專題10 變力做功模型
模型界定
由于只適用于恒力所做功，故在本模型中主要?dú)w納各種情況下變力做功的判定及計算．
模型破解
1 變力做功情況的的判定
（i)可利用功能關(guān)系來判定：
①力對物體做正功時物體的能量增加，力對物體做負(fù)功時物體的能量減少．
②有對應(yīng)形式的勢能的變力（彈簧彈力、點(diǎn)電荷間靜電力等）做功時，對應(yīng)形式的勢能增大時該力做負(fù)功，否則變力做正功．
（ii）可利用力的方向與瞬時速度方向的夾角來判定：
①力與物體的瞬時速度方向之間的夾角始終保持為銳角（角度可以變化）時，力對物體做正功；
②力與物體的瞬時速度方向之間的夾角始終保持為直角時力不對物體做功；
③力與物體的瞬時速度方向之間的夾角始終保持為鈍角時力對物體做負(fù)功．
（iii）可利用力的方向與位移方向的夾角來判定：
當(dāng)力的方向不變時，可由力與位移的方向間夾角來判定．
例１.如圖所示，把ＡＢ小球由圖中位置同時由靜止釋放（繩開始時拉直），則在小球向左下擺動時，下列說法正確的是
Ａ繩ＯＡ對Ａ球做正功
Ｂ繩ＡＢ對Ｂ球不做功
Ｃ繩ＡＢ對Ａ球做負(fù)功
Ｄ繩ＡＢ對Ｂ球做正功
【答案】ＣＤ
【解析】在小球下擺過程中，由于Ｂ距Ｏ點(diǎn)較遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動較慢，位置落后于Ａ球．從運(yùn)動角度來看，Ａ球繞Ｏ點(diǎn)轉(zhuǎn)動，Ｂ球一方面隨Ａ球轉(zhuǎn)動，同時還相對于Ａ球向后轉(zhuǎn)動，如圖所示．則Ａ球的瞬時速度時刻與繩ＯＡ垂直，與繩ＡＢ之間夾角為鈍角；而Ｂ球相對Ａ球的速度方向與繩ＡＢ垂直，其對地的瞬時速度方向與繩ＡＢ之間夾角為銳角．故可知繩ＯＡ對Ａ球不做功，繩ＡＢ對Ａ球做負(fù)功、對Ｂ球做正功，ＡＢ錯誤ＣＤ正確．
例２.如圖所示，一根質(zhì)量可以忽略不計的剛性輕桿，一端Ｏ為固定轉(zhuǎn)軸，桿可在豎直平面內(nèi)無摩擦的轉(zhuǎn)動，桿的中心點(diǎn)及另一端各固定一個小球Ａ和Ｂ。已知兩球質(zhì)量相同，現(xiàn)用外力使桿靜止在水平方向，然后撤去外力，桿將擺下，從開始運(yùn)動到桿處于豎直方向的過程中
Ａ重力對Ａ球的沖量等于重力對Ｂ球的沖量
Ｂ桿的彈力對Ａ球做正功，對Ｂ球做負(fù)功
Ｃ桿的彈力對Ａ球做負(fù)功，對Ｂ球做正功
Ｄ桿的彈力對Ａ球和Ｂ球均不做功
【答案】ＡＣ
中機(jī)械能減少，則桿的彈力對Ａ球做負(fù)功，同理可知桿的彈力對Ｂ球做負(fù)功，ＢＤ錯誤Ｃ正確．
模型演練
1.在2008北京奧運(yùn)會上，俄羅斯著名撐桿跳運(yùn)動員伊辛巴耶娃以5.05m的成績第24次打破世界紀(jì)錄。圖為她在比賽中的幾個畫面。下列說法中正確的是
A．運(yùn)動員過最高點(diǎn)時的速度為零；
B．撐桿恢復(fù)形變時，彈性勢能完全轉(zhuǎn)化為動能；
C．運(yùn)動員要成功躍過橫桿，其重心必須高于橫桿；
D．運(yùn)動員在上升過程中對桿先做正功后做負(fù)功。
【答案】Ｄ
2.如圖所示，質(zhì)量均為m的ab兩球固定在輕桿的兩端，桿可繞Ｏ點(diǎn)在豎直平面內(nèi)無摩擦的轉(zhuǎn)動，已知兩球距Ｏ點(diǎn)的距離L1>L2.今在水平位置由靜止釋放，則在ａ下降過程中，桿對ｂ球的作用力：
