高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月復(fù)習(xí)沖刺 專題5 第22練 基本量-破解等差、等比數(shù)列的法寶課件 理.ppt

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專題5數(shù)列 第22練基本量 破解等差 等比數(shù)列的法寶 題型分析 高考展望 等差數(shù)列 等比數(shù)列是高考的必考點(diǎn) 經(jīng)常以一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題 再加一個(gè)解答題的形式考查 題目難度可大可小 有時(shí)為中檔題 有時(shí)解答題難度較大 解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本量 即通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和公式及等差 等比數(shù)列的常用性質(zhì) ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一等差 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 題型二等差數(shù)列 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 題型三等差 等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 ?？碱}型精析 題型一等差 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 例1已知等差數(shù)列 an 的前5項(xiàng)和為105 且a10 2a5 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 前n項(xiàng)和為Tn 由T5 105 a10 2a5 解得a1 7 d 7 因此an a1 n 1 d 7 7 n 1 7n n N 2 對(duì)任意m N 將數(shù)列 an 中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm 求數(shù)列 bm 的前m項(xiàng)和Sm 解對(duì)m N 若an 7n 72m 則n 72m 1 因此bm 72m 1 所以數(shù)列 bm 是首項(xiàng)為7 公比為49的等比數(shù)列 點(diǎn)評(píng)等差 比 數(shù)列基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn) 1 基本量 在等差 比 數(shù)列中 首項(xiàng)a1和公差d 公比q 是兩個(gè)基本的元素 2 解題思路 設(shè)基本量a1和公差d 公比q 列 解方程 組 把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d q 的方程 組 然后求解 注意整體計(jì)算 以減少計(jì)算量 變式訓(xùn)練1 1 2014 安徽 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 若a1 1 a3 3 a5 5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列 則q 解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d 則a3 a1 2d a5 a1 4d a1 2d 3 2 a1 1 a1 4d 5 解得d 1 1 2 2015 課標(biāo)全國(guó) 已知等比數(shù)列 an 滿足a1 3 a1 a3 a5 21 則a3 a5 a7等于 A 21B 42C 63D 84解析設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 則由a1 3 a1 a3 a5 21得3 1 q2 q4 21 解得q2 3 舍去 或q2 2 于是a3 a5 a7 q2 a1 a3 a5 2 21 42 故選B B 題型二等差數(shù)列 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例2 1 2015 廣東 在等差數(shù)列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 則a2 a8 解析因?yàn)?an 是等差數(shù)列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即a5 5 a2 a8 2a5 10 10 2 設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列 an Sn為前n項(xiàng)和 且S10 10 S30 70 那么S40等于 A 150B 200C 150或 200D 400或 50解析依題意 數(shù)列S10 S20 S10 S30 S20 S40 S30成等比數(shù)列 因此有 S20 S10 2 S10 S30 S20 即 S20 10 2 10 70 S20 故S20 20或S20 30 又S20 0 因此S20 30 S20 S10 20 S30 S20 40 答案A 點(diǎn)評(píng)等差 比 數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn) 變式訓(xùn)練2 1 已知正數(shù)組成的等差數(shù)列 an 前20項(xiàng)和為100 則a7 a14的最大值是 a1 a20 10 a1 a20 a7 a14 a7 a14 10 當(dāng)且僅當(dāng)a7 a14時(shí)取等號(hào) 故a7 a14的最大值為25 答案25 2 在等差數(shù)列 an 中 a1 2016 其前n項(xiàng)和為Sn 若 2 則S2016的值為 所以S2016 2016 2016 題型三等差 等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 例3 2015 陜西 設(shè)fn x 是等比數(shù)列1 x x2 xn的各項(xiàng)和 其中x 0 n N n 2 1 證明 函數(shù)Fn x fn x 2在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 記為xn 且證明Fn x fn x 2 1 x x2 xn 2 則Fn 1 n 1 0 又F n x 1 2x nxn 1 0 x 0 因?yàn)閤n是Fn x 的零點(diǎn) 所以Fn xn 0 2 設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng) 末項(xiàng) 項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列 其各項(xiàng)和為gn x 比較fn x 與gn x 的大小 并加以證明 設(shè)h x fn x gn x 當(dāng)x 1時(shí) fn x gn x 所以h x 在 0 1 上遞增 在 1 上遞減 所以h x h 1 0 即fn x gn x 綜上所述 當(dāng)x 1時(shí) fn x gn x 當(dāng)x 1時(shí) fn x gn x 方法二由已知 記等差數(shù)列為 ak 等比數(shù)列為 bk k 1 2 n 1 則a1 b1 1 an 1 bn 1 xn bk xk 1 2 k n 當(dāng)x 1時(shí) ak bk 所以fn x gn x k 1 xk 2 xx k 1 1 