2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.2 超幾何分布學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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2.2 超幾何分布 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解超幾何分布的實(shí)際背景.2.理解超幾何分布的特征.3.能用超幾何分布這一概率模型解決相關(guān)問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn) 超幾何分布 思考 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù). (1)X的所有可能值是什么? (2)X的概率分布是什么? 梳理 超幾何分布 (1)概念:一般地,若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=r)=,其中r=0,1,2,3,…,l,l=min(n,M),則稱X服從超幾何分布. (2)記法:X服從超幾何分布,記為_(kāi)_________________,并將P(X=r)=____________記為H(r;n,M,N). (3)含義:在H(r;n,M,N)中,r,n,M,N的含義: 特別提醒:(1)超幾何分布的模型特點(diǎn) ①超幾何分布中的正品、次品也可以理解為黑、白,男、女等有明顯差異的兩部分. ②超幾何分布中“X=k”的含義是“取出的n件產(chǎn)品中恰好有k件次品”. (2)超幾何分布的特征 ①超幾何分布的抽取是不放回的. ②超幾何分布本質(zhì)上還是這一事件在該隨機(jī)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的比. 類(lèi)型一 超幾何分布求概率 例1 從放有10個(gè)紅球與15個(gè)白球的暗箱中,隨意摸出5個(gè)球,規(guī)定取到一個(gè)白球得1分,一個(gè)紅球得2分,求某人摸出5個(gè)球,恰好得7分的概率. 反思與感悟 解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布.若滿足,則直接利用公式解決;若不滿足,則應(yīng)借助相應(yīng)概率公式求解. 跟蹤訓(xùn)練1 在元旦晚會(huì)上,數(shù)學(xué)老師設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲,在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球,這些球除顏色外完全相同,從中任意摸出5個(gè)球,至少摸到3個(gè)紅球中獎(jiǎng),求中獎(jiǎng)的概率.(結(jié)果保留兩位小數(shù)) 類(lèi)型二 超幾何分布求概率分布 引申探究 在本例條件下,若記取到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量η,求隨機(jī)變量η的概率分布.例2 一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀大小完全相同的小球,其中紅球有3個(gè),編號(hào)為1,2,3;黑球有2個(gè),編號(hào)為1,2;白球有1個(gè),編號(hào)為1.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球. (1)求取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率; (2)記取得1號(hào)球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的概率分布. 反思與感悟 超幾何分布的求解步驟 (1)辨模型:結(jié)合實(shí)際情景分析所求概率分布問(wèn)題是否具有明顯的兩部分組成,如“男生、女生”,“正品、次品”“優(yōu)劣”等,或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分.具有該特征的概率模型為超幾何分布模型. (2)算概率:可以直接借助公式P(X=r)=求解,也可以利用排列組合及概率的知識(shí)求解,需注意借助公式求解時(shí)應(yīng)理解參數(shù)M,N,n,r的含義. (3)列分布表:把求得的概率值通過(guò)表格表示出來(lái). 跟蹤訓(xùn)練2 從5名男生和3名女生中任選3人參加奧運(yùn)會(huì)火炬接力活動(dòng).若隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù),求X的概率分布及P(X<2). 類(lèi)型三 超幾何分布的綜合應(yīng)用 例3 在10件產(chǎn)品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.從這10件產(chǎn)品中任取3件.求: (1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的概率分布; (2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率. 反思與感悟 識(shí)別超幾何分布的三大標(biāo)準(zhǔn) (1)總數(shù)為N件的物品只分為兩類(lèi):M(M≤N)件甲類(lèi)(或次品),N-M件乙類(lèi)(或正品). (2)從N件物品中行取n(n≤N)件物品必須采用不放回抽樣. (3)隨機(jī)變量X表示從N件物品中任取n(n≤N)件物品,其中所含甲類(lèi)物品(或次品)的件數(shù). 跟蹤訓(xùn)練3 袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè),從袋中任取3個(gè)小球,按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分,每個(gè)小球被取出的可能性相等,用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字,求: (1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率; (2)隨機(jī)變量X的概率分布; (3)計(jì)算介于20分到40分之間的概率. 1.盒中有4個(gè)白球,5個(gè)紅球,從中任取3個(gè)球,則取出1個(gè)白球和2個(gè)紅球的概率是________. 2.有10位同學(xué),其中男生6位,女生4位,從中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.