《沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點(diǎn)特色突破 專題22 與基本不等式有關(guān)的應(yīng)用題（含解析）.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點(diǎn)特色突破 專題22 與基本不等式有關(guān)的應(yīng)用題（含解析）.doc（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
專題22 與基本不等式有關(guān)的應(yīng)用題
【自主熱身，歸納總結(jié)】
1、某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，
一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則的值是 .
【答案】 30
【解析】 總費(fèi)用≥240，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.即時(shí)取得．故當(dāng)米時(shí)，有最大值，的最大值為立方米．
2、用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖），設(shè)容器的高為米，蓋子邊長(zhǎng)為米．設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)為_(kāi)_______時(shí)，V最大．
【解析】 設(shè)為正四棱錐的斜高．由已知解得，進(jìn)而得，因?yàn)椤荩浴埽仁疆?dāng)且僅當(dāng)，
3、某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長(zhǎng)，計(jì)劃利用學(xué)校空地建造一間室內(nèi)面積為900 m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1 m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左、右內(nèi)墻保留3 m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為x(m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(m2)．
(1) 求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2) 求S的最大值．
【解析】 (1) 由題設(shè)得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．(6分)
(2) 因?yàn)?
0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(1) 求炮的最大射程；
(2) 設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2 km，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)．
所以炮的最大射程為10km.
(2) 因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)等價(jià)于存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立，
即關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，
所以判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，
解得a≤6，所以0，所以4－x2>，即x<.(4分)
又因?yàn)樗母緱l將圓分成9個(gè)區(qū)域，所以x>，所以4<4x<2.
答：四根木條總長(zhǎng)的取值范圍為.(6分)
列表如下：
a
f′(a)
＋
0
－
f(a)
極大值
所以當(dāng)a＝時(shí)，f(a)max＝f＝，即Smax＝.
答：窗口ABCD面積的最大值為 m2.(16分)
解法2 設(shè)AB所在的木條長(zhǎng)為am，BC所在的木條長(zhǎng)為bm.由條件知，2a＋2b＝6，即a＋b＝3.
因?yàn)閍，b∈(0,2)，所以b＝3－a∈(0,2)，從而a，b∈(1,2)．(8分)
由于AB＝2，BC＝2，
S矩形ABCD＝4＝，(10分)
因?yàn)椤堋埽剑?14分)
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝∈(1,2)時(shí)，S矩形ABCD＝.
答：窗口ABCD面積的最大值為 m2.(16分)
第(1)問(wèn)中，最容易出錯(cuò)的地方是忽略“四根木條將圓分成9個(gè)區(qū)域”這一條件，從而導(dǎo)致變量的取值范圍出錯(cuò)．
本題的本質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，第(1)問(wèn)是由圓心到直線的距離的要求來(lái)求弦長(zhǎng)的范圍；而第(2)問(wèn)是已知弦長(zhǎng)的要求來(lái)求圓心到直線的距離的范圍，弄清這一本質(zhì)，問(wèn)題就很容易求解．
【關(guān)聯(lián)3】、一位創(chuàng)業(yè)青年租用了一塊邊長(zhǎng)為1百米的正方形田地ABCD來(lái)養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的邊BC，CD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)(不與正方形的頂點(diǎn)重合)，連結(jié)AE，EF，F(xiàn)A，使得∠EAF＝45. 現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)，△AEF部分規(guī)劃為蜂巢區(qū)，△CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū). 若蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)的投入約為2105元/百米2，蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為105元/百米2，則這三個(gè)區(qū)域的總投入最少需要多少元？
解法1 設(shè)陰影部分面積為S，三個(gè)區(qū)域的總投入為T(mén).
則T＝2105S＋105(1－S)＝105(S＋1)，從而只要求S的最小值即可．(2分)
設(shè)∠EAB＝α(0<α<45)，在△ABE中，因?yàn)锳B＝1，∠B＝90，所以BE＝tanα，
則S△ABE＝ABBE＝tanα，(4分)
又∠DAF＝45－α，同理得S△ADF＝tan(45－α)，(6分)
所以S＝[tanα＋tan(45－α)]＝tanα＋，(8分)
令x＝tanα∈(0,1)，
S＝
＝＝(10分)
＝≥(2－2)＝－1，
當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝－1時(shí)取等號(hào)．(12分)
從而三個(gè)區(qū)域的總投入T的最小值約為105元．(14分)
(說(shuō)明：這里S的最小值也可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解：
因?yàn)镾′＝，則由S′＝0，得x＝－1.
當(dāng)x∈(0，－1)時(shí)，S′<0，S遞減；
當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，S′>0，S遞增．
所以當(dāng)x＝－1時(shí)，S取得最小值－1.
解法2 設(shè)陰影部分面積為S，三個(gè)區(qū)域的總投入為T(mén).
