2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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4.1數(shù)學(xué)歸納法 預(yù)習(xí)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo)及范圍 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍． 2．會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問題． 二、預(yù)習(xí)要點(diǎn) 教材整理　數(shù)學(xué)歸納法的概念 一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟： (1) 證明當(dāng) 時(shí)命題成立； (2)假設(shè)當(dāng) 時(shí)命題成立，證明 時(shí)命題也成立． 在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法． 三、預(yù)習(xí)檢測(cè) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 2．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則(　　) A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋ 探究案 一、合作探究 題型一、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 例1　用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 【精彩點(diǎn)撥】　要證等式的左邊共2n項(xiàng)，右邊共n項(xiàng)，f(k)與f(k＋1)相比左邊增二項(xiàng)，右邊增一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”時(shí)要注意項(xiàng)的合并． [再練一題] 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 題型二、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n＋1)7n－1能被9整除(n∈N＋)． 【精彩點(diǎn)撥】　先驗(yàn)證n＝1時(shí)命題成立，然后再利用歸納假設(shè)證明，關(guān)鍵是找清f(k＋1)與f(k)的關(guān)系并設(shè)法配湊． [再練一題]2．求證：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除. 題型三、證明幾何命題 例3平面內(nèi)有n(n≥2，n∈N＋)條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，那么這n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(n)是多少？并證明你的結(jié)論． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)從特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性結(jié)論f(n)；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明． [再練一題] 3．在本例中，探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數(shù)是多少？并加以證明． 題型四、數(shù)學(xué)歸納法的概念 例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊計(jì)算的結(jié)果是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 【精彩點(diǎn)撥】　注意左端特征，共有n＋2項(xiàng)，首項(xiàng)為1，最后一項(xiàng)為an＋1. [再練一題] 4．當(dāng)f(k)＝1－＋－＋…＋－，則f(k＋1)＝f(k)＋________. 二、隨堂檢測(cè) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時(shí)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式為(　　) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 2．某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋且k≥1)時(shí)命題成立，則一定可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)，該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時(shí)，該命題不成立，那么應(yīng)有(　　) A．當(dāng)n＝4時(shí)，該命題成立 B．當(dāng)n＝6時(shí)，該命題成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)，該命題不成立 D．當(dāng)n＝6時(shí)，該命題不成立 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N＋)時(shí)，從“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D.  參考答案 預(yù)習(xí)檢測(cè)： 1.答案　C 2.答案　C 解析　凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形， 故第一步檢驗(yàn)n＝3. 3.答案　D 隨堂檢測(cè)： 1.【解析】　當(dāng)n＝1時(shí)左邊所得的代數(shù)式為1＋2＋3. 【答案】　C 2.【解析】　若n＝4時(shí)命題成立，由遞推關(guān)系知n＝5時(shí)命題成立，與題中條件矛盾，所以n＝4時(shí)，該命題不成立． 【答案】　C 3.【解析】　當(dāng)n＝k時(shí)，等式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k13…(2k－1)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)． 比較n＝k和n＝k＋1時(shí)等式的左邊，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．故選B. 【答案】　B