高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問(wèn)題課件.ppt

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第3講數(shù)列的綜合問(wèn)題 專題四數(shù)列 推理與證明 高考真題體驗(yàn) 熱點(diǎn)分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗(yàn) 1 2 1 2015 湖南 已知a 0 函數(shù)f x eaxsinx x 0 記xn為f x 的從小到大的第n n N 個(gè)極值點(diǎn) 證明 數(shù)列 f xn 是等比數(shù)列 證明f x aeaxsinx eaxcosx 1 2 令f x 0 由x 0得x m 即x m m N 對(duì)k N 若2k x 2k 1 即2k x 2k 1 則f x 0 若 2k 1 x 2k 2 即 2k 1 x 2k 2 則f x 0 因此 在區(qū)間 m 1 m 與 m m 上 f x 的符號(hào)總相反 1 2 于是當(dāng)x m m N 時(shí) f x 取得極值 所以xn n n N 此時(shí) f xn ea n sin n 1 n 1ea n sin 故數(shù)列 f xn 是首項(xiàng)為f x1 ea sin 公比為 ea 的等比數(shù)列 1 2 2 2014 課標(biāo)全國(guó) 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 an 1 3an 1 1 2 因?yàn)楫?dāng)n 1時(shí) 3n 1 2 3n 1 考情考向分析 1 數(shù)列的綜合問(wèn)題 往往將數(shù)列與函數(shù) 不等式結(jié)合 探求數(shù)列中的最值或證明不等式 2 以等差數(shù)列 等比數(shù)列為背景 利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍 3 將數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相結(jié)合 考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用 熱點(diǎn)一利用Sn an的關(guān)系式求an 熱點(diǎn)分類突破 1 數(shù)列 an 中 an與Sn的關(guān)系 2 求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法 1 公式法 利用等差 比 數(shù)列求通項(xiàng)公式 2 在已知數(shù)列 an 中 滿足an 1 an f n 且f 1 f 2 f n 可求 則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an 4 將遞推關(guān)系進(jìn)行變換 轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)數(shù)列 等差 等比數(shù)列 又S1 a1 1 思維升華 給出Sn與an的遞推關(guān)系 求an 常用思路 一是利用Sn Sn 1 an n 2 轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系 再求其通項(xiàng)公式 二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系 先求出Sn與n之間的關(guān)系 再求an 解得a1 2或a1 0 舍去 因?yàn)閍n 0 所以an an 1 0 則an an 1 2 所以數(shù)列 an 是首項(xiàng)為2 公差為2的等差數(shù)列 故an 2n 答案an 2n 熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù) 不等式的綜合問(wèn)題 數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題一般是利用函數(shù)作為背景 給出數(shù)列所滿足的條件 通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式 還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問(wèn)題 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化 數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題一般以數(shù)列為載體 考查最值問(wèn)題 不等關(guān)系或恒成立問(wèn)題 例2已知二次函數(shù)y f x 的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 其導(dǎo)函數(shù)為f x 6x 2 數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 點(diǎn) n Sn n N 均在函數(shù)y f x 的圖象上 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解設(shè)二次函數(shù)f x ax2 bx a 0 則f x 2ax b 由于f x 6x 2 得a 3 b 2 所以f x 3x2 2x 又因?yàn)辄c(diǎn) n Sn n N 均在函數(shù)y f x 的圖象上 所以Sn 3n2 2n 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 3 12 2 6 1 5 所以an 6n 5 n N 所以滿足要求的最小正整數(shù)為10 思維升華 解決數(shù)列與函數(shù) 不等式的綜合問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn) 1 數(shù)列是一類特殊的函數(shù) 函數(shù)定義域是正整數(shù) 在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視 2 解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件 3 不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s 跟蹤演練2 2015 安徽 設(shè)n N xn是曲線y x2n 2 1在點(diǎn) 1 2 處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 1 求數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式 