大 小 項問題 通 一類1 2015 江西七校聯(lián)考 設各項都是正數(shù)的等比數(shù)列 an Sn為其前n項和 且S10 10 S30 70 那么S40 A 150B 200C 150或 200D 400或 50 解析 選A 依題意 數(shù)列S10 S20 S10 S30 S20 S40 S30成等比數(shù)列 因此有 S20 S10 2 S10 S30 S20 即 S20 10 2 10 70 S20 故S20 20或S20 30 又S20 0 因此S20 30 S20 S10 20 S30 S20 40 所以 S40 S30 S20 S10 S30 S20 2 解得S40 150 2 2015 杭州模擬 已知數(shù)列 an 滿足log3an 1 log3an 1 n N 且a2 a4 a6 9 則的值是 解析 選B 由log3an 1 log3an 1 n N 得log3an 1 log3an 1 即解得所以數(shù)列 an 是公比為3的等比數(shù)列 因為a5 a7 a9 a2 a4 a6 q3 所以a5 a7 a9 9 33 35 所以 3 2015 重慶模擬 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 a1 a3 a5 a7 4a42 則下列結論中正確的是 A 數(shù)列 an 是遞增數(shù)列B 數(shù)列 an 是遞減數(shù)列C 數(shù)列 an 是常數(shù)列D 數(shù)列 an 有可能是遞增數(shù)列也有可能是遞減數(shù)列 解析 選C 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 因為 a1 a3 a5 a7 4a42成立 即a1a5 a1a7 a3a5 a3a7 4a42成立 利用等比數(shù)列的定義和性質化簡可得a32 a42 a42 a52 4a42 進一步化簡得a32 a52 2a42 設公比為q 則得a12q4 a12q8 2a12q6 化簡可得1 q4 2q2 即 q2 1 2 0 所以q2 1 故q 1 由于各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 故q 1舍去 故此等比數(shù)列是常數(shù)列 規(guī)范解答7函數(shù)在研究數(shù)列問題中的應用 典例 12分 2015 桂林模擬 已知 函數(shù)f x 在 1 1 上有定義 且對 x y 1 1 有f x f y 1 試判斷函數(shù)f x 的奇偶性 2 對于數(shù)列 xn 有試證明數(shù)列 f xn 成等比數(shù)列 3 求證 解題導思研讀信息快速破題 規(guī)范解答閱卷標準體會規(guī)范 1 在f x f y 中 令y x得f x f x f 0 1分再令x y 0得f 0 f 0 f 0 所以f 0 0 2分所以f x f x 又函數(shù)f x 的定義域為 1 1 則函數(shù)f x 為奇函數(shù) 3分 2 由xn 1 得因為等號當且僅當 xn 1 1時成立 當xn 1 1時 根據(jù)得xn 1 進而xn 1 xn 2 x1 1 與已知矛盾 故xn 1 1 同理xn 1 1 故所以 5分所以f xn 1 f xn f xn 1 因為函數(shù)f x 為奇函數(shù) 所以f xn 1 f xn f xn 1 2f xn 1 f xn f xn 1 f xn 1 2f xn 1 因為xn 0 否則與矛盾 所以f xn f 0 0 所以 7分因為所以 f xn 是以 1為首項 為公比的等比數(shù)列 9分 3 根據(jù) 2 可得f xn 因為 f x1 f x2 f xn 10分 11分又因為n N 所以所以 12分 高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭取滿分1 解決數(shù)列與函數(shù)的兩類綜合問題的一般思路 1 已知函數(shù)條件 解決數(shù)列問題 此類問題一般是利用函數(shù)的性質 圖象研究數(shù)列問題 2 已知數(shù)列條件 解決函數(shù)問題 解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍 公式 求和 對式子化簡變形 2 解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點 1 數(shù)列是一類特殊的函數(shù) 其定義域是正整數(shù)集 而不是某個區(qū)間上的連續(xù)實數(shù) 所以它的圖象是一群孤立的點 2 轉化以函數(shù)為背景的條件時 應注意題中的限制條件 如函數(shù)的定義域 這往往是非常容易忽視的問題 3 利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關問題時 應準確構造函數(shù) 注意數(shù)列中相關限制條件的轉化