2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專(zhuān)題50 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.doc
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專(zhuān)題50 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 縱觀近幾年的高考試題,高考對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查,一直是命題的熱點(diǎn),較多的考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題;有時(shí),先求軌跡方程,再進(jìn)一步研究直線與曲線的位置關(guān)系.命題的主要特點(diǎn)有:一是以過(guò)特殊點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”,結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì),利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)一步研究弦長(zhǎng)、圖形面積、最值、取值范圍等;二是以不同曲線(圓、橢圓、拋物線)的位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”,結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì),利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)一步研究弦長(zhǎng)、圖形面積、最值、取值范圍等;三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,綜合性較強(qiáng),往往與向量(共線、垂直、數(shù)量積)結(jié)合,涉及方程組聯(lián)立,根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題等.本專(zhuān)題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上,重點(diǎn)說(shuō)明直線與橢圓、直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題的解法與技巧. (一)直線與橢圓位置關(guān)系 1、直線與橢圓位置關(guān)系:相交(兩個(gè)公共點(diǎn)),相切(一個(gè)公共點(diǎn)),相離(無(wú)公共點(diǎn)) 2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟:通過(guò)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定, 下面以直線和橢圓:為例 (1)聯(lián)立直線與橢圓方程: (2)確定主變量(或)并通過(guò)直線方程消去另一變量(或),代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程:,整理可得: (3)通過(guò)計(jì)算判別式的符號(hào)判斷方程根的個(gè)數(shù),從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系 ① 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與橢圓相交 ② 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與橢圓相切 ③ 方程沒(méi)有實(shí)根直線與橢圓相離 3、若直線上的某點(diǎn)位于橢圓內(nèi)部,則該直線一定與橢圓相交 (二)直線與拋物線位置關(guān)系:相交,相切,相離 1、位置關(guān)系的判定:以直線和拋物線:為例 聯(lián)立方程:,整理后可得: (1)當(dāng)時(shí),此時(shí)方程為關(guān)于的一次方程,所以有一個(gè)實(shí)根.此時(shí)直線為水平線,與拋物線相交 (2)當(dāng)時(shí),則方程為關(guān)于的二次方程,可通過(guò)判別式進(jìn)行判定 ① 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與拋物線相交 ② 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與拋物線相切 ③ 方程沒(méi)有實(shí)根直線與拋物線相離 2、焦點(diǎn)弦問(wèn)題:設(shè)拋物線方程:, 過(guò)焦點(diǎn)的直線(斜率存在且),對(duì)應(yīng)傾斜角為,與拋物線交于 聯(lián)立方程:,整理可得: (1) (2) (3) (三)直線與雙曲線位置關(guān)系 1、直線與雙曲線位置關(guān)系,相交,相切,相離 2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定:與橢圓相同,可通過(guò)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定 以直線和橢圓:為例: (1)聯(lián)立直線與雙曲線方程:,消元代入后可得: (2)與橢圓不同,在橢圓中,因?yàn)?,所以消元后的方程一定是二次方程,但雙曲線中,消元后的方程二次項(xiàng)系數(shù)為,有可能為零.所以要分情況進(jìn)行討論 當(dāng)且時(shí),方程變?yōu)橐淮畏匠?,有一個(gè)根.此時(shí)直線與雙曲線相交,只有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)時(shí),常數(shù)項(xiàng)為,所以恒成立,此時(shí)直線與雙曲線相交 當(dāng)或時(shí),直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)需要用判斷: ① 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與雙曲線相交 ② 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與雙曲線相切 ③ 方程沒(méi)有實(shí)根直線與雙曲線相離 注:對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系,不能簡(jiǎn)單的憑公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定位置.尤其是直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),如果是通過(guò)一次方程解出,則為相交;如果是通過(guò)二次方程解出相同的根,則為相切 (3)直線與雙曲線交點(diǎn)的位置判定:因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍為,所以通過(guò)橫坐標(biāo)的符號(hào)即可判斷交點(diǎn)位于哪一支上:當(dāng)時(shí),點(diǎn)位于雙曲線的右支;當(dāng)時(shí),點(diǎn)位于雙曲線的左支.