2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 課時跟蹤訓(xùn)練5 組合與組合數(shù)公式 新人教A版選修2-3.doc

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課時跟蹤訓(xùn)練(五) 組合與組合數(shù)公式 (時間45分鐘) 題型對點練(時間20分鐘) 題組一　組合的概念 1．下列四個問題屬于組合問題的是(　　) A．從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作 B．從0,1,2,3,4這5個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字，組成一個三位數(shù) C．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)出席深圳世界大學(xué)生運動會開幕式 D．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長和學(xué)習(xí)委員 [解析]　A、B、D項均為排列問題，只有C項是組合問題． [答案]　C 2．給出下面幾個問題，其中是組合問題的是(　　) ①某班選10名同學(xué)參加計算機(jī)漢字錄入比賽； ②從1,2,3,4中選出2個數(shù)，構(gòu)成平面向量a的坐標(biāo)； ③從1,2,3,4中選出2個數(shù)分別作為焦點在x軸上的雙曲線方程的實軸長和虛軸長； ④從正方體的8個頂點中任取2個點構(gòu)成線段． A．①② B．①④ C．③④ D．②③ [解析]　①④中的選取與順序無關(guān)，是組合問題，而②③中當(dāng)選出的2個數(shù)的順序發(fā)生變化時，結(jié)果也發(fā)生變化，是排列問題，故選B. [答案]　B 3．判斷下列各事件是排列問題還是組合問題． (1)8個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？ (2)8個朋友相互各寫一封信，一共寫了多少封信？ (3)從1,2,3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？ (4)從1,2,3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個集合，這樣的集合有多少個？ [解]　(1)每兩人握手一次，無順序之分，是組合問題． (2)每兩人相互寫一封信，是排列問題，因為發(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的． (3)是排列問題，因為取出3個數(shù)字后，如果改變這3個數(shù)字的順序，便會得到不同的三位數(shù)． (4)是組合問題，因為取出3個數(shù)字后，無論怎樣改變這3個數(shù)字的順序，其構(gòu)成的集合都不變． 題組二　組合數(shù)的計算與證明 4．若A＝12C，則n等于(　　) A．8 B．5或6 C．3或4 D．4 [解析]　A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12n(n－1)．由n∈N*，且n≥3，n－2＝6，∴n＝8，故n＝8. [答案]　A 5．下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)計算正確的是(　　) ①C＝； ②(n＋2)(n＋1)A＝A； ③C＋C＋C＋…＋C＝C； ④C＋C是一個常數(shù)． A．①② B．②③ C．①④ D．②④ [解析]　∵C＝，故①不正確．②式中(n＋2)(n＋1)A＝(n＋2)(n＋1)n(n－1)…(n－m＋1)＝A，故②正確．③式中C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋…＋C－1＝C－1，故③不正確．④式中n應(yīng)滿足解得：n＝2.所以C＋C＝C＋C＝2.故④正確． [答案]　D 6．已知C，C，C成等差數(shù)列，求C的值． [解]　由已知得2C＝C＋C，所以2＝＋，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C的值，故n≥12，所以n＝14，于是C＝C＝＝91. 題組三　簡單的組合應(yīng)用題 7．某施工小組有男工7名，女工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工小組，不同的選法有(　　) A．C種 B．A種 C．AA種 D．CC種 [解析]　每個被選的人都無順序差別，是組合問題．分兩步完成：第一步，選女工，有C種選法；第二步，選男工，有C種選法．故共有CC種不同的選法． [答案]　D 8．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(　　) A．30種 B．35種 C．42種 D．48種 [解析]　分兩類，A類選修課選1門，B類選修課選2門，或A類選修課選2門，B類選修課選1門，因此，共有CC＋CC＝30種不同的選法． [答案]　A 9．某單位需同時參加甲、乙、丙三個會議，甲需2人參加，乙、丙各需1人參加，從10人中選派4人參加這三個會議，不同的安排方法有________種． [解析]　從10人中選派4人有C種方法，對選出的4人具體安排會議有CC種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選派方法種數(shù)為CCC＝2520. [答案]　2520 綜合提升練(時間25分鐘) 一、選擇題 1．(C＋C)A的值為(　　) A．6 B．101 C. D. [解析]　(C＋C)A＝(C＋C)A＝C(CA)＝＝. [答案]　C 2．從一個正方體的頂點中選四個點，可構(gòu)成四面體的個數(shù)為(　　) A．70 B．64 C．58 D．52 [解析]　四個頂點共面的情況有6個表面和6個對角面，共12個，所以組成四面體的個數(shù)為C－12＝58.故選C. [答案]　C 3．假設(shè)200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)在從中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．CC種 B．(CC＋CC)種 C．(C－C)種 D．(C－CC)種 [解析]　分為兩類：第一類，取出的5件產(chǎn)品有2件次品3件合格品，有CC種抽法；第二類，取出的5件產(chǎn)品有3件次品2件合格品，有CC種抽法．因此共有(CC＋CC)種抽法． [答案]　B 二、填空題 4．不等式C>3C的解集為________． [解析]　∵C>3C，∴>，即>得m>.又∵m∈N*且1≤m≤8，∴m＝7或8.故不等式C>3C的解集為{7,8}． [答案]　{7,8} 5．以下四個式子：①C＝； ②A＝nA； ③CC＝； ④C＝C. 其中正確的個數(shù)是________． [解析]?、偈斤@然成立；②式中A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝nA，故②式成立；對于③式CC＝＝＝，故③式成立；對于④式C＝＝＝C，故④式成立． [答案]　4 三、解答題 6．(1)已知＝，求正整數(shù)n的值． (2)解不等式：－<. [解]　(1)已知可化簡為＋1＝， 即C＝C. 即＝ ， 整理得n2－3n－54＝0， 解得n＝9或n＝－6(舍去)， 所以n＝9即為所求． (2)通過將原不等式化簡可以得到 － <. 又x≥5，可得x2－11x－12<0， 解得5≤x<12. 又x∈N*，∴x∈{5,6,7,8,9,10,11}． 7．規(guī)定C＝，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C＝1，這是組合數(shù)C(n，m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣． (1)求C的值． (2)組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①C＝C； ②C＋C＝C是否都能推廣到C(x∈R，m是正整數(shù))的情形；若能推廣，請寫出推廣的形式并給出證明，若不能，則說明理由． [解]　(1)C＝ ＝－C＝－11628. (2)性質(zhì)①不能推廣．例如，當(dāng)x＝時， C有意義，但C無意義； 性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是C＋C＝C，x∈R，m為正整數(shù)． 證明：當(dāng)m＝1時，有C＋C＝x＋1＝C； 當(dāng)m≥2時，C＋C ＝＋ ＝ ＝ ＝C. 綜上，性質(zhì)②的推廣得證．