2018-2019高中數學 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式導學案 新人教A版選修4-5.docx

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2.3 　二維形式的柯西不等式 學習目標 1．認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義． 2．通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題． 一、自學釋疑 根據線上提交的自學檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。 二、合作探究 探究1．在二維形式的柯西不等式的代數形式中，取等號的條件可以寫成＝嗎？ 探究2．用柯西不等式求最值時的關鍵是什么？ 名師點撥： 1.二維形式的柯西不等式 (1)定理1：不等式中等號成立的條件是ad＝bc.這時我們稱(a，b)，(c，d)成比例．如果c≠0，d≠0，那么ad＝bc?＝，若cd＝0，我們分情況說明：①c＝d＝0，原不等式兩邊都為0，顯然成立；②當c＝0，d≠0時，原不等式化為(a2＋b2)d2≥b2d2，是顯然成立的；③當c≠0，d＝0時，道理和②一樣，也是成立的．所以當cd＝0時，不等式也成立． (2)由二維形式的柯西不等式推導出兩個非常有用的不等式： 對于任何實數a，b，c，d，以下不等式成立： ≥|ac＋bd|； ≥|ac|＋|bd|. 2．對二維柯西不等式的認識 二維柯西不等式與中學數學中的代數、幾何、三角等各方面都有聯系，熟悉這些聯系能更本質的把握不等式，并更自覺地應用它． (1)由代數恒等式(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2，把非負數(ad－bc)2舍去，易得不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. (2)如圖，平面內點B(c，d)到直線ax＋by＝0的距離BH不大于線段OB的長，因此有 ≤.即(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. (3)如圖所示，構造△AOB，點A(a，b)，B(c，d)，在△AOB中應用余弦定理可得， cos∠AOB＝ ＝ ＝ . ∵|cos∠AOB|≤1， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 3．巧用柯西不等式求最值 應用柯西不等式可以簡便解答某些含有約束條件的多元變量的最值問題．解答此類題的關鍵是構造兩組數或兩個向量，使之符合柯西不等式的形式． 【例1】　求證： ＋≥. 【變式訓練1】　已知a1，a2，b1，b2為正實數， 求證：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2. 【例2】　設x>0，y>0，且x＋y＝2，求＋的最小值． 【變式訓練2】　求函數y＝3＋的最大值． 【例3】　已知x>0，y>0，且a＋b＝1， 求證：(ax＋by)2≤ax2＋by2. 【變式訓練3】　設a>0，b>0，且a＋b＝1，求證：＋≤. 　 　 參考答案 探究1．提示　不可以．當bd＝0時，柯西不等式成立，但＝不成立． 探究2 提示　利用柯西不等式求最值問題，通常設法在不等式一邊得到一個常數，并尋求不等式等號成立的條件. 【例1】【證明】　∵(＋)2 ＝(x＋x)＋(y＋y)＋2， 由柯西不等式，得(x＋x)(y＋y)≥(x1y2＋x2y1)2，其中當且僅當x1y2＝x2y1時，等號成立． ∴≥x1y1＋x2y2. ∴(＋)2≥(x＋x)＋(y＋y)＋2(x1y1＋x2y2)＝(x1＋y1)2＋(x2＋y2)2. ∴＋≥. 其中等號當且僅當x1y2＝x2y1時成立． 【變式訓練1】證明　(a1b1＋a2b2) ＝ ≥2 ＝(a1＋a2)2. 【例2】【解】　∵x＋y＝2，根據柯西不等式，有 [(2－x)＋(2－y)] ＝[()2＋()2] ≥ 2 ＝(x＋y)2＝4， ∴＋≥ ＝＝＝2. 當且僅當＝， 即x＝y(tǒng)＝1時，等號成立． ∴當x＝y(tǒng)＝1時，＋有最小值2. 【變式訓練2】解　由題可知函數的定義域滿足即x∈[1,5]，令α＝(3，)，β＝(，)． 而y＝3＋ ＝3＋ ＝|αβ|≤|α||β| ＝ ＝＝2. 當且僅當3＝， 即x＝時，取等號． 所以y的最大值為2. 【例3】證明　設m＝(x，y)，n＝(，)， 則|ax＋by|＝|mn|≤|m||n| ＝ ＝＝， ∴(ax＋by)2≤ax2＋by2. 【變式訓練3】證明　令α＝，β＝(，1)，則 |αβ|＝＋. 而|α|＝ ＝ ， 又|β|＝， ∴|α||β|＝. 由|αβ|≤|α||β|，得 ＋≤.