對(duì)于方程: ,設(shè)兩個(gè)根為 ① 當(dāng)時(shí),則,所以異號(hào),即交點(diǎn)分別位于雙曲線的左,右支 ② 當(dāng)或,且時(shí),,所以同號(hào),即交點(diǎn)位于同一支上 (4)直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋?zhuān)和ㄟ^(guò)(2)可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān),其分界點(diǎn)剛好與雙曲線的漸近線斜率相同.所以可通過(guò)數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)系的判定 ① 且時(shí),此時(shí)直線與漸近線平行,可視為漸近線進(jìn)行平移,則在平移過(guò)程中與雙曲線的一支相交的同時(shí),也在遠(yuǎn)離雙曲線的另一支,所以只有一個(gè)交點(diǎn) ② 時(shí),直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中,通過(guò)圖像可得無(wú)論如何平移直線,直線均與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),且兩個(gè)交點(diǎn)分別位于雙曲線的左,右支上. ③ 或時(shí),此時(shí)直線比漸近線“更陡”,通過(guò)平移觀察可得:直線不一定與雙曲線有公共點(diǎn)(與的符號(hào)對(duì)應(yīng)),可能相離,相切,相交,如果相交則交點(diǎn)位于雙曲線同一支上. (四)圓錐曲線問(wèn)題的解決思路與常用公式: 1、直線與圓錐曲線問(wèn)題的特點(diǎn): (1)題目貫穿一至兩個(gè)核心變量(其余變量均為配角,早晚利用條件消掉), (2)條件與直線和曲線的交點(diǎn)相關(guān),所以可設(shè),至于坐標(biāo)是否需要解出,則看題目中的條件,以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜 (3)通過(guò)聯(lián)立方程消元,可得到關(guān)于(或)的二次方程,如果所求的問(wèn)題與兩根的和或乘積有關(guān),則可利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入,從而不需求出(所謂“設(shè)而不求”) (4)有些題目會(huì)涉及到幾何條件向解析語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換,注重?cái)?shù)形幾何,注重整體代入.則可簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程 這幾點(diǎn)歸納起來(lái)就是“以一個(gè)(或兩個(gè))核心變量為中心,以交點(diǎn)為兩個(gè)基本點(diǎn),堅(jiān)持韋達(dá)定理四個(gè)基本公式(,堅(jiān)持?jǐn)?shù)形結(jié)合,堅(jiān)持整體代入.直至解決解析幾何問(wèn)題“ 2、韋達(dá)定理:是用二次方程的系數(shù)運(yùn)算來(lái)表示兩個(gè)根的和與乘積,在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個(gè):一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù),進(jìn)而導(dǎo)致直接利用求根公式計(jì)算出來(lái)的實(shí)根形式非常復(fù)雜,難以參與后面的運(yùn)算;二是解析幾何的一些問(wèn)題或是步驟經(jīng)常與兩個(gè)根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系.進(jìn)而在思路上就想利用韋達(dá)定理,繞開(kāi)繁雜的求根結(jié)果,通過(guò)整體代入的方式得到答案.所以說(shuō),解析幾何中韋達(dá)定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想,并不是每一道解析題必備的良方.如果二次方程的根易于表示(優(yōu)先求點(diǎn),以應(yīng)對(duì)更復(fù)雜的運(yùn)算),或者所求的問(wèn)題與兩根和,乘積無(wú)關(guān),則韋達(dá)定理毫無(wú)用武之地. 3、直線方程的形式:直線的方程可設(shè)為兩種形式: (1)斜截式:,此直線不能表示豎直線.聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用,且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn),在用斜截式解決問(wèn)題時(shí)要注意檢驗(yàn)斜率不存在的直線是否符合條件 (2),此直線不能表示水平線,但可以表示斜率不存在的直線.經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時(shí)使用,多用于拋物線(消元后的二次方程形式簡(jiǎn)單).此直線不能直接體現(xiàn)斜率,當(dāng)時(shí),斜率 4、弦長(zhǎng)公式:(已知直線上的兩點(diǎn)距離)設(shè)直線,上兩點(diǎn),所以或 (1)證明:因?yàn)樵谥本€上,所以 ,代入可得: 同理可證得 (2)弦長(zhǎng)公式的適用范圍為直線上的任意兩點(diǎn),但如果為直線與曲線的交點(diǎn)(即為曲線上的弦),則(或)可進(jìn)行變形:,從而可用方程的韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入. 5、點(diǎn)差法:這是處理圓錐曲線問(wèn)題的一種特殊方法,適用于所有圓錐曲線.不妨以橢圓方程為例,設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)滿足橢圓方程,有: 考慮兩個(gè)方程左右分別作差,并利用平方差公式進(jìn)行分解,則可得到兩個(gè)量之間的聯(lián)系: ① ② 由等式可知:其中直線的斜率,中點(diǎn)的坐標(biāo)為,這些要素均在②式中有所體現(xiàn).所以通過(guò)“點(diǎn)差法”可得到關(guān)于直線的斜率與中點(diǎn)的聯(lián)系,從而能夠處理涉及到弦與中點(diǎn)問(wèn)題時(shí).同時(shí)由①可得在涉及坐標(biāo)的平方差問(wèn)題中也可使用點(diǎn)差法 【經(jīng)典例題】 例1.【2018年天津卷理】已知雙曲線的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn). 設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和,且,則雙曲線的方程為( ) A. B. C. D. 【答案】C 不妨設(shè): , 雙曲線的一條漸近線方程為: , 據(jù)此可得: , , 則,則, 雙曲線的離心率: , 據(jù)此可得: ,則雙曲線的方程為. 本題選擇C選項(xiàng). 點(diǎn)睛:求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過(guò)程是先定形,再定量,即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值.如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可利用有公共漸近線的雙曲線方程為,再由條件求出λ的值即可. 例2.【2018年新課標(biāo)I卷理】設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)(–2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則=( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 與拋物線方程聯(lián)立,消元整理得:, 解得,又, 所以, 從而可以求得,故選D. 