高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 第1講 幾何證明選講課件 理（選做部分）.ppt

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第1講幾何證明選講 高考定位高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有 1 三角形及相似三角形的判定與性質(zhì) 2 圓的相交弦定理 切割線定理 3 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定 4 相交弦定理 本內(nèi)容考查屬B級(jí)要求 真題感悟 1 2015 江蘇卷 如圖 在 ABC中 AB AC ABC的外接圓 O的弦AE交BC于點(diǎn)D 求證 ABD AEB 證明因?yàn)锳B AC 所以 ABD C 又因?yàn)?C E 所以 ABD E 又 BAE為公共角 可知 ABD AEB 2 2014 江蘇卷 如圖 AB是圓O的直徑 C D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn) 證明 OCB D 證明因?yàn)锽 C是圓O上的兩點(diǎn) 所以O(shè)B OC 故 OCB B 又因?yàn)镃 D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn) 故 B D為同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角 所以 B D 因此 OCB D 考點(diǎn)整合1 1 相似三角形的判定定理判定定理1 對(duì)于任意兩個(gè)三角形 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 那么這兩個(gè)三角形相似 判定定理2 對(duì)于任意兩個(gè)三角形 如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例 并且夾角相等 那么這兩個(gè)三角形相似 判定定理3 對(duì)于任意兩個(gè)三角形 如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例 那么這兩個(gè)三角形相似 2 相似三角形的性質(zhì) 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比 對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 相似三角形面積的比等于相似比的平方 3 直角三角形的射影定理 直角三角形中 每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng) 斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng) 2 1 圓周角定理 圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半 2 圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù) 3 1 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角 2 圓內(nèi)接四邊形判定定理 如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 4 1 圓的切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 2 圓的切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 3 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角 4 相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦 被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等 5 切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線 切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 5 證明等積式成立 應(yīng)先把它寫成比例式 找出比例式中給出的線段所在三角形是否相似 若不相似 則進(jìn)行線段替換或等比替換 6 圓冪定理與圓周角 弦切角聯(lián)合應(yīng)用時(shí) 要注意找相等的角 找相似三角形 從而得出線段的比 由于圓冪定理涉及圓中線段的數(shù)量計(jì)算 所以應(yīng)注意代數(shù)法在解題中的應(yīng)用 熱點(diǎn)一三角形相似的判定及應(yīng)用 微題型1 利用弦切角定理證明三角形相似 證明 1 ACE BCD 2 BC2 BE CD 探究提高在證明角或線段相等時(shí) 證三角形相似是首選的解題思路 如果涉及弦切角 則需考慮弦切角定理 微題型2 利用圓周角 圓心角定理證明三角形相似 例1 2 如圖 已知圓O是 ABC的外接圓 AB BC AD是BC邊上的高 AE是圓O的直徑 過點(diǎn)C作圓O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 探究提高在證明線段的乘積相等時(shí) 通常用三角形相似或圓的切割線定理 同時(shí) 要注意等量的代換 訓(xùn)練1 已知AB為半圓O的直徑 AB 4 C為半圓上一點(diǎn) 過點(diǎn)C作半圓的切線CD 過點(diǎn)A作AD CD于D 交半圓于點(diǎn)E DE 1 1 求證 AC平分 BAD 2 求BC的長(zhǎng) 1 證明連接OC 因?yàn)镺A OC 所以 OAC OCA CD為半圓的切線 OC CD AD CD OC AD OCA CAD OAC CAD AC平分 BAD 2 解連接CE 由 1 得 OAC CAD 由同圓或等圓中圓周角相等所對(duì)弧及弦也相等可知BC CE 熱點(diǎn)二四點(diǎn)共圓的判定及性質(zhì) 微題型1 四點(diǎn)共圓的判定 例2 1 如圖 已知 ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H B 60 F在AC上 且AE AF 證明 1 B D H E四點(diǎn)共圓 2 EC平分 DEF 證明 1 在 ABC中 因?yàn)?B 60 所以 BAC BCA 120 因?yàn)锳D CE是角平分線 所以 HAC HCA 60 故 AHC 120 于是 EHD AHC 120 因?yàn)?EBD EHD 180 所以B D H E四點(diǎn)共圓 2 連接BH 則BH為 ABC的平分線 得 HBD 30 由 1 知B D H E四點(diǎn)共圓 所以 CED HBD 30 又 AHE EBD 60 由已知可得EF AD 可得 CEF 30 所以EC平分 DEF 探究提高 1 如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等 那么這四點(diǎn)共圓 2 如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ) 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 3 如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角 那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓 微題型2 考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì) 例2 2 如圖所示 已知AP是 O的切線 P為切點(diǎn) AC是 O的割線 與 O交于B C兩點(diǎn) 圓心O在 PAC的內(nèi)部 點(diǎn)M是BC的中點(diǎn) 1 證明 A P O M四點(diǎn)共圓 2 求 OAM APM的大小 1 證明連接OP OM AP與 O相切于P OP AP 又 M是 O的弦BC的中點(diǎn) OM BC 于是 OMA OPA 180 由圓心O在 PAC的內(nèi)部 可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ) A P O M四點(diǎn)共圓 2 解由 1 得A P O M四點(diǎn)共圓 可知 OAM OPM 又 OP AP 由圓心在 PAC的內(nèi)部 可知 OPM APM 90 OAM APM 90 探究提高利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)可解決角的相等 或結(jié)合切割線定理解決線段成比例問題 1 證明如圖 設(shè)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn) A B C D四點(diǎn)共圓 CDF ABC 又AB AC ABC ACB 且 ADB ACB ADB CDF