高考數(shù)學一輪復習 幾何證明選講 2 直線與圓的位置關系課件(理) 選修4-1.ppt

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第二節(jié)直線與圓的位置關系 知識梳理 1 圓周角 圓心角 弦切角定理 1 圓周角定理 內容 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 一半 推論 推論1 同弧或等弧所對的圓周角 同圓或等圓中 相等的圓周角所對的弧也 推論2 半圓 或直徑 所對的圓周角是 90 的圓周角所對的弦是 相等 相等 直角 直徑 2 圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它 的度數(shù) 3 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧所對的 所對弧 圓周角 2 圓內接四邊形及圓的切線的判定及性質定理 互補 內 角的對角 互補 內角的對角 垂直 垂直 切點 圓心 3 與圓有關的比例線段 特別提醒 1 圓周角定理與弦切角定理多用于證明角的關系 從而證明三角形相似或全等 2 利用圓內接四邊形的判定和性質定理解決四點共圓問題時 要弄清四邊形的外角和它的內對角的位置 3 利用相交弦定理 切割線定理解決與圓有關的比例線段的計算與證明問題時 要注意相似三角形的知識及相關圓的性質的綜合應用 考向一圓周角定理及圓內接四邊形 典例1 如圖 CD為 ABC外接圓的切線 AB的延長線交直線CD于點D 點E F分別為弦AB與弦AC上的點 且BC AE DC AF B E F C四點共圓 1 證明 CA是 ABC外接圓的直徑 2 若DB BE EA 求過B E F C四點的圓的面積與 ABC外接圓面積的比值 解題導引 1 根據(jù)圓的性質及相似知識證得 CBA 90 可得CA是 ABC外接圓的直徑 2 連接CE 利用圓的性質 尋求過B E F C四點的圓的直徑長的平方與 ABC外接圓的直徑長的平方的比值 從而確立圓的面積之比 規(guī)范解答 1 因為CD為 ABC外接圓的切線 所以 DCB A 由題設知故 CDB AEF 所以 DBC EFA 因為B E F C四點共圓 所以 CFE DBC 故 EFA CFE 90 所以 CBA 90 因此CA是 ABC外接圓的直徑 2 連接CE 因為 CBE 90 所以過B E F C四點的圓的直徑為CE 由DB BE 有CE DC 又BC2 DB BA 2DB2 所以CA2 4DB2 BC2 6DB2 而DC2 DB DA 3DB2 故過B E F C四點的圓的面積與 ABC外接圓面積的比值為 規(guī)律方法 1 圓周角定理常用的轉化 1 圓周角與圓周角之間的轉化 2 圓周角與圓心角之間的轉化 3 弧的度數(shù)與圓心角和圓周角之間的轉化 4 圓內接四邊形的外角與其相對的內角的轉化 2 證明四點共圓的常用方法 1 四點到一定點的距離相等 2 四邊形的一組對角互補 3 四邊形的一個外角等于它的內對角 4 如果兩個三角形有公共邊 公共邊所對的角相等且在公共邊的同側 那么這兩個三角形的四個頂點共圓 變式訓練 2016 梧州模擬 如圖 已知AB是 O的直徑 CD是 O的切線 點C為切點 連接AC 過點A作AD CD于點D 交 O于點E 1 證明 AOC 2 ACD 2 證明 AB CD AC CE 證明 1 連接BC 因為CD是 O的切線 C為切點 所以 ACD ABC 因為OB OC 所以 OCB ABC 又因為 AOC OCB OBC 所以 AOC 2 ACD 2 因為AB是 O的直徑 所以 ACB 90 又因為AD CD于點D 所以 ADC 90 因為CD是 O的切線 C為切點 OC為半徑 所以OC CD 所以OC AD 又因為OC OA 所以 OAC OCA CAE ECD 所以Rt ABC Rt CED 所以所以AB CD AC CE 加固訓練 1 2016 河南八校模擬 已知AB為半圓O的直徑 AB 4 C為半圓上一點 過點C作半圓的切線CD 過點A作AD CD于點D 交半圓于點E DE 1 1 求證 