2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專題2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法試題 新人教A版必修5.doc

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2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法 1．數(shù)列的相關(guān)概念 按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項． 數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常也叫做__________），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項……排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成簡記為． 2．數(shù)列的分類 （1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分 有窮數(shù)列 項數(shù)_______的數(shù)列，例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列 無窮數(shù)列 項數(shù)_______的數(shù)列，例如數(shù)列1，2，3，4，5，6， 是無窮數(shù)列 （2）根據(jù)數(shù)列項的大小分 遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列 遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列 常數(shù)列 各項_______的數(shù)列 擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 3．數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的__________．我們可以根據(jù)數(shù)列的通項公式算出數(shù)列的各項． 4．數(shù)列表示方法的優(yōu)缺點 通項公式法 優(yōu)點：便于求出數(shù)列中任意指定的一項，利于對數(shù)列性質(zhì)進行研究 缺點：一些數(shù)列的通項公式表示比較困難 列表法 優(yōu)點：內(nèi)容具體、方法簡單，給定項的序號，易得相應(yīng)項 缺點：表示一個無窮數(shù)列或項數(shù)比較多的有窮數(shù)列時比較困難 _______法 優(yōu)點：能直觀形象地表示出隨著序號的變化，相應(yīng)項變化的趨勢 缺點：數(shù)列項數(shù)較多時用圖象表示比較困難 遞推公式法 優(yōu)點：可以揭示數(shù)列的一些性質(zhì)，如前后幾項之間的關(guān)系 缺點：不容易了解數(shù)列的全貌，計算也不方便 5．遞推公式的定義 如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第2項（或某一項）開始的任一項與它的前一項 (或前n項)間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的__________． 注意：遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法． K知識參考答案： 1．首項 2．有限 無限 相等 3．通項公式 4．圖象 5．遞推公式 K—重點 數(shù)列的表示方法、通項公式及其應(yīng)用，根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項 K—難點 根據(jù)數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式 K—易錯 對遞推公式變形時注意n取值的變化 根據(jù)數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出其一個通項公式的方法： （1）觀察數(shù)列的前幾項是否具有以下幾個特征：各項的符號特征、各項能否分拆、分式的分子與分母的特征、相鄰項的變化規(guī)律等； （2）尋找各項與對應(yīng)的項的序號之間的規(guī)律． 根據(jù)下面數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式： （1）1，3，5，7，9，…； （2），，，，，…； （3）0，2，0，2，0，2，…； （4）1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； （5）3，5，9，17，33，…． 【答案】見解析． 【解析】（1）數(shù)列的各項是連續(xù)的正奇數(shù)，它的一個通項公式為an＝2n1； （2）分子是連續(xù)的正偶數(shù)，分母為分子的平方減去1，它的一個通項公式為an＝； （3）將數(shù)列變形為，…，易知它的一個通項公式為an＝； （4）將數(shù)列變形為1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，類似于（3）可得它的一個通項公式為an＝n＋； （5）將數(shù)列變形為，…，可得它的一個通項公式為an＝． 【名師點睛】尋找各項與對應(yīng)的項的序號之間的規(guī)律的方法： （1）熟記一些特殊數(shù)列的通項公式，如等； （2）將數(shù)列的各項分解成若干個常見數(shù)列的“和”“差”“積”“商”，如分式形式的數(shù)列，可將分子、分母分別求通項； （3）當數(shù)列各項的符號出現(xiàn)“+”“”相間時，可用或來實現(xiàn)． 