點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件的問(wèn)題,在求解的過(guò)程中,首先需要根據(jù)題意確定直線的方程,之后需要聯(lián)立方程組,消元化簡(jiǎn)求解,從而確定出,之后借助于拋物線的方程求得,最后一步應(yīng)用向量坐標(biāo)公式求得向量的坐標(biāo),之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果,也可以不求點(diǎn)M、N的坐標(biāo),應(yīng)用韋達(dá)定理得到結(jié)果. 例3.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,則的值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 思路二:線段為橢圓的弦,且問(wèn)題圍繞著弦中點(diǎn)展開(kāi),在圓錐曲線中處理弦中點(diǎn)問(wèn)題可用“點(diǎn)差法”,設(shè),則有,兩式作差,可得:,發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點(diǎn)和斜率相關(guān)的要素,其中,所以,且,所以等式化為即,所以 答案:D 點(diǎn)睛:兩類(lèi)問(wèn)題適用于點(diǎn)差法,都是圍繞著點(diǎn)差后式子出現(xiàn)平方差的特點(diǎn). (1)涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題,此時(shí)點(diǎn)差之后利用平方差進(jìn)行因式分解可得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的聯(lián)系 (2)涉及到運(yùn)用兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)平方差的條件,也可使用點(diǎn)差法 例4.【2018年北京卷文】已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)且垂直于??軸,若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________. 【答案】 焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 例5. 【2018年浙江卷】已知點(diǎn)P(0,1),橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A,B滿足=2,則當(dāng)m=___________時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大. 【答案】5 與對(duì)應(yīng)相減得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值. 例6.【2018年浙江卷】如圖,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上. (Ⅰ)設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸; (Ⅱ)若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動(dòng)點(diǎn),求△PAB面積的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析 (Ⅱ) 【解析】分析: (Ⅰ)設(shè)P,A,B的縱坐標(biāo)為,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得PA,PB的中點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程,可得,即得結(jié)論,(Ⅱ)由(Ⅰ)可得△PAB面積為,利用根與系數(shù)的關(guān)系可表示為的函數(shù),根據(jù)半橢圓范圍以及二次函數(shù)性質(zhì)確定面積取值范圍. 詳解:(Ⅰ)設(shè),,. 因?yàn)椋闹悬c(diǎn)在拋物線上,所以,為方程 即的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根. 因?yàn)?,所以? 因此,面積的取值范圍是. 例7.【2018年天津卷理】設(shè)橢圓 (a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B. 已知橢圓的離心率為,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,且. (I)求橢圓的方程; (II)設(shè)直線l: 與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且l與直線AB交于點(diǎn)Q. 若 (O為原點(diǎn)) ,求k的值. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 或 【解析】分析:(Ⅰ)由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a=3,b=2.則橢圓的方程為. (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y2).由題意可得5y1=9y2.由方程組可得.由方程組可得.據(jù)此得到關(guān)于k的方程,解方程可得k的值為或 詳解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有, 又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得, , , 由,可得ab=6,從而a=3,b=2. 所以,橢圓的方程為. (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y2). 由5y1=9y2,可得5(k+1)=, 兩邊平方,整理得, 解得,或. 所以,k的值為或 例8.【2018年北京卷理】已知拋物線C:=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2).過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N. (Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍; (Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),,,求證:為定值. 【答案】(1) 取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1) (2)證明過(guò)程見(jiàn)解析 【解析】分析:(1)先確定p,再設(shè)直線方程,與拋物線聯(lián)立,根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍,最后根據(jù)PA,PB與y軸相交,舍去k=3,(2)先設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),與拋物線聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理可得,.再由,得,.利用直線PA, 又PA,PB與y軸相交,故直線l不過(guò)點(diǎn)(1,-2).從而k≠-3. 