2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式試題 新人教A版選修4-5.doc
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一 二維形式的柯西不等式 課后篇鞏固探究 1.若a2+b2=2,則a+b的最大值為( ) A.1 B.2 C.2 D.4 解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=1或a=-1,b=-1時(shí),等號(hào)成立),即a+b的最大值為2. 答案C 2.已知4x+9y=2,x,y>0,則x+y的最小值是( ) A.252 B.254 C.52 D.5 解析由4x+9y=2, 可得x+y=[(x)2+(y)2]2x2+3y22 ≥12x2x+y3y2=12(2+3)2=252. 當(dāng)且僅當(dāng)x3y=y2x,即x=5,y=152時(shí)等號(hào)成立. 答案A 3.已知3x+2y=1,則當(dāng)x2+y2取最小值時(shí),實(shí)數(shù)x,y的值為( ) A.x=313,y=213 B.x=213,y=313 C.x=16,y=14 D.x=14,y=16 解析因?yàn)閤2+y2=113(x2+y2)(32+22)≥113(3x+2y)2=113,所以當(dāng)x2+y2有最小值113,當(dāng)且僅當(dāng)x3=y2時(shí),等號(hào)成立,得x=313,y=213. 答案A 4.函數(shù)y=x-5+26-x的最大值是( ) A.3 B.5 C.3 D.5 解析根據(jù)柯西不等式,知y=1x-5+26-x≤12+22(x-5)2+(6-x)2=5,當(dāng)且僅當(dāng)6-x=2x-5,即x=265時(shí),等號(hào)成立. 答案B 5.已知m2+n2=14,則2m+2n的最大值為( ) A.32 B.62 C.6 D.6 解析由柯西不等式可得(m2+n2)[(2)2+22]≥(2m+2n)2,即146≥(2m+2n)2,則2m+2n≤62,故2m+2n的最大值為62. 答案B 6.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394051若長(zhǎng)方形ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接長(zhǎng)方形,則長(zhǎng)方形ABCD周長(zhǎng)的最大值為( ) A.2R B.22R C.4R D.42R 解析如圖,設(shè)圓內(nèi)接長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為x,則寬為4R2-x2,于是ABCD的周長(zhǎng)l=2(x+4R2-x2)=2(1x+14R2-x2). 由柯西不等式得l≤2[x2+(4R2-x2)2]12(12+12)12=22R2=42R,當(dāng)且僅當(dāng)x1=4R2-x21,即x=2R時(shí),等號(hào)成立. 此時(shí)4R2-x2=4R2-(2R)2=2R,即四邊形ABCD為正方形,故周長(zhǎng)為最大的內(nèi)接長(zhǎng)方形是正方形,其周長(zhǎng)為42R. 答案D 7.若3x+4y=2,則x2+y2的最小值為 . 解析由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2, 得25(x2+y2)≥4, 所以x2+y2≥425當(dāng)且僅當(dāng)x3=y4時(shí),等號(hào)成立. 解方程組3x+4y=2,x3=y4,得x=625,y=825. 因此,當(dāng)x=625,y=825時(shí),x2+y2取得最小值,最小值為425. 答案425 8.設(shè)a,b,c,d,m,n都是正實(shí)數(shù),P=ab+cd,Q=ma+ncbm+dn,則P與Q的大小關(guān)系是 . 解析P=ambm+ncdn ≤(am)2+(nc)2bm2+dn2 =am+ncbm+dn=Q 當(dāng)且僅當(dāng)amdn=ncbm時(shí),等號(hào)成立 . 答案P≤Q 9.已知a,b,m,n均為正數(shù),且a+b=1,mn=2,則(am+bn)(bm+an)的最小值為 . 解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,可得(am+bn)(bm+an)≥(aman+bmbn)2=mn(a+b)2=2,即(am+bn)(bm+an)的最小值為2. 答案2 10.函數(shù)y=x-4+25-5x的最大值為 . 解析∵y=x-4+25-5x, ∴y=1x-4+55-x ≤(1+5)(x-4+5-x)=6 當(dāng)且僅當(dāng)5-x=5x-4,即x=256時(shí)等號(hào)成立 . 答案6 11.已知a,b∈R+,且a+b=1,則12a+1b的最小值是 . 解析因?yàn)閍,b∈R+,且a+b=1,所以12a+1b=(a+b)12a+1b,由柯西不等式得(a+b)12a+1b≥a12a+b1b2=22+12=32+2,當(dāng)且僅當(dāng)ab=b2a,且a+b=1,即a=2-1,b=2-2時(shí),12a+1b取最小值32+2. 答案32+2 12.已知a,b,c為正數(shù),且滿(mǎn)足acos2θ+bsin2θ下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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