2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積 2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義學(xué)案 新人教A版必修4.doc

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2.4.1　平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.平面向量的數(shù)量積．(重點(diǎn))2.平面向量數(shù)量積的幾何意義．(難點(diǎn))3.向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別．(易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．平面向量數(shù)量積的定義 非零向量a，b的夾角為θ，數(shù)量|a||b|cos θ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作ab，即ab＝|a||b|cos θ.特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0. 思考：向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？ [提示]　數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)，線性運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量． 2．向量的數(shù)量積的幾何意義 (1)投影的概念： ①b在a的方向上的投影為|b|cos θ； ②a在b的方向上的投影為|a|cos θ. (2)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 思考：投影一定是正數(shù)嗎？ [提示]　投影可正、可負(fù)也可以為零． 3．向量數(shù)量積的性質(zhì) 垂直向量 ab＝0 平行向量 同向 ab＝|a||b| 反向 ab＝－|a||b| 向量的模 aa＝|a|2或|a|＝ 求夾角 cos θ＝ 不等關(guān)系 ab≤|a||b| 4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab＝ba(交換律)． (2)(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)(結(jié)合律)． (3)(a＋b)c＝ac＋bc(分配律)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)向量的夾角和直線的傾斜角的范圍相同．(　　) (2)設(shè)非零向量a與b的夾角為θ，則cos θ>0?ab>0.(　　) (3)|ab|≤ab.(　　) (4)(ab)2＝a2b2.(　　) [解析]　(1).因向量的夾角包括180，直線的傾斜角不包括180. (2)√.由數(shù)量積的定義可知． (3).|ab|≥ab， (4).(ab)2＝(|a||b|cos θ)2＝a2b2cos2θ. [答案]　(1)　(2)√　(3)　(4) 2．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝，且a與b的夾角為60，那么ab等于________． 　[ab＝|a||b|cos 60＝2＝.] 3．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，則ab為_(kāi)_______． 2　[設(shè)a與b的夾角為θ，則a在b方向上的投影|a|cos θ＝， 所以ab＝|b||a|cos θ＝3＝2.] [合 作 探 究攻 重 難] 向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義 　(1)已知單位向量e1，e2的夾角為，a＝2e1－e2，則a在e1上的投影是________． (2)給出下列結(jié)論：①若a≠0，ab＝0，則b＝0；②若ab＝bc，則a＝c；③(ab)c＝a(bc)；④a[b(ac)－c(ab)]＝0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． (3)已知向量a與b滿足|a|＝10，|b|＝3，且向量a與b的夾角為120.求： ①(a－b)(a－b)； ②(2a＋b)(a－b). [思路探究]　根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及投影的定義解答． (1)　(2)④　[(1)設(shè)a與e1的夾角為θ，則a在e1上的投影為|a|cos θ＝＝ae1＝(2e1－e2)e1 ＝2e－e1e2 ＝2－11cos＝. (2)因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量a，b垂直時(shí)，ab＝0，故①不正確； 當(dāng)a＝0，b⊥c時(shí)，ab＝bc＝0，但不能得出a＝c， 故②不正確； 向量(ab)c與c共線，a(bc)與a共線，故③不正確； a[b(ac)－c(ab)] ＝(ab)(ac)－(ac)(ab)＝0，故④正確． (3)①(a－b)(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91. ②因?yàn)閨a|＝10，|b|＝3，且向量a與b的夾角為120， 所以ab＝103cos 120＝－15， 所以(2a＋b)(a－b)＝2a2－ab－b2 ＝200＋15－9＝206.] [規(guī)律方法]　求平面向量數(shù)量積的步驟是：(1)求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]；(2)分別求|a|和|b|；(3)求數(shù)量積，即ab＝|a||b|cos θ，要特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“”連接，而不能用“”連接，也不能省去. 求投影的兩種方法： (1)b在a方向上的投影為|b|cos θ(θ為a，b的夾角)，a在b方向上的投影 為|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影為，a在b方向上的投影為. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)在△ABC中，∠A＝60，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且＝－4，則λ的值為_(kāi)_______． 　[設(shè)＝a，＝b，由已知得|a|＝3，|b|＝2，ab＝|a||b|cos 60＝3， 因?yàn)椋?，所以－＝2(－)， 所以＝＋＝a＋b， 所以＝(λb－a)＝ab－a2＋b2＝(λ－2)－9＋4＝－4， 解得λ＝.] (2)設(shè)非零向量a和b，它們的夾角為θ. ①若|a|＝5，θ＝150，求a在b方向上的投影； ②若ab＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影． [解]　①|(zhì)a|cos θ＝5cos 150＝5＝－， ∴a與b方向上的投影為－. ②＝＝， ∴b在a方向上的投影為. 