高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 理.ppt

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第六章數(shù)列 6 3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類(lèi)深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 等比數(shù)列的定義一般地 如果一個(gè)數(shù)列 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 通常用字母 表示 q 0 2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公比為q 則它的通項(xiàng)an 從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等 于同一個(gè)常數(shù) 公比 q a1 qn 1 知識(shí)梳理 1 答案 3 等比中項(xiàng)若a G b成等比數(shù)列 則稱G為a和b的等比中項(xiàng) 4 等比數(shù)列的常用性質(zhì) 1 通項(xiàng)公式的推廣 an am n m N 2 若 an 為等比數(shù)列 且k l m n k l m n N 則 qn m ak al am an 答案 5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列 an 的公比為q q 0 其前n項(xiàng)和為Sn 當(dāng)q 1時(shí) Sn na1 6 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為 1的等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數(shù)列 其公比為 qn 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 滿足an 1 qan n N q為常數(shù) 的數(shù)列 an 為等比數(shù)列 2 G為a b的等比中項(xiàng) G2 ab 3 如果數(shù)列 an 為等比數(shù)列 bn a2n 1 a2n 則數(shù)列 bn 也是等比數(shù)列 4 如果數(shù)列 an 為等比數(shù)列 則數(shù)列 lnan 是等差數(shù)列 6 數(shù)列 an 為等比數(shù)列 則S4 S8 S4 S12 S8成等比數(shù)列 思考辨析 答案 1 2015 課標(biāo)全國(guó) 改編 已知等比數(shù)列 an 滿足a1 3 a1 a3 a5 21 則a3 a5 a7 解析設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 則由a1 3 a1 a3 a5 21得3 1 q2 q4 21 解得q2 3 舍去 或q2 2 于是a3 a5 a7 q2 a1 a3 a5 2 21 42 42 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 等差數(shù)列 an 的公差為3 若a2 a4 a8成等比數(shù)列 則a4 解析令首項(xiàng)為a 根據(jù)已知條件有 a 9 2 a 3 a 21 解得a 3 所以a4 3 3 3 12 12 解析答案 1 2 3 4 5 3 等比數(shù)列 an 中 a4 2 a5 5 則數(shù)列 lgan 的前8項(xiàng)和等于 解析數(shù)列 lgan 的前8項(xiàng)和S8 lga1 lga2 lga8 lg a1 a2 a8 lg a1 a8 4 lg a4 a5 4 lg 2 5 4 4 4 解析答案 1 2 3 4 5 4 2015 安徽 已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列 a1 a4 9 a2a3 8 則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和等于 解析由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3 a1a4 又a2a3 8 a1 a4 9 又 數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 a1 1 a4 8 從而a1q3 8 q 2 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 5 在9與243中間插入兩個(gè)數(shù) 使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 則這兩個(gè)數(shù)為 解析設(shè)該數(shù)列的公比為q 由題意知 243 9 q3 q3 27 q 3 插入的兩個(gè)數(shù)分別為9 3 27 27 3 81 27 81 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類(lèi)深度剖析 例1 1 設(shè) an 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列 Sn為其前n項(xiàng)和 已知a2a4 1 S3 7 則S5 題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 解析答案 2 在等比數(shù)列 an 中 若a4 a2 6 a5 a1 15 則a3 解析設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q q 0 4或 4 解析答案 思維升華 思維升華 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題 數(shù)列中有五個(gè)量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過(guò)列方程 組 可迎刃而解 1 在正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中 an 1 an a2 a8 6 a4 a6 5 則 解析設(shè)公比為q 則由題意知0 q 1 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 2 2015 湖南 設(shè)Sn為等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若a1 1 且3S1 2S2 S3成等差數(shù)列 則an 解析由3S1 2S2 S3成等差數(shù)列知 4S2 3S1 S3 可得a3 3a2 所以公比q 3 故等比數(shù)列通項(xiàng)an a1qn 1 3n 1 3n 1 解析答案 例2設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 設(shè)bn an 1 2an 證明 數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 題型二等比數(shù)列的判定與證明 解析答案 得an 1 4an 4an 1 n 2 an 1 2an 2 an 2an 1 n 2 bn an 1 2an bn 2bn 1 n 2 故 bn 是首項(xiàng)b1 3 公比為2的等比數(shù)列 