數(shù)列1，的一個通項公式是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A中，B中，C中，D中，因此排除A、B、C，故選D． 數(shù)列中項的判斷與求解 （1）如果已知數(shù)列的通項公式，只要將相應(yīng)序號代入通項公式，就可以寫出數(shù)列中的指定項； （2）判斷某數(shù)是否為數(shù)列的項，只需將此數(shù)代入數(shù)列的通項公式中，求出n的值．若求出的n為正整數(shù)，則該數(shù)是數(shù)列的項，否則該數(shù)不是數(shù)列的項． 已知數(shù)列的通項公式，則 （1）_____________； （2）_____________． 【答案】（1）2；（2）10． 【解析】（1）因為所以． （2）觀察可知 故10． 已知數(shù)列的通項公式是，那么 A．30是數(shù)列的一項 B．44是數(shù)列的一項 C．66是數(shù)列的一項 D．90是數(shù)列的一項 【答案】C 【解析】注意到30，44，66，90均比較小，可以寫出這個數(shù)列的前幾項，則問題就可以解決了.易得．故選C． 【名師點睛】若出現(xiàn)的數(shù)比較大，可以用解方程的方法加以解決（看求出的解是否為正整數(shù)）． 根據(jù)數(shù)列的遞推公式求 由遞推公式求通項公式的常用方法： （1）歸納法．根據(jù)數(shù)列的某項和遞推公式，求出數(shù)列的前幾項，歸納出通項公式； （2）迭代法、累加法或累乘法． 已知，，寫出前5項，并猜想． 【答案】前五項分別為，猜想． 【解析】由題可得．故前五項分別為． 由，，，…觀察，猜想． 【解題技巧】（1）本題若是求，則由a n+1=2an可得an=2a n－1，即，依次向下寫，一直到第一項，然后將它們相乘，有，所以an=a12n－1=2n．這種方法通常叫疊乘法，這種方法在已知遞推公式求數(shù)列通項公式的問題中是比較常用的方法，對應(yīng)的還有疊加法． （2）應(yīng)注意的是：數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無初始值，那么這個數(shù)列是不能確定的． 已知，，則數(shù)列的通項公式 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，當時，，經(jīng)檢驗，也符合上述通項公式．故選C． 數(shù)列的單調(diào)性 數(shù)列單調(diào)性的判斷方法和應(yīng)用思路： （1）比較數(shù)列中任意相鄰兩項和的大小來判斷，常用方法是定義法、作差法和作商法； （2）利用數(shù)列的單調(diào)性：數(shù)列遞增，數(shù)列遞減． 對于通項較復(fù)雜的數(shù)列問題，常采用“特值探路”的策略，并結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解． 已知數(shù)列的通項公式為，判斷數(shù)列的單調(diào)性． 【答案】數(shù)列是遞增數(shù)列． 【解析】方法1： 則 ，即，故數(shù)列是遞增數(shù)列． 方法2：則， 又故，即數(shù)列是遞增數(shù)列． 方法3：令，則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故數(shù)列是遞增數(shù)列． 【名師點睛】方法3借助于數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，運用我們熟知的函數(shù)的單調(diào)性進行求解，更加簡捷． 數(shù)列的最大（?。╉椀那蠓? 數(shù)列的最大（?。╉梿栴}有如下兩種求法： （1）利用數(shù)列的單調(diào)性確定數(shù)列的最大（小）項． 當數(shù)列不單調(diào)時，還需解不等式（或，此時應(yīng)注意的符號）； （2）通過解不等式組來確定． 設(shè)第項是數(shù)列的最大（?。╉棧瑒t ，求出k的正整數(shù)值即得最大（?。╉?，這樣就不必再判斷數(shù)列的單調(diào)性了． 已知數(shù)列的通項公式，試問數(shù)列是否有最大項？若有，求出最大項；若沒有，請說明理由． 【答案】數(shù)列有最大項為或，且． 【解析】方法1：作差比較與的大小，判斷的單調(diào)性． ，當時，，即； 當時，，即；當時，，即． 故， 所以數(shù)列有最大項為或，且． 方法2：作商比較與的大小，判斷的單調(diào)性， 令，解得；令，解得；令，解得． 故 所以數(shù)列有最大項為或，且． 方法3：假設(shè)中有最大項，且最大項為第n項，則， 即，即， 故數(shù)列有最大項為或，且． 對遞推公式變形時忽略的取值 已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式_____________． 【錯解】由，可得，兩式相除可得． 【錯因分析】僅適用于且時的情況， 故不能就此斷定就是數(shù)列的通項公式． 【正解】當時，； 當時，由，可得， 上述兩式相除可得，故． 【名師點睛】在對遞推公式變形時，常常會改變n的取值，因此求出的不一定適用于． 1．數(shù)列的一個通項公式是 A． B． C． D． 2．不能作為數(shù)列2，0，2，0，…的通項公式的是 A． B． C． D． 3．數(shù)列中，，則 A． B． C． D． 4．在數(shù)列中，，，則 A． B． C． D． 5．是數(shù)列，，，，…的 A．第項 B．第項 C．第項 D．第項 6．數(shù)列的前n項和，則的通項公式為 A． B． C． D． 7．數(shù)列中，若，，則 A． B． C． D． 8．如圖，給出的3個三角形圖案中圓的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前3項，則這個數(shù)列的一個通項公式是 A． B． C． D． 9．