用X表示女生人數(shù),則概率P(X≤2)=________. 3.從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,則所選3人中,女生的人數(shù)不超過(guò)1人的概率為_(kāi)_______. 4.從1,2,3,4,5中任取3個(gè)數(shù),記最大的數(shù)為ξ,則P(ξ=4)=________. 5.一個(gè)盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片,分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4,5;另一個(gè)盒子里也裝有4張大小形狀完全相同的卡片,分別標(biāo)有數(shù)字3,4,5,6.現(xiàn)從一個(gè)盒子里任取一張卡片,其上面的數(shù)記為x,再?gòu)牧硪粋€(gè)盒子里任取一張卡片,其上面的數(shù)記為y,記隨機(jī)變量η=x+y,求η的概率分布. 1.超幾何分布的判斷 判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布,可以從以下兩個(gè)方面判斷:一是超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題;二是隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù). 2.超幾何分布的分布列的求法 (1)在超幾何分布中,只要知道N,M和n,就可以根據(jù)公式,求出X取不同r值時(shí)的概率P(X=r),從而列出X的概率分布. (2)一旦掌握了X的概率分布,就可以算出相應(yīng)試驗(yàn)的很多事件的概率,從而就完全掌握了該試驗(yàn). 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn) 思考 (1)0,1,2. (2)P(X=0)===, P(X=1)===, P(X=2)===, ∴X的概率分布如下表: X 0 1 2 P 梳理 (2)X~H(n,M,N) 題型探究 例1 解 設(shè)摸出的紅球個(gè)數(shù)為X,則X服從超幾何分布,其中N=25,M=10,n=5.由于摸出5個(gè)球,得7分,僅有兩個(gè)紅球的可能,那么恰好得7分的概率為 P(X=2)=≈0.385, 即恰好得7分的概率約為0.385. 跟蹤訓(xùn)練1 解 設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為X,則X服從超幾何分布,其中N=30,M=10,n=5.于是中獎(jiǎng)的概率為 P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =++ = = ≈0.19. 例2 解 (1)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球,基本事件總數(shù)n=C=20,取出的3個(gè)球的顏色都不相同包含的基本事件的個(gè)數(shù)為CCC=6,所以取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率為P==. (2)由題意知,X=0,1,2,3. P(X=0)==,P(X=1)= =, P(X=2)==,P(X=3)= =. 所以X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 引申探究 解 由題意可知η=0,1,服從兩點(diǎn)分布. 又P(η=1)==,所以η的概率分布如下表: η 0 1 P 跟蹤訓(xùn)練2 解 由題意分析可知,隨機(jī)變量X服從超幾何分布,其中N=8,M=3,n=3. 所以P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==. 故隨機(jī)變量X的概率分布如下表: X 0 1 2 3 P 所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) =+=. 例3 解 (1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的基本事件總數(shù)為C,從10件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有m(0≤m≤3且m∈N)件一等品的基本事件個(gè)數(shù)為CC,那么從10件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有m件一等品的概率為P(X=m)=,m=0,1,2,3. 所以隨機(jī)變量X的概率分布如下表: X 0 1 2 3 P (2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1,“恰好取出2件一等品”為事件A2,“恰好取出3件一等品”為事件A3. 由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3, 又因?yàn)镻(A1)==, P(A2)=P(X=2)=, P(A3)=P(X=3)=, 所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =++=. 即取出的3件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)多于二等品的件數(shù)的概率為. 跟蹤訓(xùn)練3 解 (1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,則P(A)==. (2)由題意知,X所有可能的取值為2,3,4,5. P(X=2)==, P(X=3)==, P(X=4)==, P(X=5)==, 所以隨機(jī)變量X的概率分布如下表: X 2 3 4 5 P (3)“一次取球得分介于20分到40分之間”記為事件C,則P(C)=P(X=3)+P(X=4)=+=. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1. 2. 3. 4. 5.解 依題意,η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11. 則有P(η=5)==, P(η=6)==,P(η=7)=, P(η=8)==,P(η=9)=, P(η=10)==,P(η=11)=. 所以η的概率分布為 η 5 6 7 8 9 10 11 P- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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