2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.3 二項式定理 1.3.1 二項式定理優(yōu)化練習 新人教A版選修2-3.doc

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1.3.1 二項式定理 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．二項式(a＋b)2n的展開式的項數(shù)是(　　) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1) 解析：根據(jù)二項式定理可知，展開式共有2n＋1項． 答案：B 2．化簡多項式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的結果是(　　) A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5 解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 答案：D 3．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：先求出(1＋x)5含有x與x2的項的系數(shù)，從而得到展開式中x2的系數(shù)．(1＋x)5中含有x與x2的項為T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，∴x2的系數(shù)為10＋5a＝5，∴a＝－1，故選D. 答案：D 4．使n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rx，當Tr＋1是常數(shù)項時，n－r＝0，當r＝2，n＝5時成立． 答案：B 5．(x2＋2)(－1)5的展開式的常數(shù)項是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：(－1)5的展開式的通項為Tr＋1＝C()5－r(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5. 當因式(x2＋2)提供x2時，則取r＝4；當因式(x2＋2)提供2時，則取r＝5. 所以(x2＋2)(－1)5的展開式的常數(shù)項是5－2＝3. 答案：D 6．(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案) 解析：利用二項展開式的通項公式求解． x2y7＝x(xy7)，其系數(shù)為C， x2y7＝y(tǒng)(x2y6)，其系數(shù)為－C， ∴x2y7的系數(shù)為C－C＝8－28＝－20. 答案：－20 7．在(x＋y)20的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有________項． 解析：二項展開式的通項公式Tk＋1＝Cx20－k(y)k＝C()kx20－kyk(0≤k≤20)．要使系數(shù)為有理數(shù)，則k必為4的倍數(shù)，所以k可為0,4,8,12,16,20共6項，故系數(shù)為有理數(shù)的項共有6項． 答案：6 8．已知n的展開式中第5項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比為14∶3，則展開式中的常數(shù)項為________． 解析：由已知條件得：C∶C＝14∶3，整理得：n2－5n－50＝0， 所以n＝10，所以展開式的通項為： Tk＋1＝C()10－kk ＝C2kx， 令＝0，得k＝2， 所以常數(shù)項為第三項T3＝22C＝180. 答案：180 9．用二項式定理證明1110－1能被100整除． 證明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C109＋…＋C10＋1)－1 ＝1010＋C109＋C108＋…＋102 ＝100(108＋C107＋C106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除． 10.n展開式第9項與第10項二項式系數(shù)相等，求x的一次項系數(shù)． 解析：由題意知C＝C， ∴n＝17，Tr＋1＝Cx2rx， ∴－＝1， ∴r＝9， ∴Tr＋1＝Cx429x－3， ∴T10＝C29x， 其一次項系數(shù)為C29. [B組　能力提升] 1．若二項式7的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)a＝(　　) A．2 B. C．1 D. 解析：Tr＋1＝C(2x)7－rr＝27－rCar.令2r－7＝3，則r＝5.由22Ca5＝84得a＝1.故選C. 答案：C 2．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中，若x5與x6的系數(shù)相等，則n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：二項式(1＋3x)n的展開式的通項是Tr＋1＝C1n－r(3x)r＝C3rxr.依題意得C35＝C36，即＝3(n≥6)，得n＝7. 答案：B 3．若(＋a)5的展開式中的第四項是10a2(a為大于0的常數(shù))，則x＝________. 解析：∵T4＝C()2a3＝10xa3， ∴10xa3＝10a2(a>0)，∴x＝. 答案： 4．(2015年高考福建卷)(x＋2)5的展開式中，x2的系數(shù)等于________(用數(shù)字作答)． 解析：Tr＋1＝Cx5－r2r，令5－r＝2，得r＝3，所以x2的系數(shù)為C23＝80. 答案：80 5．若二項式6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若B＝4A，求a的值． 解析：∵Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx， 令r＝2，得A＝Ca2＝15a2； 令r＝4，得B＝Ca4＝15a4. 由B＝4A可得a2＝4，又a>0， 所以a＝2. 6．在二項式n的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列． (1)求展開式的第四項； (2)求展開式的常數(shù)項． 解析：Tr＋1＝C()n－rr ＝rCx. 由前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列， 得C＋2C＝2C， 解這個方程得n＝8或n＝1(舍去)． (1)展開式的第4項為： T4＝3Cx＝－7. (2)當－r＝0， 即r＝4時，常數(shù)項為4C＝.