證明由a1 1及Sn 1 4an 2 有a1 a2 S2 4a1 2 a2 5 b1 a2 2a1 3 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解由 1 知bn an 1 2an 3 2n 1 故an 3n 1 2n 2 解析答案 例2中 Sn 1 4an 2 改為 Sn 1 2Sn n 1 其他條件不變探求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解由已知得n 2時(shí) Sn 2Sn 1 n Sn 1 Sn 2Sn 2Sn 1 1 an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 又a1 1 當(dāng)n 1時(shí)上式也成立 故 an 1 是以2為首項(xiàng) 以2為公比的等比數(shù)列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 解析答案 思維升華 引申探究 思維升華 1 證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法 其他方法只用于填空題中的判定 若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列 則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可 2 利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對(duì)n 1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求a2 a3的值 跟蹤訓(xùn)練2 解 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 當(dāng)n 1時(shí) a1 2 1 2 當(dāng)n 2時(shí) a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 當(dāng)n 3時(shí) a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 綜上 a2 4 a3 8 解析答案 2 求證 數(shù)列 Sn 2 是等比數(shù)列 解析答案 故 Sn 2 是以4為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 證明a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 當(dāng)n 2時(shí) a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 Sn 1 2 n 1 得nan n 1 Sn n 2 Sn 1 2 n Sn Sn 1 Sn 2Sn 1 2 nan Sn 2Sn 1 2 Sn 2Sn 1 2 0 即Sn 2Sn 1 2 Sn 2 2 Sn 1 2 S1 2 4 0 Sn 1 2 0 例3 1 在等比數(shù)列 an 中 各項(xiàng)均為正值 且a6a10 a3a5 41 a4a8 5 則a4 a8 題型三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 解析答案 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5 S10 S5 S15 S10成等比數(shù)列 且公比為q5 解析答案 思維升華 思維升華 1 在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題中 一般利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 建立方程組求解 但如果能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì) 若m n p q 則有aman apaq 可以減少運(yùn)算量 2 等比數(shù)列的項(xiàng)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì) 例如等比數(shù)列Sk S2k Sk S3k S2k 成等比數(shù)列 公比為qk q 1 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 2 等比數(shù)列 an 共有奇數(shù)項(xiàng) 所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇 255 所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶 126 末項(xiàng)是192 則首項(xiàng)a1 解析設(shè)等比數(shù)列 an 共有2k 1 k N 項(xiàng) 則a2k 1 192 解得a1 3 3 解析答案 返回 思想與方法系列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 思維點(diǎn)撥利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比 寫(xiě)出通項(xiàng)公式 思想與方法系列 12 分類(lèi)討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用 解析答案 思維點(diǎn)撥 規(guī)范解答解設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 因?yàn)?2S2 S3 4S4成等差數(shù)列 所以S3 2S2 4S4 S3 即S4 S3 S2 S4 思維點(diǎn)撥求出前n項(xiàng)和 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明 解析答案 思維點(diǎn)撥 溫馨提醒 規(guī)范解答 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 1 分類(lèi)討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多 常見(jiàn)的分類(lèi)討論有 已知Sn與an的關(guān)系 要分n 1 n 2兩種情況 等比數(shù)列中遇到求和問(wèn)題要分公比q 1 q 1討論 項(xiàng)數(shù)的奇 偶數(shù)討論 等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1 q的取值的討論 2 數(shù)列與函數(shù)有密切的聯(lián)系 證明與數(shù)列有關(guān)的不等式 一般是求數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng) 可以利用圖象或者數(shù)列的增減性求解 同時(shí)注意數(shù)列的增減性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別 返回 思想方法感悟提高 2 a1an a2an 1 aman m 1 2 判斷數(shù)列為等比數(shù)列的方法 方法與技巧 方法與技巧 1 特別注意q 1時(shí) Sn na1這一特殊情況 2 由an 1 qan q 0 并不能立即斷言 an 為等比數(shù)列 還要驗(yàn)證a1 0 3 