2018版高中數(shù)學 第二章 概率 2.4 二項分布學案 蘇教版選修2-3.doc
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2.4 二項分布 學習目標 1.理解n次獨立重復試驗的模型.2.掌握二項分布公式.3.能利用獨立重復試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題． 知識點一 獨立重復試驗 思考1 要研究拋擲硬幣的規(guī)律，需做大量的擲硬幣試驗，試驗的條件有什么要求？ 思考2 試驗結(jié)果有哪些？ 思考3 各次試驗的結(jié)果有無影響？ 梳理 n次獨立重復試驗的特點 (1)由________次試驗構(gòu)成． (2)每次試驗____________完成，每次試驗的結(jié)果僅有____________的狀態(tài)，即________． (3)每次試驗中P(A)＝p＞0. 特別地，n次獨立重復試驗也稱為伯努利試驗． 知識點二 二項分布 在體育課上，某同學做投籃訓練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投籃命中這個事件，用Bk表示僅投中k次這個事件． 思考1 用Ai如何表示B1，并求P(B1)． 思考2 試求P(B2)和P(B3)． 梳理 一般地，在n次獨立重復試驗中，每次試驗事件A發(fā)生的概率均為p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P()＝1－p＝q. 若隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝Cpkqn－k， 其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作X～B(n，p)． 類型一 求獨立重復試驗的概率 例1 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和，假設每次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響．(結(jié)果需用分數(shù)作答) 引申探究 若本例條件不變，求兩人各射擊2次，甲、乙各擊中1次的概率．(1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標的概率； (2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次的概率． 反思與感悟 獨立重復試驗概率求法的三個步驟 (1)判斷：依據(jù)n次獨立重復試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復試驗． (2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆． (3)計算：就每個事件依據(jù)n次獨立重復試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算． 跟蹤訓練1 9粒種子分別種在甲、乙、丙3個坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為.若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種，否則這個坑需要補種種子． (1)求甲坑不需要補種的概率； (2)記3個坑中恰好有1個坑不需要補種的概率為P1，另記有坑需要補種的概率為P2，求P1＋P2的值． 類型二 二項分布 例2 學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同．每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)． (1)求在1次游戲中， ①摸出3個白球的概率； ②獲獎的概率； (2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的概率分布． 反思與感悟 (1)當X服從二項分布時，應弄清X～B(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p. (2)解決二項分布問題的兩個關注點 ①對于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必須在滿足獨立重復試驗時才能應用，否則不能應用該公式； ②判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次． 跟蹤訓練2 袋子中有8個白球，2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取三次，求有放回時，取到黑球個數(shù)的概率分布． 類型三 二項分布的綜合應用 例3 一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是. (1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的概率分布； (2)求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的概率分布； (3)這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率． 反思與感悟 對于概率問題的綜合題，首先，要準確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別應用相加或相乘事件公式；最后，選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解． 跟蹤訓練3 一個口袋內(nèi)有n(n>3)個大小相同的球，其中3個紅球和(n－3)個白球，已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p.若6p∈N，有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個球)，在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于，求p與n的值． 1．在4次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在1次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是________． 2．某人進行射擊訓練，一次擊中目標的概率為，經(jīng)過三次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為________． 3．甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比為3∶2，比賽時均能正常發(fā)揮技術水平，則在5局3勝制中，甲隊打完4局才勝的概率為____________． 4．下列說法正確的是________．(填序號) ①某同學投籃的命中率為0.6，在他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個隨機變量，且X～B(10,0.6)； ②某福彩的中獎概率為p，某人一次買了8張，中獎張數(shù)X是一個隨機變量，且X～B(8，p)； ③從裝有5個紅球、5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，則摸球次數(shù)X是隨機變量，且X～B. 5．從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通燈，假設在各個交通燈遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量ξ的概率分布． 1．獨立重復試驗要從三方面考慮：第一，每次試驗是在相同條件下進行的；第二，各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；第三，每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件發(fā)生，事件不發(fā)生． 2．如果1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰為[(1－p)＋p]n展開式的第k＋1項，故稱該公式為二項分布公式． 答案精析 問題導學 知識點一 思考1 條件相同． 思考2 正面向上或反面向上，即事件發(fā)生或者不發(fā)生． 思考3 無，即各次試驗相互獨立． 梳理 (1)n (2)相互獨立 兩種對立 A與 知識點二 思考1 B1＝(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3)， 因為P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8， 且A12 3、1A23、1 2A3兩兩互斥， 故P(B1)＝0.80.22＋0.80.22＋0.80.22 ＝30.80.22＝0.096. 思考2 P(B2)＝30.20.82＝0.384， P(B3)＝0.83＝0.512. 題型探究 例1 解 (1)記“甲射擊3次，至少有1次未擊中目標”為事件A1，由題意，射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，故P(A1)＝1－P(1)＝1－()3＝. (2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標”為事件B2， 則P(A2)＝C()2＝， P(B2)＝C()1(1－)＝， 由于甲、乙射擊相互獨立， 故P(A2B2)＝＝. 引申探究 解 記“甲擊中1次”為事件A4，記“乙擊中1次”為事件B4， 則P(A4)＝C(1－)＝， P(B4)＝C(1－)＝. 所以甲、乙各擊中1次的概率為 P(A4B4)＝＝. 跟蹤訓練1 解 (1)因為甲坑內(nèi)3粒種子都不發(fā)芽的概率為 3＝， 所以甲坑不需要補種的概率為 1－＝. (2)3個坑恰有1個坑不需要補種的概率為 P1＝C2＝. 由于3個坑都不需補種的概率為3， 則有坑需要補種的概率為 P2＝1－3＝. 所以P1＋P2＝＋＝. 例2 解 (1)①設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)， 則P(A3)＝＝. ②設“在1次游戲中獲獎”為事件B， 則B＝A2∪A3. 又P(A2)＝＋＝，且A2，A3互斥， 所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝. (2)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2， 則P(X＝0)＝(1－)2＝， P(X＝1)＝C(1－)＝， P(X＝2)＝()2＝. 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 P 跟蹤訓練2 解 取到黑球個數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均為， 所以P(X＝0)＝C03 ＝， P(X＝1)＝C2＝， P(X＝2)＝C2＝， P(X＝3)＝C30＝. 故X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 例3 解 (1)由ξ～B，則 P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的概率分布如下表： ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的分布列為P(η＝k)＝P(前k個是綠燈，第k＋1個是紅燈)＝k，k＝0,1,2,3,4； P(η＝5)＝P(5個均為綠燈)＝5. 故η的概率分布如下表： η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率為P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0) ＝1－5＝. 跟蹤訓練3 解 由題設知，Cp2(1－p)2>. ∵p(1－p)>0， ∴不等式化為p(1－p)>， 解得
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