Ａ．方向沿ＢＯ，不做功
Ｂ．方向沿ＢＯ，做正功
Ｃ．方向與ＢＯ成一定夾角，做正功
Ｄ．方向與ＢＯ成一定夾角，做負(fù)功
【答案】Ｃ
【解析】在Ｂ球上升過程中，b球的重力勢能和動能均增大，即b球的機(jī)械能增大，只能是桿對b球做了正功．而b球繞Ｏ點(diǎn)沿圓弧運(yùn)動，速度方向與桿垂直，則桿對b球的彈力一定不沿ＢＯ方向，否則桿對ｂ球不做功，故Ｃ正確．
2.變力做功多少的定性比較
由可知，定性比較某些特定階段中變力所做功時，可比較相同大小的力方向上的位移，也可比較相同位移上的分力．
例３.如圖所示, 固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊,用輕繩系著滑塊繞過光滑的定滑輪,以大小恒定的拉力F拉繩,使滑塊從A點(diǎn)起由靜止開始上升.若從A點(diǎn)上升至B點(diǎn)和從B點(diǎn)上升至C點(diǎn)的過程中拉力F做的功分別為W1、W2,滑塊經(jīng)B、C兩點(diǎn)時的動能分別為EkB、EkC,圖中AB=BC,則一定 （ ）
A.W1>W2 B.W1< W 2
C.EkB>EkC D.EkB
W2.
（解二）如圖乙．拉力Ｆ對繩所做功與繩對環(huán)所做功相同．由于拉力Ｆ大小不變，可知繩對環(huán)的拉力大小不變．將繩對環(huán)的拉力沿水平方向與豎直方向分解，則有，，由于AB=BC,可知，故W1>W2.
因F在豎直方向上的分力逐漸減小，雖在Ａ點(diǎn)處力Ｆ的豎直分力大于環(huán)的重力，但在從Ｂ到Ｃ的過程中力Ｆ在豎直方向上的分力是否小于重力及在什么位置小于重力都是未知的，故不能判定ＢＣ處的速度大小也即動能大?。畯墓δ艿慕嵌葋砜?，從Ａ到Ｂ與從Ｂ到Ｃ的過程中，重力做的負(fù)功相等，但力Ｆ做的正功卻是減少的，從Ａ到Ｂ合力做功為正值，但不能判定從Ｂ到Ｃ的過程中合力做功情況，故不能判定ＢＣ兩點(diǎn)處動能的大?。鸢钢挥校另棧?
3.變力做功的定量計算
（i）方向不變的變力做功可用其平均值計算
如圖１，當(dāng)力與物體發(fā)生的位移成線性關(guān)系時，力對位移的平均值等于此過程中力的最大值與力的最小值的算術(shù)平均值（注意力對位移的平均與力對時間的平均值間的差別）．
例４. 要把長為的鐵釘釘入木板中，每打擊一次給予的能量為，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，比例系數(shù)為k。問此釘子全部進(jìn)入木板需要打擊幾次？
【答案】
設(shè)全過程共打擊n次，則給予釘子的總能量：
所以
（ii）力的大小不變且力的方向與物體運(yùn)動方向間的夾角恒定時，力做功可由求解，式中ｓ是物體通過的路程，是力與瞬時速度間的夾角．
例5.以初速度v0豎直向上拋出一質(zhì)量為m的小物體。假定物塊所受的空氣阻力f大小不變。已知重力加速度為g，則物體上升的最大高度和返回到原拋出點(diǎn)的速率分別為
A、和 B、和
C、和 D、和
【答案】Ａ
【解析】:上升的過程中由動能定理得,,求返回拋出點(diǎn)的速度由全程使用動能定理重力做功為零,只有阻力做功,且阻力始終與速度反向,故有,解得,A正確.