所以直線l斜率的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由(I)知,. 直線PA的方程為y–2=. 令x=0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為. 同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為. 由,得,. 所以. 所以為定值. 例9. 已知拋物線的焦點(diǎn)為. (1)若斜率為的直線過(guò)點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn),求的值; (2)過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn),且,求的取值范圍. 【答案】(1)8;(2) . . ∵, ∴ . 又∵,∴恒成立,∴恒成立. ∵,∴只需即可,解得. ∴所求的取值范圍為. 例10.【2018屆四川省成都市第七中學(xué)模擬一】已知圓,點(diǎn)圓上一動(dòng)點(diǎn),,點(diǎn)在直線上,且,記點(diǎn)的軌跡為曲線. (1)求曲線的方程; (2)已知,過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于不同兩點(diǎn),線段的中垂線為,線段的中點(diǎn)為點(diǎn),記與軸的交點(diǎn)為,求的取值范圍. 【答案】(1)(2) 詳解:(1). (2)由題意可知直線的斜率存在,設(shè):. 聯(lián)立直線與橢圓,消去得. , 又,解得, , 所以 所以,即. 所以. 【精選精練】 1.【2018屆峨眉山市第七教育發(fā)展聯(lián)盟高考適應(yīng)性考試】已知雙曲線的一條漸近線為,且與橢圓有公共焦點(diǎn),則的方程為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:通過(guò)橢圓的焦點(diǎn),可以求出雙曲線的,根據(jù)雙曲線的漸近線可以得到,再由雙曲線中 的等量關(guān)系可以通過(guò)方程組求出的值。 詳解:橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,所以 由漸近線方程,得 所以 ,可解得 所以標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以選A 2.橢圓的離心率為,為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則橢圓的方程為 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 3.【2018屆安徽省合肥市第一中學(xué)最后1卷】點(diǎn)在直線上,若存在過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn),且,則稱(chēng)點(diǎn)為“點(diǎn)”.下列結(jié)論中正確的是( ) A. 直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” B. 直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” C. 直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” D. 直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(點(diǎn)不是所有的點(diǎn))是“點(diǎn)” 【答案】A 【解析】分析:設(shè),由,可得,由在上,可得關(guān)于的方程,證明方程恒有解即可得結(jié)論 詳解: 如圖所示,設(shè), 方程恒有實(shí)數(shù)解, 點(diǎn)在直線上,總存在過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn), 且,所以,直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”,故選A. 點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過(guò)給出一個(gè)新概念,或約定一種新運(yùn)算,或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景,要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移,達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問(wèn)題,應(yīng)耐心讀題,分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì),按新定義的要求,“照章辦事”,逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算,使問(wèn)題得以解決.本題定義“點(diǎn)”達(dá)到考查共線向量、直線與拋物線的位置關(guān)系的目. 4.【2018屆安徽亳州市渦陽(yáng)一中最后一卷】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作兩條直線與拋物線:相切于,兩點(diǎn),則面積的最小值為_(kāi)_________. 【答案】 【解析】分析:求出以為切點(diǎn)的切線方程為,為切點(diǎn)的切線方程為,代入,可得, 同理為切點(diǎn)的切線方程為,代入, 可得, 過(guò)的直線方程為,聯(lián)立, 可得,, 又到直線的距離為, , 當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故答案為. 點(diǎn)睛:解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解. 5.【2018屆安徽省宿州市第三次檢測(cè)】拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn),若,,則__________. 【答案】1或3 結(jié)合可得:, 直線的方程為:, 與拋物線方程整理可得:, 則:,結(jié)合可得: ,則; 當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)A下方時(shí),由幾何關(guān)系可知:, 代入拋物線方程可得:, 綜上可得,p的值為1或3. 6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線截橢圓形成的弦長(zhǎng)為,且橢圓的離心率為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn). (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若點(diǎn),且,則當(dāng)取得最小值時(shí),求直線的方程. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)聯(lián)立解得,故. 又, ,解得, , 整理得,所以, , 故 . 綜上所述, 的最小值為,此時(shí)直線的方程為. 7.【2018屆江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體第二次聯(lián)考】已知橢圓: 的離心率為,短軸為.點(diǎn)滿足. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于點(diǎn)、,是否存在常數(shù)使得為定值?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1).