2019年高中數(shù)學(xué) 第5章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 5.3 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算講義（含解析）湘教版選修2-2.doc

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5．3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 [讀教材填要點(diǎn)] 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 一般地，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，有 (1)加法：z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i. (2)減法：z1－z2＝a－c＋(b－d)i. (3)乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (4)除法：＝＝＋i(c＋di≠0)． [小問(wèn)題大思維] 1．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1－z2>0，能否認(rèn)為z1>z2? 提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i與i不能比較大?。? 2．復(fù)數(shù)的乘法滿足我們以前學(xué)過(guò)的完全平方公式、平方差公式嗎？ 提示：復(fù)數(shù)的乘法類似多項(xiàng)式的乘法，滿足完全平方公式和平方差公式． 3．如何辨析復(fù)數(shù)除法與實(shí)數(shù)除法的關(guān)系？ 提示：復(fù)數(shù)的除法和實(shí)數(shù)的除法有所不同，實(shí)數(shù)的除法可以直接約分、化簡(jiǎn)得出結(jié)果；而復(fù)數(shù)的除法是先將兩復(fù)數(shù)的商寫(xiě)成分式，然后分母實(shí)數(shù)化． 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝ 13－2i，求z1，z2. [自主解答]　z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i] ＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i ＝(5x－3y)＋(x＋4y)i. 又∵z1－z2＝13－2i，∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i. ∴解得 ∴z1＝(32－1)＋(－1－42)i＝5－9i. z2＝[4(－1)－22]－[52＋3(－1)]i＝－8－7i. 對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，先分清復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，然后將實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減． 1．(1)計(jì)算：＋(2－i)－. (2)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋1－3i＝5－2i，求z. 解：(1)＋(2－i)－ ＝＋i＝1＋i. (2)法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)， 因?yàn)閦＋1－3i＝5－2i， 所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i， 即x＋1＝5且y－3＝－2， 解得x＝4，y＝1， 所以z＝4＋i. 法二：因?yàn)閦＋1－3i＝5－2i， 所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算 計(jì)算： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)(1＋i)； (3)(－2＋3i)(1＋2i)； (4)(5－29i)(7－3i)． [自主解答]　(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i. (2)(1＋i) ＝(1＋i) ＝(1＋i) ＝＋i ＝－＋i. (3)原式＝＝ ＝＝＋i. (4)原式＝＝ ＝ ＝＝5－2i. (1)三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣． (2)復(fù)數(shù)的除法法則難以記憶，在做題時(shí)，牢記分母“實(shí)數(shù)化”即可． 2．(1)已知復(fù)數(shù)z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求復(fù)數(shù)(z1－z2)i的實(shí)部與虛部； (2)已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，求z. 解：(1)由題意得z1－z2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i－9i)＝－2－i， 則(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i. 于是復(fù)數(shù)(z1－z2)i的實(shí)部是1，虛部是－2. (2)設(shè)純虛數(shù)z＝bi(b∈R)， 則＝＝＝. 由于是實(shí)數(shù)，所以b＋2＝0，即b＝－2，所以z＝－2i. 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程問(wèn)題 若關(guān)于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有實(shí)根，求純虛數(shù)m的值． [自主解答]　設(shè)m＝bi(b≠0)，x0為一實(shí)根，代入原方程得x＋(1＋2i)x0－(3bi－1)i＝0. ∴(x＋x0＋3b)＋(2x0＋1)i＝0. ∴解得∴m＝i. 若將“求純虛數(shù)m”改為“求實(shí)數(shù)m”，如何求解？ 解：x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0， 即(x2＋x)＋(2x－3m＋1)i＝0， ∴∴或 即m＝或－. 復(fù)數(shù)方程問(wèn)題，常借助復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題解決． 3．已知關(guān)于x的方程x2＋kx－i＝0有一根是i，求k的值． 解：因?yàn)閕為方程x2＋kx－i＝0的一個(gè)根， 所以代入原方程，得i2＋ki－i＝0. 所以k＝＝＝1－i. 計(jì)算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 018. [解]　法一：∵i＋i2＋i3＋i4＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. ∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 018 ＝1＋i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018) ＝1＋i＋i2＝i. 法二：1＋i＋i2＋…＋i2 018 ＝＝ ＝＝＝i. 1．(6－2i)－(3i＋1)等于(　　) A．3－3i　　　　　　　 　B．5－5i C．7＋i D．5＋5i 解析：(6－2i)－(3i＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i＝5－5i. 答案：B 2．(全國(guó)卷Ⅱ)＝(　　) A．1＋2i　　　　　　　　 　B．1－2i C．2＋i D．2－i 解析：＝＝＝2－i. 答案：D 3．已知復(fù)數(shù)z＝1－i，則＝(　　) A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：法一：因?yàn)閦＝1－i， 所以＝＝＝－2i. 法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i. 答案：B 4．若z＝－時(shí)，求z2 018＋z102＝________. 解析：z2＝2＝－i. z2 018＋z102＝(－i)1 009＋(－i)51 ＝(－i)1 008(－i)＋(－i)48(－i)3 ＝－i＋i＝0 答案：0 5．已知復(fù)數(shù)z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：由條件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是純虛數(shù)， 所以解得a＝3. 答案：3 6．已知復(fù)數(shù)z＝. (1)求復(fù)數(shù)z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求實(shí)數(shù)a，b的值． 解：(1)z＝＝＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 即a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 1．設(shè)i為虛數(shù)單位，則＝(　　) A．－2－3i　　　　　　　　 　B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 解析：＝＝＝2－3i. 答案：C 2．(山東高考)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi＝1＋i，則z2＝(　　) A．－2i B．2i C．－2 D．2 解析：∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i. 答案：A 3．若a為實(shí)數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i， ∴4a＋(a2－4)i＝－4i. ∴解得a＝0. 答案：B 4．已知z1＝－2－3i，z2＝，則＝(　　) A．－4＋3i B．3＋4i C．3－4i D．4－3i 解析：∵z1＝－2－3i，z2＝， ∴＝＝ ＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i. 答案：D 二、填空題 5．復(fù)數(shù)＋的虛部是________． 解析：∵＋＝(－2－i)＋(1＋2i)＝－＋i， ∴虛部是. 答案： 6．若復(fù)數(shù)z滿足z＝i(2－z)(i是虛數(shù)單位)，則z＝______. 解析：∵z＝i(2－z)，∴z＝2i－iz， ∴(1＋i)z＝2i，∴z＝＝1＋i. 答案：1＋i 7．(天津高考)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為_(kāi)_______． 解析：由＝＝－i是實(shí)數(shù)，得－＝0，所以a＝－2. 答案：－2 8．若z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)a，b的值分別為_(kāi)_______，________. 解析：把z＝i－1代入方程z2＋az＋b＝0， 得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，即 解得a＝2，b＝2. 答案：2　2 三、解答題 9．復(fù)數(shù)z＝，若z2＋＜0，求純虛數(shù)a. 解：z＝＝＝＝1－i. ∵a為純虛數(shù)， ∴設(shè)a＝mi(m≠0)， 則z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i＜0. ∴ ∴m＝4.∴a＝4i. 10．已知x，y∈R，且＋＝，求x，y的值． 解：∵＋＝， ∴＋＝. 即5x(1－i)＋2y(1－2i)＝5－15i. (5x＋2y)－(5x＋4y)i＝5－15i. ∴解得