（iii）利用力對空間變化的對稱性
有些情況下，物體在變力作用下的某一運(yùn)動過程中，變力隨空間位置變化時具有對稱性，如圖２，在某一點(diǎn)x=a的兩側(cè)的任意對稱點(diǎn)上，若總有，即在對稱點(diǎn)處作用力與差值相等，則在這個過程中變力的平均值等于，可用公式求解．
例6.如圖，一“”形絕緣導(dǎo)軌豎直放置，處在水平向右的勻強(qiáng)電場中。左邊的半圓弧與水平桿ab、cd相切于a、c兩點(diǎn)，兩水平桿的高度差為h，桿長為4L，O為ad、bc連線的交點(diǎn)，虛線MN、M′N′的位置如圖，其中aM = MM′= CN = NN′=L，M′b=N′d = 2L。一質(zhì)量為m，帶電量為－q的小球穿在桿上。虛線MN左邊的導(dǎo)軌光滑，虛線MN右邊的導(dǎo)軌與小球之間的動摩擦因數(shù)為。已知：在O處沒有固定點(diǎn)電荷+Q的時候，將帶電小球自N點(diǎn)由靜止釋放后，小球剛好可到達(dá)a點(diǎn)。現(xiàn)在O處固定點(diǎn)電荷+Q，并將帶電小球自d點(diǎn)以初速度v0向左瞬間推出。結(jié)果小球可沿桿運(yùn)動到b點(diǎn)。（靜電力恒量為k，重力加速度為g，在運(yùn)動過程中+Q對-q的電場力始終小于小球的重力）求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E；
（2）運(yùn)動過程中小球所受摩擦力的最大值fm和小球經(jīng)過M ′點(diǎn)時的加速度大小a ；
（3）使小球能夠運(yùn)動到b點(diǎn)的初速度v0的最小值。
【答案】(1)(2),(3)
【解析】（1）從Ｎ到ａ由動能定理有：
可得
（2）經(jīng)分析可知：小球經(jīng)過M′點(diǎn)時，球與軌道之間的彈力最大，所受的滑動摩擦力最大
在M 點(diǎn)處由牛頓第二定律有
故小球經(jīng)過M′點(diǎn)時的加速度大小為：
由動能定理知小球的初速度v0的最小值應(yīng)滿足：
可得
（iv）變力的功率恒定時可由Ｗ＝Ｐｔ求解．
（v）變力的功率也變化時可由平均功率求解
當(dāng)功率隨時間線性變化時．
例7.一電動小車沿如圖所示的路徑運(yùn)動，小車從A點(diǎn)由靜止出發(fā)，沿粗糙的水平直軌道運(yùn)動L后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓形軌道，運(yùn)動一周后又從B點(diǎn)離開圓軌道進(jìn)入水平光滑軌道BC段，在C與平面D間是一蓄水池.已知小車質(zhì)量m=0.1kg、L=10m、R=0.32m、h=1.25m、s=1.50m，在AB段所受阻力為0.3N.小車只在AB路段可以施加牽引力，牽引力的功率為P=1.5W，其他路段電動機(jī)關(guān)閉.問：要使小車能夠順利通過圓形軌道的最高點(diǎn)且能落在右側(cè)平臺D上，小車電動機(jī)至少工作多長時間？（g取10m/s2）
【答案】2.53s
【解析】設(shè)車剛好越過圓軌道最高點(diǎn)，設(shè)最高點(diǎn)速度為v2，最低點(diǎn)速度為v1
在最高點(diǎn)由牛頓第二定律得 mg=
由機(jī)械能守恒定律得 mv12=mv22+mg(2R)
