高考數(shù)學一輪復習 第十二章 推理與證明、算法、復數(shù) 12.2 直接證明與間接證明課件 文.ppt

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第十二章推理與證明 算法 復數(shù) 12 2直接證明與間接證明 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 思想與方法系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 直接證明 1 綜合法 定義 從出發(fā) 以已知的定義 公理 定理為依據(jù) 逐步下推 直到推出要證明的結論為止 這種證明方法常稱為綜合法 思維過程 由因導果 已知條件 知識梳理 1 答案 2 分析法 定義 從出發(fā) 追溯導致結論成立的條件 逐步上溯 直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 這種證明方法常稱為分析法 思維過程 執(zhí)果索因 問題的結論 答案 2 間接證明 1 反證法 假設原命題 即在原命題的條件下 結論不成立 經過正確的推理 最后得出 因此說明假設錯誤 從而證明的證明方法 2 反證法的步驟 反設 假設命題的結論不成立 即假定原結論的反面為真 歸謬 從反設和已知條件出發(fā) 經過一系列正確的邏輯推理 得出矛盾結果 存真 由矛盾結果 斷定反設不真 從而肯定原結論成立 不成立 矛盾 原命題 成立 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 綜合法是直接證明 分析法是間接證明 2 分析法是從要證明的結論出發(fā) 逐步尋找使結論成立的充要條件 3 用反證法證明結論 a b 時 應假設 a b 4 反證法是指將結論和條件同時否定 推出矛盾 5 在解決問題時 常常用分析法尋找解題的思路與方法 再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程 思考辨析 答案 1 已知點An n an 為函數(shù)y 圖象上的點 Bn n bn 為函數(shù)y x圖象上的點 其中n N 設cn an bn 則cn與cn 1的大小關系為 則cn隨n的增大而減小 cn 1 cn cn 1 cn 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 用反證法證明 若整系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理數(shù)根 那么a b c中至少有一個是偶數(shù) 用反證法證明時 下列假設正確的是 假設a b c都是偶數(shù) 假設a b c都不是偶數(shù) 假設a b c至多有一個偶數(shù) 假設a b c至多有兩個偶數(shù) 解析 至少有一個 的否定為 都不是 故 正確 解析答案 1 2 3 4 5 3 要證a2 b2 1 a2b2 0只要證明 填正確的序號 2ab 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 解析a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 a 0 b 0且a b 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 在 ABC中 三個內角A B C的對邊分別為a b c 且A B C成等差數(shù)列 a b c成等比數(shù)列 則 ABC的形狀為 三角形 解析由題意2B A C 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac a2 c2 2ac 0 即 a c 2 0 a c ABC為等邊三角形 等邊 1 2 3 4 5 解析答案 返回 題型分類深度剖析 題型一綜合法的應用 解析答案 解析答案 思維升華 1 綜合法是 由因導果 的證明方法 它是一種從已知到未知 從題設到結論 的邏輯推理方法 即從題設中的已知條件或已證的真實判斷 命題 出發(fā) 經過一系列中間推理 最后導出所要求證結論的真實性 2 綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理 思維升華 設a b c均為正數(shù) 且a b c 1 證明 證明由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由題設知 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 跟蹤訓練1 解析答案 解析答案 題型二分析法的應用 解析答案 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 解析答案 故只需證明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即證1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即證cos x1 x2 1 引申探究 解析答案 思維升華 因此只要證明 x1 x2 x1 x2 即證明 因此只要證明 由于x1 x2 R時 由基本不等式知 顯然成立 故原結論成立 思維升華 1 逆向思考是用分析法證題的主要思想 通過反推 逐步尋找使結論成立的充分條件 正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵 2 證明較復雜的問題時 可以采用兩頭湊的辦法 即通過分析法找出某個與結論等價 或充分 的中間結論 然后通過綜合法證明這個中間結論 從而使原命題得證 思維升華 解析答案 跟蹤訓練2 而上述不等式顯然成立 故原不等式成立 命題點1證明否定性命題 