已知數(shù)列的通項公式為，則______________． 10．數(shù)列中，，那么滿足的有______________項． 11．數(shù)列中，已知（為常數(shù)），且，則______________． 12．如圖所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，推測第行的第3個數(shù)字為______________． 13．數(shù)列{}中的最大項是______________． 14．已知數(shù)列，其通項公式為 ，判斷數(shù)列的單調(diào)性． 15．已知數(shù)列的通項公式為． （1）求的值； （2）試判斷是否為數(shù)列中的項，若是，是第幾項？若不是，請說明理由．  16．不能作為數(shù)列的一個通項公式的是 A． B． C． D． 17．在數(shù)列中，，若，則的值為 A． B． C． D． 18．傳說古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前570年—公元前500年)學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)．根據(jù)下列四個圖形及相應(yīng)的正方形的個數(shù)的變化規(guī)律，第n個圖形中有_____________個正方形． 19．若數(shù)列滿足，則_____________． 20．已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則_____________． 21．若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì)．若具有性質(zhì)，且，，則_____________． 22．已知是遞增數(shù)列，且對任意的自然數(shù)n(n≥1)，都有恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為_____________． 23．已知數(shù)列的通項公式． （1）數(shù)列中有多少項為負數(shù)? （2）數(shù)列{an}是否有最小項?若有，求出其最小項． 24．數(shù)列中，，求，并歸納出．  25．已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式． 26．（2017新課標全國Ⅲ文節(jié)選）設(shè)數(shù)列滿足，求的通項公式.  1．【答案】B 【解析】觀察數(shù)列的前6項知，每一項與項數(shù)的關(guān)系為，故選B． 2．【答案】C 【解析】驗證易知，只有C選項中的式子不能作為已知數(shù)列的通項公式．故選C． 3．【答案】C 【解析】因為，所以所以故選C． 5．【答案】B 【解析】由數(shù)列，，，，…可得通項公式為，令，求解得，故選B． 6．【答案】A 【解析】因為，所以當時，，兩式相減可得，又當時，，滿足上式，故選A． 7．【答案】B 【解析】將代入，得，再將代入，得，所以數(shù)列周期為，所以，故選B． 8．【答案】D 【解析】由，再根據(jù)累加法得 ＝，故選D． 9．【答案】 【解析】因為，所以． 10．【答案】 【解析】由二次函數(shù)知識可知，該數(shù)列為二次函數(shù)圖象上的整數(shù)點，當時滿足，故滿足的有項． 11．【答案】 【解析】由可得，因為，所以，解得，所以，所以． 12．【答案】 【解析】由題圖可知，從第3行開始，每個數(shù)字都等于其“肩上”的兩數(shù)之和，那么第行的數(shù)字為，故第3個數(shù)字為． 14．【答案】數(shù)列是遞增數(shù)列． 【解析】方法1：， 則 即， 故數(shù)列是遞增數(shù)列. 方法2：， 則 即數(shù)列是遞增數(shù)列． （注：這里要確定的符號，否則無法判斷與的大?。? 方法3：令，則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為， 則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故數(shù)列是遞增數(shù)列． 15．【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）因為數(shù)列的通項公式為，所以． （2）是數(shù)列中的項．理由如下： 假設(shè)是數(shù)列中的項，則，解得， 所以是數(shù)列中的項，且為第項． 16．【答案】C 【解析】因為數(shù)列的前幾項為擺動數(shù)列，因此通過驗證可知A，B，D都適合，C選項不適合．故選C． 18．【答案】 【解析】設(shè)數(shù)列為{an}，由圖知，，，，，所以由此猜想：． 19．【答案】 【解析】由已知得，，所以，，，，，，． 20．【答案】 【解析】由，令，解得，同理可得，所以． 21．【答案】 【解析】因為，所以，，， 于是，又，所以． 22．【答案】(-3，+∞) 【解析】由{an}為遞增數(shù)列，得an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0恒成立，即λ>-2n-1在n≥1時恒成立，令f(n)=-2n-1，n∈，則f(n)max=-3．只需λ>f(n)max=-3即可.故實數(shù)λ的取值范圍為(-3，+∞) ． 23．【答案】（1）；（2）當或時，數(shù)列有最小項，且最小項． 24．【答案】的值分別為，． 【解析】， ， ， ， ， 由可以歸納出． 25．【答案】． 【解析】方法1(累乘法)： ∵，即， ∴，，，…，． 以上各式兩邊分別相乘，得． 又，∴， ∵也適合上式，∴． 方法2(迭代法)： 由知，，，，…， 則． 26．【答案】． 【思路分析】先由題意得時，，再作差得，同時應(yīng)驗證時是否也滿足上式． 【解析】因為， 故當時，． 兩式相減得， 所以． 又由題設(shè)可得， 從而的通項公式為．