解得 v1==4m/s
小車在離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動
由h=gt2 得t=0.5s
x=v1t=2m
x＞s ，所以小車能夠越過蓄水池
小車的功率不變，根據(jù)知，隨著速度v的增大，牽引力將變小，不能用求電動機(jī)所做功．設(shè)電動機(jī)工作時間為t0，在AB段由動能定理得
Pt0-fL=mv12
解得t0=2.53s
（vi）變力的壓強(qiáng)一定時可由求解
在涉及液體或氣體的等壓過程中，可由求解變化的壓力所做的功，式中Ｐ是壓強(qiáng)，是液體或氣體的體積變化量．
例8.成年人正常心跳每分鐘約75次，一次血液循環(huán)中左心室的血壓（可看作心臟壓送血液的壓強(qiáng)）的平均值為1.37104pa ，左、右心室收縮時射出的血量約為70mL，右心室對肺動脈的壓力約為左心室的1/5，據(jù)此估算心臟工作的平均功率。
【答案】１.４４Ｗ
每次心跳過程的平均時間
故心臟工作的平均功率為
（vii）變力與位移的關(guān)系圖象已知時，可利用圖線與位移軸所圍的面積求解
力與位移的關(guān)系圖象中圖線與位移軸所圍面積等于力在該段位移內(nèi)所做的功
例9．如圖甲所示，靜置于光滑水平面上坐標(biāo)原點(diǎn)處的小物塊，在水平拉力F作用下，沿x軸方向運(yùn)動，拉力F隨物塊所在位置坐標(biāo)x的變化關(guān)系如圖乙所示，圖線為半圓．則小物塊運(yùn)動到x0處時的動能為
A．0 B.Fmx0
C.Fmx0 D.x02
【答案】Ｃ
【解析】根據(jù)動能定理，小物塊運(yùn)動到x0處時的動能為這段時間內(nèi)力F所做的功，物
塊在變力作用下運(yùn)動，不能直接用功的公式來計算，但此題可用根據(jù)圖象求“面積”
的方法來解決．力F所做的功的大小等于半圓的“面積”大?。碋k＝W＝S圓＝
πFm.＝Fmx0，C選項正確．
（viii）變化的電場力做功可利用電勢差求解
例10.如圖所示，A、B、O、C為在同一豎直平面內(nèi)的四點(diǎn)，其中A、B、O沿同一豎直線，B、C同在以O(shè)為圓心的圓周（用虛線表示）上，沿AC方向固定有一光滑絕緣細(xì)桿L，在O點(diǎn)固定放置一帶負(fù)電的小球．現(xiàn)有兩個質(zhì)量和電荷量都相同的帶正電的小球a、b，先將小球a穿在細(xì)桿上，讓其從A點(diǎn)由靜止開始沿桿下滑，后使 b從A點(diǎn)由靜止開始沿豎直方向下落．各帶電小球均可視為點(diǎn)電荷，則下列說法中正確的是
A．從A點(diǎn)到C點(diǎn)，小球a做勻加速運(yùn)動
B．小球a在C點(diǎn)的動能大于小球b在B點(diǎn)的動能
C．從A點(diǎn)到C點(diǎn)，小球a的機(jī)械能先增加后減小，但機(jī)械能與電勢能之和不變
D．小球a從A點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中電場力做的功大于小球b從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中電場力做的功
【答案】ＢＣ
兩點(diǎn)電勢相同,則AB間電勢差與AC間電勢差相等,兩球電荷相同,則電場力做功相同,D錯誤.
