2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.1 第2課時(shí) 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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第2課時(shí) 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 鞏固分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,并能靈活應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系 分類計(jì)數(shù)原理 分步計(jì)數(shù)原理 相同點(diǎn) 用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種類 不同點(diǎn) 分類完成,類類相加 分步完成,步步相乘 每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事 每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事) 注意點(diǎn) 類類獨(dú)立,不重不漏 步步相依,步驟完整 知識(shí)點(diǎn)二 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 解決較為復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題,一般要將兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用.使用時(shí)要做到目的明確,層次分明,先后有序,還需特別注意以下兩點(diǎn): (1)合理分類,準(zhǔn)確分步:處理計(jì)數(shù)問(wèn)題,應(yīng)扣緊兩個(gè)原理,根據(jù)具體問(wèn)題首先弄清楚是“分類”還是“分步”,要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn).分類時(shí)需要滿足兩個(gè)條件:①類與類之間要互斥(保證不重復(fù));②總數(shù)要完備(保證不遺漏),也就是要確定一個(gè)合理的分類標(biāo)準(zhǔn).分步時(shí)應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過(guò)程進(jìn)行分析,必須做到步與步之間互相獨(dú)立,互不干擾,并確保連續(xù)性. (2)特殊優(yōu)先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的計(jì)數(shù)問(wèn)題,一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置,體現(xiàn)出解題過(guò)程中的主次思想. 類型一 排數(shù)問(wèn)題 例1 用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字, (1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼? (2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)? 引申探究 由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)? 反思與感悟 對(duì)于組數(shù)問(wèn)題,應(yīng)掌握以下原則: (1)明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法求解. (2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位. 跟蹤訓(xùn)練1 用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有________個(gè).(用數(shù)字作答) 類型二 抽取(分配)問(wèn)題 例2 如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為________. 反思與感悟 解決抽取(分配)問(wèn)題的方法 (1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí),一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法. (2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí),一般有兩種方法:①直接使用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行;若是按對(duì)象特征抽取的,則按分類進(jìn)行;②間接法:去掉限制條件,計(jì)算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可. 跟蹤訓(xùn)練2 有四位同學(xué)參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽. (1)每位學(xué)生必須參加且只能參加一項(xiàng)競(jìng)賽,有多少種不同結(jié)果? (2)每項(xiàng)競(jìng)賽只許一位學(xué)生參加,有多少種不同的結(jié)果? 類型三 涂色與種植問(wèn)題 引申探究 若本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種? ① ② ④ ③ 例3 將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法? 1 2 3 4 反思與感悟 涂色問(wèn)題的四個(gè)解答策略 涂色問(wèn)題是考查計(jì)數(shù)方法的一種常見問(wèn)題,由于這類問(wèn)題常常涉及分類與分步,所以在高考題中經(jīng)常出現(xiàn),處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn),求解涂色問(wèn)題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解,常用的方法有: (1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù),并用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算. (2)以顏色為主分類討論法,適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問(wèn)題,用分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算. (3)將空間問(wèn)題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題. (4)對(duì)于不相鄰的區(qū)域,常分為同色和不同色兩類,這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn). 跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示,將四棱錐S-ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色,如果只有5種顏色可供使用,求不同的染色方法總數(shù). 例4 將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中,每塊種植一種作物,且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物,則不同的種植方法共有________種. 反思與感悟 按元素性質(zhì)分類,按事件發(fā)生過(guò)程分步是計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本思想方法,區(qū)分“分類”與“分步”的關(guān)鍵,是驗(yàn)證所提供的某一種方法是否完成了這件事情,分類中的每一種方法都能完成這件事情,而分步中的每一種方法不能完成這件事情,只是向事情的完成邁進(jìn)了一步. 跟蹤訓(xùn)練4 從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,求有多少種不同的種植方法. 1.用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中奇數(shù)有________個(gè). 2.在2,3,5,7,11這五個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)數(shù)字組成分?jǐn)?shù),其中假分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為________. 3.