2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點52 圓的弦長問題庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點52 圓的弦長問題 要點闡述 圓的弦長的計算，一般不用弦長公式或兩點距離公式，以避開聯(lián)立方程涉及到交點的有關(guān)繁瑣運(yùn)算，而常用弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成的直角三角形直接求解． 典型例題 【例】圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【解題技巧】求出圓的半徑，圓上的點到直線的距離，確定圓心到直線的距離，列出方程求解． 小試牛刀 1．設(shè)、為直線與圓的兩個交點，則的長為（　?。? A．1 B．　　　　　 C．　　　 D．2 【答案】D 【解析】直線過圓的圓心,則為圓的半徑，所以=2． 【解題技巧】圓的弦長的計算，一般不用弦長公式或兩點距離公式，以避開聯(lián)立方程涉及到交點的有關(guān)繁瑣運(yùn)算，而常用弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成的直角三角形直接求解． 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝4相交于A、B兩點，則弦AB的長等于（　?。? A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】圓x2＋y2＝4的圓心為（0，0），半徑為2，則圓心到直線3x＋4y－5＝0的距離為d＝＝1．∴|AB|＝2＝2＝2． 3．過點P（1，1）的直線，將圓形區(qū)域{（x，y）|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為（　　） A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 【答案】A 【解析】當(dāng)圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件． 圓心O與P點連線的斜率k＝1，∴直線OP垂直于x＋y－2＝0，故選A． 【秒殺技】利用斜率，只有A符合． 4．已知圓：及直線：，當(dāng)直線被圓截得的弦長為時，等于（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 【答案】C 5．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程_____________． 【答案】（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y＋1）2＝9． 【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為（3m，m）． ∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|， ∴圓心到直線y＝x的距離為|m|．由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m2＝7＋2m2，∴m＝1，∴所求圓C的方程為（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y＋1）2＝9． 6．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程． 考題速遞 1．直線被圓所截得弦長等于，則的值為（　?。? A．–1或3 B． C．1或3 D． 【答案】C 【解析】弦長為，半徑，∴圓心（a,0）到（2,0）的距離為，，∴a=1或3． 2．圓截直線所得的弦長為8，則的值是（　?。? A．10 B．10或–68 C．5或–34 D．–68 【答案】B 【解析】圓心坐標(biāo)為（1，–2），半徑，圓心到直線的距離為， ，c=10或–68． 3．直線被圓截得的弦長為_____________． 【答案】 【解析】半弦長為，圓心到直線的距離以及圓的半徑構(gòu)成了一個直角三角形，因此，所以． 4．已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內(nèi)有一點P(－1,2)，AB為過點P且傾斜角為α的弦． （1）當(dāng)α＝135時，求AB的長； （2）當(dāng)弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程． （2）如圖，當(dāng)弦AB被點P平分時，OP⊥AB， ∵kOP＝－2， ∴kAB＝， ∴直線AB的方程為y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0． 數(shù)學(xué)文化 滾鐵環(huán) 滾鐵環(huán)通常情況下是直線與圓的相交關(guān)系 滾鐵環(huán)是一項盛行于上世紀(jì)四五十年代男孩們愛玩的游戲．鐵環(huán)是個約一尺多周圓的鐵圈．其厚約一厘米，另有一個一尺多長的鐵鉤． 玩法：可選一平整的場地，玩者手握鐵鉤勾住鐵環(huán)，從場地一頭邊跑邊推．讓鐵環(huán)不倒并不斷向前滾動，一直滾向場地的終點．滾鐵環(huán)亦可二三人一起進(jìn)行比賽，誰中途不倒又快速到終點為勝者．