AC平分 BAD 2 求BC的長 解析 1 連接OC 因為OA OC 所以 OAC OCA 因為CD為半圓的切線 所以OC CD 因為AD CD OC AD 所以 OCA CAD 所以 OAC CAD 所以AC平分 BAD 2 連接CE 由 1 得 OAC CAD 所以BC CE 因為A B C E四點共圓 所以 CED ABC 因為AB是圓O的直徑 所以 ACB是直角 所以Rt CDE Rt ACB 所以 所以 所以BC 2 2 2014 全國卷 如圖 四邊形ABCD是 O的內接四邊形 AB的延長線與DC的延長線交于點E 且CB CE 1 證明 D E 2 設AD不是 O的直徑 AD的中點為M 且MB MC 證明 ADE為等邊三角形 證明 1 由題設知 A B C D四點共圓 所以 D CBE 由已知得 CBE E 故 D E 2 設BC的中點為N 連接MN 由MB MC知MN BC 故O在直線MN上 又AD不是 O的直徑 AD的中點為M 故OM AD 所以AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 由 1 知 D E 所以 ADE為等邊三角形 考向二圓的切線性質與判定定理 弦切角定理 典例2 2015 全國卷 如圖 AB是 O的直徑 AC是 O的切線 BC交 O于點E 1 若D為AC的中點 證明 DE是 O的切線 2 若OA CE 求 ACB的大小 解題導引 1 連接OE后證明 OED是直角 2 設出CE AE的長度 在Rt CAB中應用射影定理求出AE的長度 可得 ACB的大小 規(guī)范解答 1 連接AE 由已知得 AE BC AC AB 在Rt ABC中 由已知得 DE DC 故 DEC DCE 連接OE 則 OBE OEB 又 ACE ABC 90 所以 DEC OEB 90 所以 OED 90 所以DE是 O的切線 2 設CE 1 AE x 由已知得AB 2 BE 由射影定理可得 AE2 CE BE 所以x2 即x4 x2 12 0 可得x 所以 ACB 60 母題變式 1 在例題 1 的條件下 證明 CDE AOE 證明 由 1 知 DAO DEO 180 所以D A O E四點共圓 所以 CDE AOE 又DC DE OA OE 所以 CDE AOE 2 在 2 的條件下 求的值 解析 由 2 知 ACB 60 所以 CAE ABC 30 所以CB 2CA 4CE 即又O為AB的中點 所以 規(guī)律方法 1 判定切線的三種常用方法 1 和圓有唯一公共點的直線是圓的切線 2 到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線 3 過半徑外端點且和半徑垂直的直線是圓的切線 2 弦切角問題的求解思路轉化為求同弧上的圓周角 3 切線長問題的求解思路一般利用切線長定理和切割線定理 易錯提醒 利用弦切角定理時 一定要注意弦切角與同弧上的圓周角相等 變式訓練 2015 全國卷 如圖 O是等腰三角形ABC內一點 圓O與 ABC的底邊BC交于M N兩點 與底邊上的高交于點G 且與AB AC分別相切于E F兩點 1 證明 EF BC 2 若AG等于圓O的半徑 且AE MN 2 求四邊形EBCF的面積 解析 1 由于 ABC是等腰三角形 AD BC 所以AD是 CAB的平分線 又因為 O分別與AB AC相切于點E F 所以AE AF 故AD EF 從而EF BC 2 由 1 知 AE AF AD EF 故AD是EF的垂直平分線 又EF為 O的弦 所以圓心O在AD上 連接OE OM 則OE AE 由AG等于 O的半徑得AO 2OE 所以 OAE 30 因此 ABC和 AEF都是等邊三角形 因為AE 2 所以AO 4 OE 2 因為OM OE 2 DM MN 所以OD 1 于是AD 5 AB 所以四邊形EBCF的面積為 加固訓練 1 如圖 直線PB與圓O相切于點B 點D是弦AC上的點 PBA DBA 若AD m AC n 求AB的長度 解析 因為PB切 O于點B 所以 PBA ACB 又 PBA DBA 所以 DBA ACB 又 A是公共角 所以 ABD ACB 所以所以AB2 AD AC