2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式教案 新人教A版選修4-5.docx

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3.2 一般形式的柯西不等式 一、教學(xué)目標(biāo) 1．掌握三維形式和多維形式的柯西不等式． 2．會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問題． 二、課時(shí)安排 1課時(shí) 三、教學(xué)重點(diǎn) 1．掌握三維形式和多維形式的柯西不等式． 2．會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問題． 四、教學(xué)難點(diǎn) 1．掌握三維形式和多維形式的柯西不等式． 2．會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問題． 五、教學(xué)過程 （一）導(dǎo)入新課 已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值． 【解】　由柯西不等式得 (x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1， ∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝時(shí)等號(hào)成立．故x2＋4y2＋z2的最小值為. （二）講授新課 教材整理1　三維形式的柯西不等式 設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，則(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥ .當(dāng)且僅當(dāng) 或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)時(shí)，等號(hào)成立．我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式． 教材整理2　一般形式的柯西不等式 設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥ .當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝ (i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立． （三）重難點(diǎn)精講 題型一、利用柯西不等式求最值 例1　已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值時(shí)a，b，c的值． 【精彩點(diǎn)撥】　由于＋＋＝2，可考慮把已知條件與待求式子結(jié)合起來，利用柯西不等式求解． 【自主解答】　∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴(a＋2b＋3c)＝[＋＋][()2＋()2＋()2] ≥ ＝(1＋2＋3)2＝36. 又＋＋＝2， ∴a＋2b＋3c≥18， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3時(shí)等號(hào)成立， 綜上，當(dāng)a＝b＝c＝3時(shí)， a＋2b＋3c取得最小值18. 規(guī)律總結(jié)：利用柯西不等式求最值時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果．同時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件． [再練一題] 1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值． 【解】　由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)． 又x＋4y＋9z＝1， ∴x2＋y2＋z2≥，(*) 當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝時(shí)，等號(hào)成立， ∴x＝，y＝，z＝時(shí)，(*)取等號(hào)． 因此，x2＋y2＋z2的最小值為. 題型二、運(yùn)用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍 例2已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范圍． 【精彩點(diǎn)撥】　“恒成立”問題需求＋＋的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值． 【自主解答】　∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. ∴＋＋＝1. 又＋＋ ≤ ＝≤ 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z，即x＝y(tǒng)＝z＝時(shí)等號(hào)成立． ∴＋＋的最大值為. 故＋＋≤λ恒成立時(shí)， 應(yīng)有λ≥. 因此λ的取值范圍是. 規(guī)律總結(jié)： 應(yīng)用柯西不等式，首先要對(duì)不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點(diǎn)“創(chuàng)造性”應(yīng)用定理． [再練一題] 2．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，試求a的取值范圍. 【解】　由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a， 由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2， (2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2， 即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由條件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,2]． 題型三、利用柯西不等式證明不等式 例3　已知a，b，c∈R＋，求證：＋＋≥9. 【精彩點(diǎn)撥】　對(duì)應(yīng)三維形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得證． 【自主解答】　∵a，b，c∈R＋， 由柯西不等式，知 ＝[＋＋][＋＋] ≥ ＝(1＋1＋1)2＝9， ∴≥9. 規(guī)律總結(jié)： 1．當(dāng)ai，bi是正數(shù)時(shí)，柯西不等式變形為(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2. 2．本題證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩組數(shù)，創(chuàng)造使用柯西不等式的條件．在運(yùn)用柯西不等式時(shí)，要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，正確配湊出公式兩側(cè)的數(shù)組． [再練一題] 3．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. 【解】　(1)因?yàn)閒(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等價(jià)于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1. (2)證明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝9. （四）歸納小結(jié) 一般形式的柯西不等式— （五）隨堂檢測(cè) 1．設(shè)a＝(－2,1,2)，|b|＝6，則ab的最小值為(　　) A．18 B．6 C．－18 D.12 【解析】　|ab|≤|a||b|， ∴|ab|≤18. ∴－18≤ab≤18，當(dāng)a，b反向時(shí)，ab最小，最小值為－18. 【答案】　C 2．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，則a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D.[－1,1] 【解析】　∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， ∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4， ∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2， 即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)ai＝bi(i＝1,2，…，n)時(shí)，右邊等號(hào)成立； 當(dāng)且僅當(dāng)ai＝－bi(i＝1,2，…，n)時(shí)，左邊等號(hào)成立，故選B. 【答案】　B 3．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則 的最小值為________． 【解析】　根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值為. 【答案】　 六、板書設(shè)計(jì) 3.2 一般形式的柯西不等式 教材整理1　三維形式的柯西不等式 教材整理2　一般形式的柯西不等式 例1： 例2： 例3： 學(xué)生板演練習(xí) 七、作業(yè)布置 同步練習(xí)：3.2 一般形式的柯西不等式 八、教學(xué)反思