2018年秋高中數(shù)學 課時分層作業(yè)16 等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用 新人教A版必修5.doc

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課時分層作業(yè)(十六)　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用 (建議用時：40分鐘) [學業(yè)達標練] 一、選擇題 1．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4a1,2a2，a3成等差數(shù)列．若a1＝1，則S4等于(　　) A．7　　　　　　　　　 B．8 C．15 D．16 C　[由題意得4a2＝4a1＋a3， ∴4(a1q)＝4a1＋a1q2， ∴q＝2，∴S4＝＝15.] 2．已知等比數(shù)列{an}的前3項和為1，前6項和為9，則它的公比q等于(　　) 【導學號：91432233】 A. B．1 C．2 D．4 C　[S3＝1，S6＝9， ∴S6－S3＝8＝a4＋a5＋a6＝q3(S3)＝q3，∴q3＝8，∴q＝2.] 3．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，則n的值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[顯然q≠1，由Sn＝，得93＝，解得q＝2. 由an＝a1qn－1，得48＝32n－1，解得n＝5.故選B.] 4．設(shè)數(shù)列{xn}滿足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10 ，記{xn}的前n項和為Sn，則S20等于(　　) 【導學號：91432234】 A．1 025 B．1 024 C．10 250 D．20 240 C　[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0， ∴{xn}為等比數(shù)列，且公比q＝2， ∴S20＝S10＋q10S10＝10＋21010＝10 250，故選C.] 5．已知等比數(shù)列{an}的首項為8，Sn是其前n項的和，某同學經(jīng)計算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后來該同學發(fā)現(xiàn)其中一個數(shù)算錯了，則該數(shù)為(　　) A．S1 B．S2 C．S3 D．S4 C　[由題S1正確． 若S4錯誤，則S2，S3正確，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，與{an}為等比數(shù)列矛盾，故S4＝65. 若S3錯誤，則S2正確，此時，a1＝8，a2＝12，得q＝，a3＝18，a4＝27，S4＝65，滿足題設(shè)，故選C.] 二、填空題 6．在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))，且前n項和為Sn＝3n＋k，則實數(shù)k＝________. 【導學號：91432235】 －1　[由an＋1＝can知數(shù)列{an}為等比數(shù)列． 又∵Sn＝3n＋k，由等比數(shù)列前n項和的特點知k＝－1.] 7．等比數(shù)列{an}共有2n項，它的全部各項的和是奇數(shù)項的和的3倍，則公比q＝________. 2　[設(shè){an}的公比為q，則奇數(shù)項也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q2，首項為a1， S2n＝， S奇＝. 由題意得＝. ∴1＋q＝3，∴q＝2.] 8．數(shù)列11,103,1 005,10 007，…的前n項和Sn＝________. (10n－1)＋n2　[數(shù)列的通項公式an＝10n＋(2n－1)． 所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.] 三、解答題 9．在等比數(shù)列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值. 【導學號：91432236】 [解]　∵S30≠3S10，∴q≠1. 由得 ∴ ∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3， ∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10(1＋3)＝40. 10．在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋ ＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝(　　) 【導學號：91432237】 A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 A　[在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.] 2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，稱Tn＝為數(shù)列a1，a2，a3，…，an的“理想數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，a3，a4，a5的理想數(shù)為2 014，則數(shù)列2，a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為(　　) A．1 673 B．1 675 C. D. D　[因為數(shù)列a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為2 014，所以＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝52 014，所以數(shù)列2，a1，a2，…，a5的“理想數(shù)”為 ＝＝.] 3．設(shè)數(shù)列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n項和為Sn，則Sn＝________. 【導學號：91432238】 2n＋1－n－2　[因為an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1， 所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.] 4．已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，則an＝________. (－1)n－1　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝. 又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－. 故等比數(shù)列{an}的通項公式為 an＝－n－1 ＝(－1)n－1.] 5．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和. 【導學號：91432239】 [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q， 由得 ∴{bn}的通項公式bn＝b1qn－1＝3n－1， 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2. ∴{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)2＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. ∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1， ∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝21－1＋30＋22－1＋31＋23－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋ ＝2－n＋ ＝n2＋. 即數(shù)列{cn}的前n項和為n2＋.