例3已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且滿足an Sn 2 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解當n 1時 a1 S1 2a1 2 則a1 1 又an Sn 2 所以an 1 Sn 1 2 題型三反證法的應用 解析答案 2 求證 數(shù)列 an 中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列 證明反證法 假設存在三項按原來順序成等差數(shù)列 所以2 2r q 2r p 1 又因為p q r 且p q r N 所以r q r p N 所以 式左邊是偶數(shù) 右邊是奇數(shù) 等式不成立 所以假設不成立 原命題得證 解析答案 命題點2證明存在性問題 例4若f x 的定義域為 a b 值域為 a b a b 則稱函數(shù)f x 是 a b 上的 四維光軍 函數(shù) 解析答案 所以函數(shù)在區(qū)間 1 b 上單調遞增 由 四維光軍 函數(shù)的定義可知 g 1 1 g b b 因為b 1 所以b 3 解得a b 這與已知矛盾 故不存在 解析答案 命題點3證明唯一性命題 例5已知a 0 證明關于x的方程ax b有且只有一個根 假設x1 x2是它的兩個不同的根 即ax1 b ax2 b 由 得a x1 x2 0 因為x1 x2 所以x1 x2 0 所以a 0 這與已知矛盾 故假設錯誤 所以當a 0時 方程ax b有且只有一個根 解析答案 思維升華 應用反證法證明數(shù)學命題 一般有以下幾個步驟 第一步 分清命題 p q 的條件和結論 第二步 作出與命題結論q相反的假設綈q 第三步 由p和綈q出發(fā) 應用正確的推理方法 推出矛盾結果 第四步 斷定產生矛盾結果的原因在于開始所作的假設綈q不真 于是原結論q成立 從而間接地證明了命題p q為真 所說的矛盾結果 通常是指推出的結果與已知公理 已知定義 已知定理或已知矛盾 與臨時假設矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結果 思維升華 1 求數(shù)列 an 的通項an與前n項和Sn 跟蹤訓練3 解析答案 解析答案 返回 假設不成立 即數(shù)列 bn 中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列 返回 思想與方法系列 1 當點B的坐標為 0 1 且四邊形OABC為菱形時 求AC的長 2 當點B在W上且不是W的頂點時 證明 四邊形OABC不可能為菱形 思維點撥 1 根據(jù)菱形對角線互相垂直平分及點B的坐標設出點A的坐標 代入橢圓方程求得點A的坐標 后求AC的長 2 將直線方程代入橢圓方程求出AC的中點坐標 即OB的中點坐標 判斷直線AC與OB是否垂直 思想與方法系列 22 反證法在證明題中的應用 解析答案 返回 溫馨提醒 思維點撥 規(guī)范解答 1 解因為四邊形OABC為菱形 則AC與OB相互垂直平分 由于O 0 0 B 0 1 2 證明假設四邊形OABC為菱形 因為點B不是W的頂點 且AC OB 所以k 0 解析答案 溫馨提醒 設A x1 y1 C x2 y2 因為M為AC和OB的交點 且m 0 k 0 所以OABC不是菱形 與假設矛盾 13分 所以當點B不是W的頂點時 四邊形OABC不可能是菱形 14分 溫馨提醒 1 掌握反證法的證明思路及證題步驟 正確作出假設是反證法的基礎 應用假設是反證法的基本手段 得到矛盾是反證法的目的 2 當證明的結論和條件聯(lián)系不明顯 直接證明不清晰或正面證明分類較多 而反面情況只有一種或較少時 常采用反證法 3 利用反證法證明時 一定要回到結論上去 返回 溫馨提醒 思想方法感悟提高 1 分析法的特點 從未知看需知 逐步靠攏已知 2 綜合法的特點 從已知看可知 逐步推出未知 3 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點 分析法思考起來比較自然 容易尋找到解題的思路和方法 缺點是思路逆行 敘述較繁 綜合法從條件推出結論 較簡捷地解決問題 但不便于思考 實際證題時常常兩法兼用 先用分析法探索證明途徑 然后再用綜合法敘述出來 方法與技巧 1 用分析法證明時 要注意書寫格式的規(guī)范性 常常用 要證 欲證 即證 只需證 等 逐步分析 直至一個明顯成立的結論 2 利用反證法證明數(shù)學問題時 要假設結論錯誤 并用假設的命題進行推理 如果沒有用假設命題推理而推出矛盾結果 其推理過程是錯誤的 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若a b R 則下面四個式子中恒成立的是 填序號 lg 1 a2 0 a2 b2 2 a b 1 解析在 中 a2 b2 2 a b 1 a2 2a 1 b2 2b 1 a 1 2 b 1 2 0 a2 b2 2 a b 1 恒成立 解析答案 2 已知p3 q3 2 求證p q 2 用反證法證明時 可假設p q 2 已知a b R a b 1 求證方程x2 ax b 0的兩根的絕對值都小于1 用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1 即假設 x1 1 以下正確的是 填字母 a 與 的假設都錯誤b 與 的假設都正確c 的假設正確 的假設錯誤d 的假設錯誤 的假設正確 解析反證法的實質是否定結論 對于 其結論的反面是p q 2 所以 不正確 對于 其假設正確 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 a b 0 a c 0 a b a c 0 a b a c 0 a c 2 ac0 a c 2a c 0 a c a