(2)答案見(jiàn)解析. 【解析】分析:(1)由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得的方程為. (2)當(dāng)不為軸時(shí),設(shè):,、.聯(lián)立與的方程可得,結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得.當(dāng)為軸時(shí),也滿足上述結(jié)論.則存在使得 . 因?yàn)闉槎ㄖ?,所以? 解得.此時(shí)定值為. 當(dāng)為軸時(shí),,.. 綜上,存在使得為定值. 8.【2018年天津卷文】設(shè)橢圓 的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,. (I)求橢圓的方程; (II)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求k的值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 詳解:(I)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知得,又由,可得.由,從而. 所以,橢圓的方程為. (II)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意,, 點(diǎn)的坐標(biāo)為.由的面積是面積的2倍,可得, 從而,即. 易知直線的方程為,由方程組消去y,可得.由方程組消去,可得.由,可得,兩邊平方,整理得,解得,或. 當(dāng)時(shí),,不合題意,舍去;當(dāng)時(shí),,,符合題意. 所以,的值為. 點(diǎn)睛:解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí),要注意: (1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件,明確確定直線、橢圓的條件; (2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題. 9.【2018年北京卷文】已知橢圓的離心率為,焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B. (Ⅰ)求橢圓M的方程; (Ⅱ)若,求 的最大值; (Ⅲ)設(shè),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn) 共線,求k. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅱ)設(shè)直線的方程為, 由消去可得, 則,即, 設(shè), ,則, , 則, 易得當(dāng)時(shí), ,故的最大值為. (Ⅲ)設(shè), , , , 則 ①, ②, 又,所以可設(shè),直線的方程為, 由消去可得, 則,即, 又,代入①式可得,所以, 所以,同理可得. 故, , 因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以, 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得,即. 10.【2018年新課標(biāo)I卷文】設(shè)拋物線,點(diǎn), ,過(guò)點(diǎn)的直線與交于, 兩點(diǎn). (1)當(dāng)與軸垂直時(shí),求直線的方程; (2)證明: . 【答案】(1) y=或. (2)見(jiàn)解析. (2)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),AB為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN. 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為,M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0. 由得ky2–2y–4k=0,可知y1+y2=,y1y2=–4. 綜上,∠ABM=∠ABN. 點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線方程的兩點(diǎn)式、直線與拋物線相交的綜合問(wèn)題、關(guān)于角的大小用斜率來(lái)衡量,在解題的過(guò)程中,第一問(wèn)求直線方程的時(shí)候,需要注意方法比較簡(jiǎn)單,需要注意的就是應(yīng)該是兩個(gè),關(guān)于第二問(wèn),在做題的時(shí)候需要先將特殊情況說(shuō)明,一般情況下,涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組,之后韋達(dá)定理寫(xiě)出兩根和與兩根積,借助于斜率的關(guān)系來(lái)得到角是相等的結(jié)論. 11.【2018年新課標(biāo)I卷理】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為. (1)當(dāng)與軸垂直時(shí),求直線的方程; (2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:. 【答案】(1) AM的方程為或. (2)證明見(jiàn)解析. 【解析】分析:(1)首先根據(jù)與軸垂直,且過(guò)點(diǎn),求得直線l的方程為x=1,代入橢圓方程求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為或,利用兩點(diǎn)式求得直線的方程; (2)分直線l與x軸重合、l與x軸垂直、l與x軸不重合也不垂直三種情況證明,特殊情況比較簡(jiǎn)單,也比較直觀,對(duì)于一般情況將角相等通過(guò)直線的斜率的關(guān)系來(lái)體現(xiàn),從而證得結(jié)果. 詳解:(1)由已知得,l的方程為x=1. 由已知可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為或. 所以AM的方程為或. (2)當(dāng)l與x軸重合時(shí),. 將代入得 . 所以,. 則. 從而,故MA,MB的傾斜角互補(bǔ),所以. 綜上,. 12.如圖,設(shè)為拋物線上不同的四點(diǎn),且點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),平行于該拋物線在點(diǎn)處的切線. (1)求證:直線與直線的傾斜角互補(bǔ); (2)若,且的面積為16,求直線的方程. 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) 【解析】分析:(1)設(shè),則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得,于是可設(shè)直線的方程為,代入拋物線方程得到關(guān)于x的一元二次方程,然后根據(jù)斜率公式和根與系數(shù)的關(guān)系證得,即證得直線與直線的傾斜角互補(bǔ).(2)由可得,由 由消去y整理得, 因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn), 所以. 設(shè), 則. 因?yàn)椋? 所以直線與直線的傾斜角互補(bǔ). (2)因?yàn)椋? 所以, 即,. 解得. 所以當(dāng)時(shí),直線的方程為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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