解y x2n 2 1 2n 2 x2n 1 曲線y x2n 2 1在點(diǎn) 1 2 處的切線斜率為2n 2 從而切線方程為y 2 2n 2 x 1 證明由題設(shè)和 1 中的計(jì)算結(jié)果知 熱點(diǎn)三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型 數(shù)列模型 弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型 它的首項(xiàng)是什么 項(xiàng)數(shù)是多少 然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問(wèn)題 求解時(shí) 要明確目標(biāo) 即搞清是求和 還是求通項(xiàng) 還是解遞推關(guān)系問(wèn)題 所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問(wèn)題 還是解不等式問(wèn)題 還是最值問(wèn)題 然后進(jìn)行合理推算 得出實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果 例3自從祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái) 在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園 臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受 綠色通道 的申請(qǐng) 受理 審批一站式服務(wù) 某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬(wàn)元的蔬菜加工廠M M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少 從第二年到第六年 每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬(wàn)元 從第七年開(kāi)始 每年年初M的價(jià)值為上年年初的75 1 求第n年年初M的價(jià)值an的表達(dá)式 解當(dāng)n 6時(shí) 數(shù)列 an 是首項(xiàng)為120 公差為 10的等差數(shù)列 故an 120 10 n 1 130 10n 當(dāng)n 7時(shí) 數(shù)列 an 從a6開(kāi)始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a6 130 60 70為首項(xiàng) 證明設(shè)Sn表示數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式 得當(dāng)1 n 6時(shí) Sn 120n 5n n 1 當(dāng)n 7時(shí) 由于S6 570 故Sn 570 a7 a8 an 因?yàn)?an 是遞減數(shù)列 所以 An 是遞減數(shù)列 所以必須在第九年年初對(duì)M更新 思維升華 常見(jiàn)數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法 1 產(chǎn)值模型 原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N 平均增長(zhǎng)率為p 對(duì)于時(shí)間n的總產(chǎn)值y N 1 p n 2 銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式 按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄 本金為a元 每期的利率為r 存期為n 則本利和y a 1 r n 思維升華 3 銀行儲(chǔ)蓄單利公式 利息按單利計(jì)算 本金為a元 每期的利率為r 存期為n 則本利和y a 1 nr 跟蹤演練3某年 十一 期間 北京十家重點(diǎn)公園舉行免費(fèi)游園活動(dòng) 北海公園免費(fèi)開(kāi)放一天 早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)入公園 接下來(lái)的第一個(gè)30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去1人出來(lái) 第二個(gè)30分鐘內(nèi)有8人進(jìn)去2人出來(lái) 第三個(gè)30分鐘內(nèi)有16人進(jìn)去3人出來(lái) 第四個(gè)30分鐘內(nèi)有32人進(jìn)去4人出來(lái) 按照這種規(guī)律進(jìn)行下去 到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是 A 211 47B 212 57C 213 68D 214 80 解析由題意 可知從早晨6時(shí)30分開(kāi)始 接下來(lái)的每個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 出來(lái)的人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng) 1為公差的等差數(shù)列 記第n個(gè)30分鐘內(nèi)進(jìn)入公園的人數(shù)為an 第n個(gè)30分鐘內(nèi)出來(lái)的人數(shù)為bn 則an 4 2n 1 bn n 則上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)為 答案B 高考押題精練 1 求數(shù)列 an 和 bn 的通項(xiàng)公式 押題依據(jù)數(shù)列與函數(shù) 不等式的綜合問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn) 此類問(wèn)題要求考生利用函數(shù)關(guān)系確定數(shù)列的特征 在不等式的證明中恰當(dāng)使用放縮 具有較強(qiáng)的綜合性 故直線l的方程為y 2 x 1 即y 2x 2 所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 2 把點(diǎn)C 1 2 代入函數(shù)f x ax 得a 2 所以數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Sn f n 1 2n 1 當(dāng)n 1時(shí) b1 S1 1 當(dāng)n 2時(shí) bn Sn Sn 1 2n 2n 1 2n 1 當(dāng)n 1時(shí)也適合 所以數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式為bn 2n 1