b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 P2 Q2 P Q P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 設a b是兩個實數(shù) 給出下列條件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一個大于1 的條件是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 但a2 故 推不出 若a 2 b 3 則ab 1 故 推不出 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 對于 即a b 2 則a b中至少有一個大于1 反證法 假設a 1且b 1 則a b 2與a b 2矛盾 因此假設不成立 a b中至少有一個大于1 答案 6 用反證法證明命題 a b R ab可以被5整除 那么a b中至少有一個能被5整除 那么假設的內容是 解析 至少有n個 的否定是 最多有n 1個 故應假設a b中沒有一個能被5整除 a b中沒有一個能被5整除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 若二次函數(shù)f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在區(qū)間 1 1 內至少存在一點c 使f c 0 則實數(shù)p的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 已知a b 0 求證 2a3 b3 2ab2 a2b 證明要證明2a3 b3 2ab2 a2b成立 只需證 2a3 b3 2ab2 a2b 0 即2a a2 b2 b a2 b2 0 即 a b a b 2a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 從而 a b a b 2a b 0成立 2a3 b3 2ab2 a2b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 設數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列 Sn是它的前n項和 1 求證 數(shù)列 Sn 不是等比數(shù)列 因為a1 0 所以 1 q 2 1 q q2 即q 0 這與公比q 0矛盾 所以數(shù)列 Sn 不是等比數(shù)列 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 數(shù)列 Sn 是等差數(shù)列嗎 為什么 解當q 1時 Sn na1 故 Sn 是等差數(shù)列 當q 1時 Sn 不是等差數(shù)列 否則2S2 S1 S3 即2a1 1 q a1 a1 1 q q2 得q 0 這與公比q 0矛盾 綜上 當q 1時 數(shù)列 Sn 是等差數(shù)列 當q 1時 數(shù)列 Sn 不是等差數(shù)列 解析答案 A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 如果 A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于 A2B2C2的三個內角的正弦值 則下列說法正確的是 A1B1C1和 A2B2C2都是銳角三角形 A1B1C1和 A2B2C2都是鈍角三角形 A1B1C1是鈍角三角形 A2B2C2是銳角三角形 A1B1C1是銳角三角形 A2B2C2是鈍角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由條件知 A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0 則 A1B1C1是銳角三角形 假設 A2B2C2是銳角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 這與三角形內角和為180 相矛盾 所以假設不成立 又顯然 A2B2C2不是直角三角形 所以 A2B2C2是鈍角三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 f x sinx在區(qū)間 0 上是凸函數(shù) 且A B C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知二次函數(shù)f x ax2 bx c a 0 的圖象與x軸有兩個不同的交點 若f c 0 且00 證明 f x 的圖象與x軸有兩個不同的交點 f x 0有兩個不等實根x1 x2 f c 0 x1 c是f x 0的根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 證明 20 c 0 b 1 又a 0 b 2 2 b 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求證 SA 平面ABCD 證明由已知得SA2 AD2 SD2 SA AD 同理SA AB 又AB AD A SA 平面ABCD 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 在棱SC上是否存在異于S C的點F 使得BF 平面SAD 若存在 確定F點的位置 若不存在 請說明理由 解假設在棱SC上存在異于S C的點F 使得BF 平面SAD BC AD BC 平面SAD BC 平面SAD 而BC BF B 平面FBC 平面SAD 這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾 假設不成立 不存在這樣的點F 使得BF 平面SAD 解析答案 返回