（ix）某些特殊情況下變力所做的功可通過轉(zhuǎn)換求恒力所做功
例11.如圖所示，某人用大小不變的力F拉著放在光滑水平面上的物體。開始時與物體相連的輕繩和水平面間的夾角為α，當(dāng)拉力F作用一段時間后，繩與水平面間的夾角為β。已知圖中的高度是h，滑輪的質(zhì)量、繩與滑輪間的摩擦不計，求繩的拉力T對物體所做的功。
【答案】
【解析】拉力T在對物體做功的過程中大小不變，但方向時刻改變，所以這是個變力做功問題。由題意可知，但是在滑輪的質(zhì)量以及滑輪與繩間的摩擦不計的情況下，人對繩做的功就等于繩的拉力對物體做的功．而拉力F的大小和方向都不變，所以F做的功可以用公式W＝Fscosα直接計算，于是問題轉(zhuǎn)化為求恒力做功。
由圖可知，在繩與水平面的夾角由α變到β的過程中，拉力F的作用點(diǎn)的位移為：
所以繩對物體做功：
（x）一般情況下變力所做的功可由功能原理或動能定理求解
例12.如圖所示，一根＂＂形狀的輕支架上固定著兩個小球ＡＢ，支架可以繞轉(zhuǎn)軸Ｏ在豎直平面內(nèi)無摩擦的自由轉(zhuǎn)動，已知mA=2kg，mB=1kg，AC=BC=OC=1m．在Ａ球上施加一個力Ｆ，使裝置靜止，Ｂ與轉(zhuǎn)軸Ｏ在同一水平線上．則撤去力Ｆ，當(dāng)Ａ球擺動到最低點(diǎn)時，桿對Ａ球做多少功？（取g=10m/s2)
【答案】17.07J
【解析】Ａ球到達(dá)最低點(diǎn)時，如圖所示．
對ＡＢ兩球根據(jù)機(jī)械能守恒得：
其中ＡＢ兩球具有相同的角速度，故
得
對Ａ球由動能定理得：
解得
即Ａ球克服桿的作用力做功１７.０７Ｊ．
模型演練
3.如圖所示，演員正在進(jìn)行雜技表演。由圖可估算出他將一只雞蛋拋出的過程中對雞蛋所做的功最接近于
A．0.3J B．3J C．30J D．300J
【答案】Ａ
4.一質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)靜止于光滑水平面上，從t=0時起，第1秒內(nèi)受到2N的水平外力作用，第2秒內(nèi)受到同方向的1N的外力作用。下列判斷正確的是
A． 0～2s內(nèi)外力的平均功率是W
B．第2秒內(nèi)外力所做的功是J
C．第2秒末外力的瞬時功率最大
D．第1秒內(nèi)與第2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動能增加量的比值是
【答案】Ｄ
【解析】由動量定理求出1s末、2s末速度分別為：v1=2m/s、v2=3m/s 故由動能定理可知合力在第１s及前２s內(nèi)做功分別為Ｗ１=１＝２Ｊ、Ｗ２=２＝４.５Ｊ，前２s內(nèi)的平均功率為，Ａ錯誤；第２s內(nèi)合力做功為Ｗ２－Ｗ１＝２.５Ｊ，Ｂ錯誤。 由Ｐ＝Ｆv知1s末、2s末功率分別為：4w、3w，Ｃ錯誤。 第1秒內(nèi)與第2秒動能增加量分別為：、，比值：4：5，Ｄ正確。
5.如圖所示,一質(zhì)量為m的物體放在水平地面上,上端用一根原長為L、勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連.現(xiàn)用手拉彈簧的上端P緩慢向上移動.當(dāng)P點(diǎn)位移為H時,物體離開地面一段距離h,則在此過程中
A.拉彈簧的力對彈簧做功為mgH
B.拉彈簧的力對彈簧做功為mgh+
C.物體增加的重力勢能為mgH-
D.彈簧增加的彈性勢能為mg(H-h)
【答案】Ｃ
【解析】:緩慢拉動過程中在物體離開地面之前拉力是一變力,其大小始終與彈簧彈力相等,即與位移成正比,其最小值為0,最大值等于物體重力,此過程P點(diǎn)通過的位移,拉力所做功為或,由功能原理知彈簧增加的彈性勢能.此后物體與彈簧一起上升h高度,彈簧的長度不再變化,拉力恒等于物體重力,此過程中拉力做功等于物體增加的重力勢能,故整個過程中拉力做功或,可見只有C正確.
6.如圖所示，水池中水深為h，水面面積足夠大.水面上漂浮一塊質(zhì)量為m的正方形木塊，已知其邊長為a，漂浮時恰好有一半浸沒于水中．現(xiàn)在木塊的上表面正中心施加一豎直向下的力Ｆ，使木塊緩慢地被壓入到水底，求此過程中力Ｆ所做功．
【答案】
過程中力F做功為
(解法二)從能量守恒的角度考慮,整個過程中力F所做功應(yīng)等于水增加的重力勢能與木塊減少的重力勢能的差值.木塊減少的重力勢能.當(dāng)木塊被壓到池底時,木塊所位置同體積的水上升,一半填補(bǔ)到木塊原排開的那部分水的位置,一半平鋪到水面上,由阿基米德定律知這部分水的質(zhì)量為2m,取水底為重力勢能零點(diǎn),則可知這部分水增加的重力勢能為,故力F所做功為.
