2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

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二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 在不等關(guān)系的證明中，方法多種多樣，其中數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法之一．在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由n＝k成立，推導(dǎo)n＝k＋1成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行． 2．歸納—猜想—證明的思想方法 數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中．一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思想方法． 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 [例1]　證明不等式1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)． [思路點(diǎn)撥]　 ―→―→ [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)不等式成立， 即1＋＋＋…＋＜2， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋＋＋…＋＋＜2＋＝， 現(xiàn)在只需證明＜2成立， 即證2＜2k＋1成立， 兩邊平方并整理，得0＜1，顯然成立， 所以＜2成立． 即1＋＋＋…＋＋＜2成立． 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 由(1)(2)可知，對于任意正整數(shù)n，原不等式都成立． 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧 (1)證明不等式時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時(shí)，對原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到n＝k時(shí)的假設(shè)，所以需要認(rèn)真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一． (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程． 1．設(shè)Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，比較S2n與的大小，并予以證明． 解：由S22＝1＋＋＋＝＞，S23＝1＋＋＋＋＋…＋＞S22＋＋＋＋＞＋＝，猜想：S2n＞(n≥2)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． (1)當(dāng)n＝2時(shí)，上面已證不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥2)時(shí)，有S2k＞， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， S2k＋1＝S2k＋＋＋…＋＞＋ ＝＋＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 結(jié)合(1)(2)可知，S2n＞(n≥2，n∈N＋)成立． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，1＋＝<2－＝，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2－， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 由(1)(2)知原不等式在n≥2，n∈N＋時(shí)均成立． 3．設(shè)Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明． 解：(1)當(dāng)n＝1,2時(shí)，Pn＝Qn. (2)當(dāng)n≥3時(shí)，(以下再對x進(jìn)行分類)． ①若x∈(0，＋∞)，顯然有Pn>Qn. ②若x＝0，則Pn＝Qn. ③若x∈(－1,0)， 則P3－Q3＝x3<0，所以P31)，當(dāng)n＝2時(shí)，要證明的式子為________． 解析：當(dāng)n＝2時(shí)，要證明的式子為 2<1＋＋＋<3. 答案：2<1＋＋＋<3 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋＞－.假設(shè)n＝k時(shí)不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是__________________． 解析：假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，即＋＋…＋＞－，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝＋＋…＋＋＞－＋，下面只需證明－＋＞－即可． 答案：－＋＞－ 7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時(shí)，f(2k＋1)－f(2k)＝______________. 解析：f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋， f(2k)＝1＋＋＋…＋，所以 f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 答案：＋＋…＋ 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明，對任意n∈N＋，有 (1＋2＋…＋n)≥n2. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝右邊，不等式成立． 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝(1＋2)＝>22，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)不等式成立， 即(1＋2＋…＋k)≥k2. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 左邊＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]＋ ＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)＋1≥k2＋＋1＋(k＋1). ∵當(dāng)k≥2時(shí)，1＋＋…＋≥1＋＝，(*) ∴左邊≥k2＋＋1＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2. 這就是說當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等成立． 由(1)(2)可知當(dāng)n≥1時(shí)，不等式成立． 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N＋. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明通項(xiàng)公式的正確性． 解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)， 由已知得a1＝＋－1， 即a＋2a1－2＝0. ∴a1＝－1(a1＞0)． 當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝＋－1， 將a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0. ∴a2＝－(a2＞0)． 同理可得a3＝－. 猜想an＝－(n∈N＋)． (2)證明：①由(1)知，當(dāng)n＝1時(shí)，通項(xiàng)公式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，通項(xiàng)公式成立， 即ak＝－. 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 將ak＝－代入上式，整理得 a＋2ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝－， 即n＝k＋1時(shí)通項(xiàng)公式成立． 由①②可知對所有n∈N＋，an＝－都成立． 10．設(shè)數(shù)列{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3…. (1)當(dāng)a1＝2時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)a≥3時(shí)，證明對所有的n≥1，有an≥n＋2. 解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3， 由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4， 由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5. 由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式： an＝n＋1(n≥1)． (2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1，a1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立， 即ak≥k＋2，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)． ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3， 也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1≥(k＋1)＋2. 根據(jù)①和②，對于所有n≥1，有an≥n＋2.