而2 k n 所以k 1 0 n k 1 1 若0 x 1 xx k 1 1 m k x 0 若x 1 xx k 1 1 m k x 0 從而mk x 在 0 1 上遞減 在 1 上遞增 所以mk x mk 1 0 所以當(dāng)x 0且x 1時(shí) ak bk 2 k n 又a1 b1 an 1 bn 1 故fn x gn x 綜上所述 當(dāng)x 1時(shí) fn x gn x 當(dāng)x 1時(shí) fn x gn x 點(diǎn)評(píng) 1 對(duì)數(shù)列 an 首先弄清是等差還是等比 然后利用相應(yīng)的公式列方程組求相關(guān)基本量 從而確定an Sn 2 熟練掌握并能靈活應(yīng)用等差 等比數(shù)列的性質(zhì) 也是解決此類題目的主要方法 變式訓(xùn)練3 2015 北京 已知等差數(shù)列 an 滿足a1 a2 10 a4 a3 2 1 求 an 的通項(xiàng)公式 解設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 因?yàn)閍4 a3 2 所以d 2 又因?yàn)閍1 a2 10 所以2a1 d 10 故a1 4 所以an 4 2 n 1 2n 2 n 1 2 2 設(shè)等比數(shù)列 bn 滿足b2 a3 b3 a7 問 b6與數(shù)列 an 的第幾項(xiàng)相等 解設(shè)等比數(shù)列 bn 的公比為q 因?yàn)閎2 a3 8 b3 a7 16 所以q 2 b1 4 所以b6 4 26 1 128 由128 2n 2 得n 63 所以b6與數(shù)列 an 的第63項(xiàng)相等 高考題型精練 1 2014 重慶 對(duì)任意等比數(shù)列 an 下列說法一定正確的是 A a1 a3 a9成等比數(shù)列B a2 a3 a6成等比數(shù)列C a2 a4 a8成等比數(shù)列D a3 a6 a9成等比數(shù)列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2014 天津 設(shè) an 是首項(xiàng)為a1 公差為 1的等差數(shù)列 Sn為其前n項(xiàng)和 若S1 S2 S4成等比數(shù)列 則a1等于 D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 已知 an 為等差數(shù)列 其公差為 2 且a7是a3與a9的等比中項(xiàng) Sn為 an 的前n項(xiàng)和 n N 則S10的值為 A 110B 90C 90D 110解析 a3 a1 2d a1 4 a7 a1 6d a1 12 a9 a1 8d a1 16 又 a7是a3與a9的等比中項(xiàng) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a1 12 2 a1 4 a1 16 解得a1 20 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2014 大綱全國(guó) 等比數(shù)列 an 中 a4 2 a5 5 則數(shù)列 lgan 的前8項(xiàng)和等于 A 6B 5C 4D 3解析數(shù)列 lgan 的前8項(xiàng)和S8 lga1 lga2 lga8 lg a1 a2 a8 lg a1 a8 4 lg a4 a5 4 lg 2 5 4 4 C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 若a1 a2 0 a2 a3 a1 d a2 d a1 a2 2d 由于d正負(fù)不確定 因而a2 a3符號(hào)不確定 故選項(xiàng)A錯(cuò) 若a1 a3 0 a1 a2 a1 a3 d a1 a3 d 由于d正負(fù)不確定 因而a1 a2符號(hào)不確定 故選項(xiàng)B錯(cuò) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若a1 0 則 a2 a1 a2 a3 d d d2 0 故選項(xiàng)D錯(cuò) 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 2B 3C 4D 5 解析由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 設(shè) an 是公比為q的等比數(shù)列 q 1 令bn an 1 n 1 2 若數(shù)列 bn 有連續(xù)四項(xiàng)在集合 53 23 19 37 82 中 則6q 解析由題意知 數(shù)列 bn 有連續(xù)四項(xiàng)在集合 53 23 19 37 82 中 說明 an 有連續(xù)四項(xiàng)在集合 54 24 18 36 81 中 由于 an 中連續(xù)四項(xiàng)至少有一項(xiàng)為負(fù) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 q1 an 的連續(xù)四項(xiàng)為 24 36 54 81 6q 9 答案 9 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 2014 北京 若等差數(shù)列 an 滿足a7 a8 a9 0 a7 a100 a8 0 a7 a10 a8 a9 0 a9 a8 0 數(shù)列的前8項(xiàng)和最大 即n 8 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 2015 浙江 已知 an 是等差數(shù)列 公差d不為零 若a2 a3 a7成等比數(shù)列 且2a1 a2 1 則a1 d 解析因?yàn)閍2 a3 a7成等比數(shù)列 所以a a2a7 即 a1 2d 2 a1 d a1 6d 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2a1 a2 1 2a1 a1 d 1即3a1 d 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 公差不為0的等差數(shù)列 an 的部分項(xiàng)ak1 ak2 ak3 構(gòu)成等比數(shù)列 且k1 1 k2 2 k3 6 則k4 解析根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1 a2 a6項(xiàng)成等比數(shù)列 設(shè)等差數(shù)列的公差為d 則有 a1 d 2 a1 a1 5d 解得d 3a1 故a2 4a1 a6 16a1 a1 n 1 3a1 64a1 解得n 22 即k4 22 22 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由an 1 an 1 an 1得an 1 an 1 19 an 2 1 a1 a1 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以Sn a1 an 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 證明因?yàn)?Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1 n 2 所以4Sn 2 4Sn 1 Sn Sn 1 4Sn 1 4Sn n 2 即4an 2 an 4an 1 n 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以4an 2 an 4an 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12