7.如圖所示，在光滑的水平板的中央有一光滑的小孔，一根不可伸長的輕繩穿過小孔．繩的兩端分別拴有一小球C和一質(zhì)量為m的物體B，在物體B的下端還懸掛有一質(zhì)量為3m的物體A．使小球C在水平板上以小孔為圓心做勻速圓周運(yùn)動，穩(wěn)定時，圓周運(yùn)動的半徑為R．現(xiàn)剪斷連接A、B的繩子，穩(wěn)定后，小球以2R的半徑在水平面上做勻速圓周運(yùn)動，則下列說法正確的
A．剪斷連接A、B的繩子后，B和C組成的系統(tǒng)機(jī)械能增加
B．剪斷連接A、B的繩子后，小球C的機(jī)械能不變
C．剪斷連接A、B的繩子后，物體B對小球做功為3mgR
D．剪斷連接A、B的繩子前，小球C的動能為2mgR
【答案】Ｄ
【解析】:剪斷繩子前由牛頓第二定律有,故小球C此時的動能,D正確.剪斷連接AB的繩子后,BC間繩上張力減小,小球C做離心運(yùn)動,物體B上升,但除重力外無其他外力對系統(tǒng)做功系統(tǒng)內(nèi)沿繩中張力方向BC兩物體的相對位移為零,即內(nèi)力總功為零,故BC系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,B的機(jī)械能增大則C的機(jī)械能減少,AB皆錯誤.由動能定理(或能量守恒)知物體B對小球做功等于小球動能的變化量,在剪斷繩后由牛頓第二定律有,此時的動能,故,C錯誤.
8.如圖所示，將一個質(zhì)量為m，長為a，寬為b的矩形物體豎立起來的過程中，人至少需要做多少功？
【答案】
由功能原理可知
當(dāng)時，最小，為：
。
9.如圖所示，固定在豎直面內(nèi)的光滑圓環(huán)半徑為R，圓環(huán)上套有質(zhì)量分別為m和2m的小球A、B（均可看作質(zhì)點(diǎn)），且小球A、B用一長為2R的輕質(zhì)細(xì)桿相連，在小球B從最高點(diǎn)由靜止開始沿圓環(huán)下滑至最低點(diǎn)的過程中（已知重力加速度為g），下列說法正確的是
A．A球增加的機(jī)械能等于B球減少的機(jī)械能
B．A球增加的重力勢能等于B球減少的重力勢能
C．A球的最大速度為
D．細(xì)桿對A球做的功為
【答案】ＡＤ
【解析】由于軌道光滑，由兩小球和輕桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故Ａ正確。此過程中Ｂ球減少的重力勢能等于Ａ球增加的重力勢能與系統(tǒng)增加的動能之和，Ｂ錯誤。因兩球由一桿連接，則兩球沿軌道運(yùn)動時在任一時刻角速度相等，線速度也相等，速度同時達(dá)到最大。當(dāng)Ｂ球運(yùn)動到最低點(diǎn)時系統(tǒng)的重力勢能最小、動能最大，由機(jī)械能守恒有：，可解得，Ｃ錯誤。細(xì)桿對A球做的功等于Ａ球增加的機(jī)械能：，Ｄ正確。
10.一根彈性細(xì)繩勁度系數(shù)為K，將其一端固定，另一端穿過一光滑小孔O系住一質(zhì)量為m的滑塊，滑塊放在水平地面上。當(dāng)細(xì)繩豎直時，小孔O到懸點(diǎn)的距離恰為彈性
細(xì)繩原長，小孔O到正下方水平地面上 P點(diǎn)的距離為h(h
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