2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)22 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 新人教A版必修4.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(二十二)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．a(chǎn)＝(－4,3)，b＝(5,6)，則3|a|2－4ab等于(　　) A．23　　　　 B．57　　　　 C．63　　　　 D．83 D　[因?yàn)閨a|2＝(－4)2＋32＝25， ab＝(－4)5＋36＝－2， 所以3|a|2－4ab＝325－4(－2)＝83.] 2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于(　　) A．1　　　　 B． C．2　　　　 D．4 C　[∵(2a－b)b＝2ab－|b|2 ＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， ∴n2＝3，∴|a|＝＝2.] 3．設(shè)向量a與b的夾角為θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，則sin θ等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352258】 A. B. C. D. A　[設(shè)b＝(x，y)，則 a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)， 所以解得 即b＝(1,1)， 所以cos θ＝＝， 所以sin θ＝＝.] 4．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為(　　) A. B. C. D. A　[a在b方向上的投影為|a|cos〈a，b〉＝＝＝＝.] 5．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c滿足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，則c等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352259】 A．(2,1) B．(1,0) C． D．(0，－1) A　[設(shè)向量c＝(x，y)，則c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)， 因?yàn)?c＋b)⊥a，所以(c＋b)a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0， 因?yàn)?c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0. 由解得所以c＝(2,1)．] 二、填空題 6．已知向量a＝(1，－2)，向量b與a共線，且|b|＝4|a|，則b＝________. (4，－8)或(－4,8)　[因?yàn)閎∥a，令b＝λa＝(λ，－2λ)， 又|b|＝4|a|， 所以(λ)2＋(－2λ)2＝16(1＋4)，故有λ2＝16，解得λ＝4， 所以b＝(4，－8)或(－4,8)．] 7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與a－3b垂直，則k的值為________． 19　[ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 又ka＋b與a－3b垂直，故(ka＋b)(a－3b)＝0， 即(k－3)10＋(2k＋2)(－4)＝0，得k＝19.] 8．如圖246，在24的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，則向量a＋b，a－b的夾角余弦值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352260】 圖246 －　[不妨設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則a＝(2，－1)，b＝(3,2)， 所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)， 所以(a＋b)(a－b)＝－5－3＝－8， |a＋b|＝，|a－b|＝， 所以向量a＋b，a－b的夾角余弦值為＝－.] 三、解答題 9．已知向量a，b滿足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b. (1)求向量a的坐標(biāo)． (2)求向量a與b的夾角． [解]　(1)設(shè)a＝(x，y)， 因?yàn)閨a|＝，則＝， ① 又因?yàn)閎＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b， 2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)， 所以(2x＋1,2y－3)(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)(－3)＝0，即x－3y＋5＝0， ② 由①②解得或 所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)． (2)設(shè)向量a與b的夾角為θ， 所以cos θ＝＝＝－或cos θ＝ ＝＝－， 因?yàn)?≤θ≤π，所以向量a與b的夾角θ＝. 10．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352261】 [解]　∵＝(2,3)，＝(1，k)， ∴＝－＝(－1，k－3)． 若∠A＝90， 則＝21＋3k＝0， ∴k＝－； 若∠B＝90，則＝2(－1)＋3(k－3)＝0， ∴k＝； 若∠C＝90，則＝1(－1)＋k(k－3)＝0， ∴k＝. 綜上，k的值為－或或. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．角α頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)P在α的終邊上，點(diǎn)Q(－3，－4)，且tan α＝－2，則與夾角的余弦值為(　　) A．－ B． C．或－ D．或 C　[∵tan α＝－2， ∴可設(shè)P(x，－2x)， cos〈，〉＝＝， 當(dāng)x＞0時(shí)，cos〈，〉＝， 當(dāng)x＜0時(shí)，cos〈，〉＝－.故選C.] 2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352262】 A．3　　　　 B．5 C．7　　　　 D．8 B　[如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，設(shè)P(0，x)(0≤x≤a)，則＋3＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a－4x)， 所以|＋3|＝≥5.] 3．如圖247所示，已知點(diǎn)A(1,1)，單位圓上半部分上的點(diǎn)B滿足＝0，則向量的坐標(biāo)為________． 圖247 　[根據(jù)題意可設(shè)B(cos θ，sin θ)(0＜θ＜π)， ＝(1,1)，＝(cos θ，sin θ)． 由＝0得sin θ＋cos θ＝0，tan θ＝－1， 所以θ＝，cos＝－，sin＝， 所以＝.] 4．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x軸上存在一點(diǎn)P使有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352263】 (3,0)　[設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,0)，則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)， 所以＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 當(dāng)x＝3時(shí)取得最小值，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)．] 5．已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， (1)求證：AB⊥AD； (2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并求矩形ABCD兩對(duì)角線所成的銳角的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352264】 [解]　(1)證明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， ∴＝(1,1)，＝(－3,3)， 又∵＝1(－3)＋13＝0， ∴⊥，即AB⊥AD. (2)解：⊥，四邊形ABCD為矩形， ∴＝. 設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)， ∴得 ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5)． 由于＝(－2,4)，＝(－4,2)， 所以＝8＋8＝16＞0， ||＝2，||＝2. 設(shè)與夾角為θ，則 cos θ＝＝＝＞0， 解得矩形的兩條對(duì)角線所成的銳角的余弦值為.