則T＝2105S＋105(1－S)＝105(S＋1)，
從而只要求S的最小值即可．(2分)
如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)直線AE的方程為y＝kx(00，此時(shí)函數(shù)y在[0,2]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)a<2時(shí)，函數(shù)y在[0，a]上單調(diào)遞增，(11分)
所以當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)有最大值．
即促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．(12分)
綜上，當(dāng)a≥2時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大；當(dāng)a<2時(shí)，促銷費(fèi)用投入a萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大．(14分)
【變式2】、 某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售Q（萬(wàn)件）與廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q＝（x≥0）．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4.5萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件此產(chǎn)品仍需再投入32萬(wàn)元，且能全部銷售完．若每件銷售價(jià)定為：“平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的25%”之和．
（1） 試將年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）表示為年廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2） 當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？
【解析】（1）由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為（32Q＋4.5）萬(wàn)元，
每件銷售價(jià)為150%＋25%．
∴年銷售收入為(150%＋25%)Q＝(32Q＋)＋x．
∴年利潤(rùn)W＝(32Q＋)＋x－(32Q＋)－x＝(32Q＋)－x＝16Q＋－x
＝16＋－x，(x≥0) ．
（2）令x＋1＝t（t≥1），則W＝16＋－(t－1)＝64－＋3－t＝67－3(＋)．
∵t≥1，∴＋≥2＝4，即W≤55，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝8時(shí)，W有最大值55，此時(shí)x＝7．
即當(dāng)年廣告費(fèi)為7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大，最大值為55萬(wàn)元．
【變式3】、 過(guò)去的2013年，我國(guó)多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷．某品牌口罩原來(lái)每只成本為6元，售價(jià)為8元，月銷售5萬(wàn)只．
(1) 據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少0.2萬(wàn)只，要使月總利潤(rùn)不低于原來(lái)的月總利潤(rùn)(月總利潤(rùn)＝月銷售總收入－月總成本)，該口罩每只售價(jià)最多為多少元？
(2) 為提高月總利潤(rùn)，廠家決定下月進(jìn)行營(yíng)銷策略改革，計(jì)劃每只售價(jià)x(x≥9)元，并投入(x－9)萬(wàn)元作為營(yíng)銷策略改革費(fèi)用．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每只售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少萬(wàn)只，則當(dāng)每只售價(jià)x為多少時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大？并求出下月最大總利潤(rùn)．
【解析】 (1) 設(shè)每只售價(jià)為x元，則月銷售量為萬(wàn)只．
由已知得(x－6)≥(8－6)5，(3分)
所以x2－x＋≤0，即2x2－53x＋296≤0.(4分)
解得8≤x≤.(5分)
即每只售價(jià)最多為18.5元．(6分)
(2) 下月的月總利潤(rùn)
y＝(x－6)－(x－9)(9分)
＝－x＋
＝－x＋
＝－＋.(10分)
因?yàn)閤≥9，所以＋≥2＝，(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝10，等號(hào)成立，所以ymin＝14.(13分)
答：當(dāng)x＝10時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為14萬(wàn)元．(14分)
【變式4】、 某工廠有100名工人接受了生產(chǎn)1000臺(tái)某產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)，每臺(tái)產(chǎn)品由9個(gè)甲型裝置和3個(gè)乙型裝置配套組成，每個(gè)工人每小時(shí)能加工完成1個(gè)甲型裝置或3個(gè)乙型裝置．現(xiàn)將工人分成兩組分別加工甲型和乙型裝置．設(shè)加工甲型裝置的工人有x人，他們加工完甲型裝置所需時(shí)間為t1小時(shí)，其余工人加工完乙型裝置所需時(shí)間為t2小時(shí)．設(shè)f(x)＝t1＋t2.
(1) 求f(x)的【解析】式，并寫(xiě)出其定義域；
(2) 當(dāng)x等于多少時(shí)，f(x)取得最小值？
本題分為兩個(gè)階段：建模和解模，建模階段就是用自變量x表示時(shí)間t1，t2.解模階段就是根據(jù)(2) 解法1(基本不等式) f(x)＝1 000(＋)＝10[x＋(100－x)]＝10[10＋＋]．(10分)
因?yàn)?≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，
所以＋≥2＝6，(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即當(dāng)x＝75時(shí)取等號(hào)．(13分)
答：當(dāng)x＝75時(shí)，f(x)取得最小值．(14分)
解法2(導(dǎo)數(shù)) f′(x)＝＋，令f′(x)＝0得，x＝75，x∈N*(10分)
當(dāng)x∈(0，75)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(75，100)時(shí)，f′(x)>0，(13分)
故當(dāng)x＝75時(shí)，f(x)取得最小值．(14分)
本題要注意定義域的書(shū)寫(xiě)，人只能是正整數(shù)個(gè)，即x∈N*.一般地，求解函數(shù)【解析】式時(shí)，必須給出定義域，否則高考閱卷時(shí)會(huì)扣分，即便在后面列表中有范圍，也沒(méi)有用．
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