mn 所以AB 2 如圖 AB AC是 O的切線 ADE是 O的割線 求證 BE CD BD CE 證明 因為AB是 O的切線 所以 ABD AEB 又因為 BAD EAB 所以 BAD EAB 所以 同理因為AB AC是 O的切線 所以AB AC 因此即BE CD BD CE 考向三與圓有關的比例線段 典例3 2016 南陽模擬 如圖所示 已知PA與 O相切 A為切點 過點P的割線交圓于B C兩點 弦CD AP AD BC相交于點E 點F為CE上一點 且DE2 EF EC 1 求證 CE EB EF EP 2 若CE BE 3 2 DE 3 EF 2 求PA的長 解題導引 1 由已知可得 DEF CED 得到 EDF C 由平行線的性質可得 P C 于是得到 EDF P 再利用對頂角的性質即可證明 EDF EPA 于是得到EA ED EF EP 利用相交弦定理可得EA ED CE EB 進而證明結論 2 利用 1 的結論可得BP 再利用切割線定理可得PA2 PB PC 即可得出PA 規(guī)范解答 1 因為DE2 EF EC DEF CED 所以 DEF CED 所以 EDF C 又因為CD AP 所以 P C 所以 EDF P 又因為 DEF PEA 所以 EDF EPA 所以 所以EA ED EF EP 又因為EA ED CE EB 所以CE EB EF EP 2 因為DE2 EF EC DE 3 EF 2 所以32 2EC 所以CE 因為CE BE 3 2 所以BE 3 由 1 可知 CE EB EF EP 所以 3 2EP 解得EP 所以BP EP EB 因為PA是 O的切線 所以PA2 PB PC 所以PA2 解得PA 規(guī)律方法 1 與圓有關的比例線段解題思路 1 見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理 2 見到圓的兩條割線就要想到割線定理 3 見到圓的切線和割線就要想到切割線定理 2 應用相交弦定理時的注意點相交弦定理為圓中證明等積式和有關計算提供了有力的方法和工具 應用時要注意 1 要熟記定理的等積式的結構特征 2 當與定理相關的圖形不完整時 要用輔助線補齊相應部分 變式訓練 2014 全國卷 如圖 點P是 O外一點 PA是切線 點A為切點 割線PBC與 O相交于點B C PC 2PA 點D為PC的中點 AD的延長線交 O于點E 證明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 證明 1 因為PC 2PA PD DC 所以PA PD PAD為等腰三角形 連接AB 則 PAB DEB BCE BAE 因為 PAB BCE PAB BAD PAD PDA DEB DBE 所以 DBE 所以 DBE 即 BCE DBE 所以BE EC 2 因為AD DE BD DC PA2 PB PC PD DC PA 所以PA2 PB PC PB 2PA 即PA 2PB 所以AD DE BD DC PA PB PA PA2 PB PA PB PC PB PA PB PC PA PB PA PB 2PB 2PB2 加固訓練 1 2015 湖北高考改編 如圖 PA是圓的切線 點A為切點 PBC是圓的割線 且BC 3PB 求的值 解析 設PB 1 因為BC 3PB 所以PC 4 又因為PA是圓的切線 所以 PAB BCA P P PA2 PB PC 4 PA 2 所以 PBA PAC 所以 2 2016 山西四校聯(lián)考 如圖所示 PA為圓O的切線 點A為切點 PO交圓O于B C兩點 PA 10 PB 5 BAC的平分線與BC和圓O分別交于點D和E 1 求證 2 求AD AE的值 解析 1 因為PA為圓O的切線 所以 PAB ACP 又 P為公共角 所以 PAB PCA 所以 2 因為PA為圓O的切線 PC是過點O的割線 所以PA2 PB PC 所以PC 20 BC 15 又因為 CAB 90 所以AC2 AB2 BC2 225 又由 1 知所以AC 6 AB 3 連接EC 則 CAE EAB AEC ABD 所以 ACE ADB 所以AD AE AB AC 3 6 90