有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日,每人值日一天.已知同學(xué)甲只能在周三值日,那么這5名同學(xué)值日順序的安排方案共有________種. 4.如圖所示,在A,B間有四個(gè)焊接點(diǎn),若焊接點(diǎn)脫落,則可能導(dǎo)致電路不通.今發(fā)現(xiàn)A,B之間線路不通,則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有________種. 5.如圖,用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A,B,C,D中,要求相鄰的矩形涂色不同,則不同的涂法有________種. A B C D 1.分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是兩個(gè)最基本、也是最重要的原理,是解答后面將要學(xué)習(xí)的排列、組合問(wèn)題,尤其是較復(fù)雜的排列、組合問(wèn)題的基礎(chǔ). 2.應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨(dú)立完成;應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過(guò)的若干彼此獨(dú)立的步驟. 3一般是先分類再分步,分類時(shí)要設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn),設(shè)計(jì)好分類方案,防止重復(fù)和遺漏. 4.若正面分類的種類比較多,而問(wèn)題的反面種類比較少時(shí),則使用間接法會(huì)簡(jiǎn)單一些. 答案精析 題型探究 例1 解 (1)三位數(shù)字的電話號(hào)碼,首位可以是0,數(shù)字也可以重復(fù),每個(gè)位置都有5種排法,共有555=53=125(種). (2)三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字,首先考慮首位的排法,除0外共有4種方法,第二、三位可以排0,因此,共有455=100(種). (3)被2整除的數(shù)即偶數(shù),末位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類,一類是末位數(shù)字是0,則有43=12(種)排法;一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2種排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3種排法,十位有3種排法,因此有233=18(種)排法.因而有12+18=30(種)排法.即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù). 引申探究 解 完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,可以分四步:第一步定個(gè)位,只能從1,3中任取一個(gè),有2種方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用過(guò)的一個(gè)還有三個(gè),可任取一個(gè),有3種方法;第三步,第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法,再排十位有2種方法.由分步計(jì)數(shù)原理知共有2332=36(個(gè)). 跟蹤訓(xùn)練1 14 解析 因?yàn)樗奈粩?shù)的每個(gè)數(shù)位上都有兩種可能性,其中四個(gè)數(shù)字全是2或3的情況不合題意,所以符合題意的四位數(shù)有24-2=14(個(gè)). 例2 18 解析 從E點(diǎn)到F點(diǎn)的最短路徑有6條,從F點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有3條,所以從E點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑條數(shù)為63=18. 跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)學(xué)生可以選擇競(jìng)賽項(xiàng)目,而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)于學(xué)生無(wú)條件限制,所以每位學(xué)生均有3個(gè)不同的機(jī)會(huì),要完成這件事必須是每位學(xué)生參加的競(jìng)賽全部確定下來(lái)才行,因此需分四步.而每位學(xué)生均有3個(gè)不同選擇,所以用分步計(jì)數(shù)原理可得3333=34=81(種)不同結(jié)果. (2)競(jìng)賽項(xiàng)目可挑選學(xué)生,而學(xué)生無(wú)選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì),每一個(gè)項(xiàng)目可挑選4位不同學(xué)生中的一位. 要完成這件事必須是每項(xiàng)競(jìng)賽所參加的學(xué)生全部確定下來(lái)才行,因此需分三步,用分步計(jì)算原理可得444=43=64(種)不同結(jié)果. 例3 解 第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法. (1)當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí),有43=12(種)不同的涂法,第4個(gè)小方格有3種不同的涂法,由分步計(jì)數(shù)原理可知有5123=180(種)不同的涂法. (2)當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí),有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法,由分步計(jì)數(shù)原理可知有544=80(種)不同的涂法.由分類計(jì)數(shù)原理可得共有180+80=260(種)不同的涂法. 引申探究 解 依題意,可分兩類情況:①④不同色;①④同色. 第一類:①④不同色,則①②③④所涂的顏色各不相同,我們可將這件事情分成4步來(lái)完成. 第一步涂①,從5種顏色中任選一種,有5種涂法; 第二步涂②,從余下的4種顏色中任選一種,有4種涂法; 第三步涂③與第四步涂④時(shí),分別有3種涂法和2種涂法. 于是由分步計(jì)數(shù)原理可得,不同的涂法為5432=120(種). 第二類:①④同色,則①②③不同色,我們可將涂色工作分成三步來(lái)完成. 第一步涂①④,有5種涂法;第二步涂②,有4種涂法;第三步涂③,有3種涂法. 于是由分步計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有543=60(種). 綜上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(種). 跟蹤訓(xùn)練3 解 由題意,四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有543=60(種)染色方法. 當(dāng)S,A,B染色確定時(shí),不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3. 若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法;若C染4,則D可染3或5,有2種染法;若C染5,則D可染3或4,有2種染法. 由分類計(jì)數(shù)原理知,當(dāng)S,A,B染法確定時(shí),C,D有7種染法. 由分步計(jì)數(shù)原理得,不同的染色方法有607=420(種). 例4 42 解析 分別用a、b、c代表3種作物,先安排第一塊田,有3種方法,不妨設(shè)放入a,再安排第二塊田,有2種方法b或c,不妨設(shè)放入b,第三塊也有2種方法a或c. (1)若第三塊田放c: a b c 第四、五塊田分別有2種方法,共有22=4(種)方法. (2)若第三塊田放a: a b a 第四塊有b或c2種方法, ①若第四塊放c: a b a c 第五塊有2種方法; ②若第四塊放b: a b a b 第五塊只能種作物c,共1種方法. 綜上,共有32(22+2+1)=42(種)方法. 跟蹤訓(xùn)練4 解 方法一 (直接法) 若黃瓜種在第一塊土地上, 則有32=6(種)不同的種植方法. 同理,黃瓜種在第二塊、第三塊土地上,均有32=6(種)不同的種植方法. 故不同的種植方法共有63=18(種). 方法二 (間接法)從4種蔬菜中選出3種,種在三塊地上,有432=24(種),其中不種黃瓜有321=6(種),故不同的種植方法共有24-6=18(種). 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.8 2.10 3.24 4.13 5.108- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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