與向量模有關(guān)的問(wèn)題 　(1)已知向量a，b的夾角為60，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝_______. (2)已知向量a與b夾角為45，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|. [思路探究]　靈活應(yīng)用a2＝|a|2求向量的模． (1)2　[(1)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a||2b|cos 60＋(2|b|)2 ＝22＋222＋22＝4＋4＋4＝12， 所以|a＋2b|＝＝2. (2)因?yàn)閨2a＋b|＝， 所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4ab＋b2＝10， 又因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為45且|a|＝1， 所以412＋41|b|＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．] [規(guī)律方法]　求向量的模的常見(jiàn)思路及方法 (1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開(kāi)方. (2)aa＝a2＝|a|2或|a|＝，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.,(3)一些常見(jiàn)的等式應(yīng)熟記，如(ab)2＝a22ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等. [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知向量a、b滿足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. [解]　由已知，|a＋b|＝4， ∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2ab＋b2＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9， 代入(*)式得4＋2ab＋9＝16， 即2ab＝3. 又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝. 與向量垂直、夾角有關(guān)的問(wèn)題 [探究問(wèn)題] 1．設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則ab等于多少？反之成立嗎？ 提示：a⊥b?ab＝0. 2．|ab|與|a||b|的大小關(guān)系如何？為什么？對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？ 提示：|ab|≤|a||b|，設(shè)a與b的夾角為θ，則ab＝|a||b|cos θ. 兩邊取絕對(duì)值得： |ab|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 當(dāng)且僅當(dāng)|cos θ|＝1， 即cos θ＝1，θ＝0或π時(shí)，取“＝”， 所以|ab|≤|a||b|， cos θ＝. 　(1)已知e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，則k的取值范圍為_(kāi)_______． (2)已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角. [思路探究]　(1)兩個(gè)向量夾角為銳角等價(jià)于這兩個(gè)向量數(shù)量積大于0且方向不相同． (2)由互相垂直的兩個(gè)向量的數(shù)量積為0列方程，推出|a|與|b|的關(guān)系，再求a與b的夾角． (1)(0,1)∪(1，＋∞)　[(1)∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角， ∴(e1＋ke2)(ke1＋e2) ＝ke＋ke＋(k2＋1)e1e2 ＝2k＞0，∴k＞0. 當(dāng)k＝1時(shí)，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0，不符合題意，舍去． 綜上，k的取值范圍為k＞0且k≠1. (2)由已知條件得 即 ②－①得23b2－46ab＝0， ∴2ab＝b2，代入①得a2＝b2， ∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝.] 母題探究：1.將例3(1)中的條件“銳角”改為“鈍角”其他條件不變，求k的取值范圍． [解]　∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為鈍角， ∴(e1＋ke2)(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1e2＝2k＜0， ∴k＜0. 當(dāng)k＝－1時(shí)e1＋ke2與ke1＋e2方向相反，它們的夾角為π，不符合題意，舍去． 綜上，k的取值范圍是k＜0且k≠－1. 2．將例3(1)中的條件“銳角”改為“”，求k的值． [解]　由已知得|e1＋ke2|＝＝， |ke1＋e2|＝＝， (e1＋ke2)(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1e2＝2k， 則cos＝＝， 即＝整理得k2－4k＋1＝0 解得k＝＝2. [規(guī)律方法]　1.求向量夾角的方法： (1)求出ab，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解． (2)用同一個(gè)量表示ab，|a|，|b|代入公式求解． (3)借助向量運(yùn)算的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求夾角． 2．要注意夾角θ的范圍θ∈[0，π]，當(dāng)cos θ＞0時(shí)，θ∈；當(dāng)cos θ＜0時(shí)，θ∈，當(dāng)cos θ＝0時(shí)，θ＝. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，ab＝－1，則a(2a－b)＝(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．0 B　[因?yàn)閨a|＝1，ab＝－1，所以a(2a－b)＝2|a|2－ab＝212－(－1)＝3，故選B.] 2．設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則ab等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 B　[因?yàn)閨e1|＝|e2|＝1，e1e2＝0，所以ab＝(3e1＋2e2)(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1e2＝－912＋812＋60＝－1.故選B.] 3．已知|a|＝3，|b|＝5，且ab＝12，則向量a在向量b的方向上的投影為_(kāi)_______. 　[設(shè)a與b的夾角為θ， 因?yàn)閍b＝|a||b|cos θ＝12， 又|b|＝5，所以|a|cos θ＝， 即a在b方向上的投影為.] 4．若ab＜0，則a與b的夾角θ的取值范圍是________． 　[因?yàn)閍b＝|a||b|cos θ＜0， 所以cos θ＜0，又θ∈[0，π]，所以θ∈.] 5．已知|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為，求|a＋b|，|a－b|. [解]　ab＝|a||b|cos θ＝55＝. |a＋b|＝ ＝ ＝＝5. |a－b|＝ ＝ ＝＝5.