在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí) 必須注意對(duì)q 1與q 1分類(lèi)討論 防止因忽略q 1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤 4 等比數(shù)列性質(zhì)中 Sn S2n Sn S3n S2n也成等比數(shù)列 不能忽略條件q 1 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故所求的公比q 4 答案4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 等比數(shù)列 an 滿足an 0 n N 且a3 a2n 3 22n n 2 則當(dāng)n 1時(shí) log2a1 log2a2 log2a2n 1 解析由等比數(shù)列的性質(zhì) log2a1 log2a2 log2a2n 1 log2 a1a2n 1 a2a2n 2 an 1an 1 an log22n 2n 1 n 2n 1 n 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 在正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 則n 解析設(shè)數(shù)列 an 的公比為q 所以n 14 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 在等差數(shù)列 an 和等比數(shù)列 bn 中 已知a1 8 a2 2 b1 1 b2 2 那么滿足an bn的n的所有取值構(gòu)成的集合是 解析由已知得 an 6n 14 bn 2n 1 令an bn 可得6n 14 2n 1 解得n 3或5 所以滿足an bn的n的所有取值構(gòu)成的集合是 3 5 3 5 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 m 3 q3 8 q 2 答案2 與題中條件矛盾 故q 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 等比數(shù)列 an 中 Sn表示前n項(xiàng)和 a3 2S2 1 a4 2S3 1 則公比q為 解析由a3 2S2 1 a4 2S3 1得a4 a3 2 S3 S2 2a3 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 公比不為1 若a1 1 則對(duì)任意的n N 都有an 2 an 1 2an 0 則S5 解析由題意知a3 a2 2a1 0 設(shè)公比為q 則a1 q2 q 2 0 由q2 q 2 0解得q 2或q 1 舍去 11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a3 b2a2 b1b2 a4 b1b2b3 an b1b2b3 bn 1 a21 b1b2b3 b20 b10b11 10 210 1024 1024 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 數(shù)列 bn 滿足 bn 1 2bn 2 bn an 1 an 且a1 2 a2 4 1 求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式 解由bn 1 2bn 2 得bn 1 2 2 bn 2 數(shù)列 bn 2 是首項(xiàng)為4 公比為2的等比數(shù)列 bn 2 4 2n 1 2n 1 bn 2n 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 解由 1 知 an an 1 bn 1 2n 2 n 2 an 1 an 2 2n 1 2 n 2 a2 a1 22 2 an 2 22 23 2n 2 n 1 an 2 22 23 2n 2n 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 證明 對(duì)任意實(shí)數(shù) 數(shù)列 an 不是等比數(shù)列 證明假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使 an 是等比數(shù)列 所以 an 不是等比數(shù)列 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 證明 當(dāng) 18時(shí) 數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 證明bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 又 18 所以b1 18 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析在等差數(shù)列中 a1 a2 x y 在等比數(shù)列中 xy b1 b2 0 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 若等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) 且a10a11 a9a12 2e5 則lna1 lna2 lna20 解析因?yàn)閍10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1a2 a20 ln a1a20 a2a19 a10a11 ln a10a11 10 10lna10a11 10lne5 50 50 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案82n 1 2 an m an am a3 a1 2 a1 a2 a1 a1 a1 23 8 令m 1 則有an 1 an a1 2an 數(shù)列 an 是首項(xiàng)為a1 2 公比為q 2的等比數(shù)列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 定義在 0 0 上的函數(shù)f x 如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列 an f an 仍是等比數(shù)列 則稱f x 為 保等比數(shù)列函數(shù) 現(xiàn)有定義在 0 0 上的如下函數(shù) f x x2 f x 2x f x f x ln x 則其中是 保等比數(shù)列函數(shù) 的f x 的序號(hào)為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析設(shè) an 的公比為q 驗(yàn)證 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知數(shù)列 an 中 a1 1 an an 1 n 記T2n為 an 的前2n項(xiàng)的和 bn a2n a2n 1 n N 1 判斷數(shù)列 bn 是否為等比數(shù)列 并求出bn 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 bn a2n a2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求T2n T2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15