高考數學一輪復習 不等式選講 第2課時 不等式的證明與柯西不等式課件 理（選修4-5）.ppt
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選考部分選修系列4 1 了解證明不等式的基本方法 比較法 綜合法 分析法 放縮法 數學歸納法 2 了解柯西不等式 排序不等式以及貝努利不等式 3 能利用均值不等式求一些特定函數的最值 請注意不等式的證明是中學數學的難點 柯西不等式只要求會簡單應用 1 證明不等式的方法 1 比較法 2 綜合法與分析法 3 反證法 放縮法 4 數學歸納法 nx 柯西不等式的向量形式 設 是兩個向量 則 當且僅當 是零向量 或存在實數k 使 k 時 等號成立 答案D 答案B 答案C 題型一放縮法證明不等式 答案 略 探究1放縮法是不等式證明的基本方法 在不等式證明中幾乎處處存在 1 放縮法證明不等式時 常見的放縮依據或技巧主要有 不等式的傳遞性 等量加不等量為不等量 同分子 母 異分母 子 的兩個分式大小的比較 縮小分母 擴大分子 分式值增大 縮小分子 擴大分母 分式值減小 全量不少于部分 每一次縮小和變小 但需大于所求 每一次擴大其和變大 但需小于所求 即不能放縮不夠或放縮過頭 同時放縮有時需便于求和 答案 略 思考題1 例2已知x R 求函數y x 1 x2 的最大值 題型二三個正數的算術 幾何平均不等式問題 探究2利用基本不等式必須要找準 對應點 明確 類比對象 使其符合幾個著名不等式的特征 注意檢驗等號成立的條件 特別是多次使用基本不等式時 必須使等號同時成立 思考題2 答案 略 例3 1 已知a b c R 且滿足a 2b 3c 6 則a2 2b2 3c2的最小值為 題型三柯西不等式的應用 答案 6 2 若3x 4y 2 試求x2 y2的最小值及最小值點 思路 由于3x 4y 2 則可以構造 32 42 x2 y2 3x 4y 2的形式 從而使用柯西不等式求出最值 探究3 1 利用柯西不等式證明不等式 先使用拆項重組 添項等方法構造符合柯西不等式的形式及條件 再使用柯西不等式解決有關問題 2 利用柯西不等式求最值 實質上就是利用柯西不等式進行放縮 放縮不當則等號可能不成立 因此一定不能忘記檢驗等號成立的條件 答案 5 5 對于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義 從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角不等式 柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式
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