2019年度高考物理一輪復習 第十四章 機械振動與機械波 光 電磁波與相對論 第1講 機械振動學案.doc

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第1講　機械振動 一、簡諧運動 1.簡諧運動 (1)定義：如果質(zhì)點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，質(zhì)點的運動就是簡諧運動. (2)平衡位置：物體在振動過程中回復力為零的位置. (3)回復力 ①定義：使物體返回到平衡位置的力. ②方向：總是指向平衡位置. ③來源：屬于效果力，可以是某一個力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力. 2.簡諧運動的兩種模型 模型 彈簧振子 單擺 示意圖 簡諧 運動 條件 ①彈簧質(zhì)量要忽略 ②無摩擦等阻力 ③在彈簧彈性限度內(nèi) ①擺線為不可伸縮的輕細線 ②無空氣阻力等 ③最大擺角小于等于5 回復力 彈簧的彈力提供 擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力 平衡 位置 彈簧處于原長處 最低點 周期 與振幅無關(guān) T＝2π 能量 轉(zhuǎn)化 彈性勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒 重力勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒 自測1　(多選)關(guān)于簡諧運動的理解，下列說法中正確的是(　　) A.簡諧運動是勻變速運動 B.周期、頻率是表征物體做簡諧運動快慢程度的物理量 C.簡諧運動的回復力可以是恒力 D.彈簧振子每次經(jīng)過平衡位置時，位移為零、動能最大 E.單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動 答案　BD 二、簡諧運動的公式和圖象 1.表達式 (1)動力學表達式：F＝－kx，其中“－”表示回復力與位移的方向相反. (2)運動學表達式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表簡諧運動的快慢，ωt＋φ0代表簡諧運動的相位，φ0叫做初相. 2.圖象 (1)從平衡位置開始計時，函數(shù)表達式為x＝Asin ωt，圖象如圖1甲所示. (2)從最大位移處開始計時，函數(shù)表達式為x＝Acos ωt，圖象如圖乙所示. 圖1 自測2　有一彈簧振子，振幅為0.8 cm，周期為0.5 s，初始時具有負方向的最大加速度，則它的振動方程是(　　) A.x＝810－3sin m B.x＝810－3sin m C.x＝810－1sin m D.x＝810－1sin m 答案　A 解析　振幅A＝0.8 cm＝810－3 m，ω＝＝4π rad/s.由題知初始時(即t＝0時)振子在正向最大位移處，即sin φ0＝1，得φ0＝，故振子做簡諧運動的振動方程為：x＝810－3sin m，選項A正確. 三、受迫振動和共振 1.受迫振動 系統(tǒng)在驅(qū)動力作用下的振動.做受迫振動的物體，它做受迫振動的周期(或頻率)等于驅(qū)動力的周期(或頻率)，而與物體的固有周期(或頻率)無關(guān). 2.共振 做受迫振動的物體，它的驅(qū)動力的頻率與固有頻率越接近，其振幅就越大，當二者相等時，振幅達到最大，這就是共振現(xiàn)象.共振曲線如圖2所示. 圖2 自測3　(多選)如圖3所示，A球振動后，通過水平細繩迫使B、C振動，振動達到穩(wěn)定時，下列說法中正確的是(　　) 圖3 A.只有A、C的振動周期相等 B.C的振幅比B的振幅小 C.C的振幅比B的振幅大 D.A、B、C的振動周期相等 答案　CD 命題點一　簡諧運動的規(guī)律 受力 特征 回復力F＝－kx，F(xiàn)(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反 運動 特征 靠近平衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小 能量 特征 振幅越大，能量越大.在運動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒 周期 性特征 質(zhì)點的位移、回復力、加速度和速度隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為 對稱 性特征 關(guān)于平衡位置O對稱的兩點，速度的大小、動能、勢能相等，相對平衡位置的位移大小相等 例1　(多選)(2015山東理綜38(1))如圖4所示，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡諧運動.以豎直向上為正方向，物塊簡諧運動的表達式為y＝0.1sin (2.5πt) m .t＝0時刻，一小球從距物塊h高處自由落下；t＝0.6 s時，小球恰好與物塊處于同一高度.取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判斷正確的是(　　) 圖4 A.h＝1.7 m B.簡諧運動的周期是0.8 s C.0.6 s內(nèi)物塊運動的路程是0.2 m D.t＝0.4 s時，物塊與小球運動方向相反 答案　AB 解析　t＝0.6 s時，物塊的位移為y＝0.1sin (2.5π0.6) m＝－0.1 m，則對小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，選項A正確；簡諧運動的周期是T＝＝ s＝0.8 s，選項B正確；0.6 s內(nèi)物塊運動的路程是3A＝0.3 m，選項C錯誤；t＝0.4 s＝時，物塊經(jīng)過平衡位置向下運動，則此時物塊與小球運動方向相同，選項D錯誤. 變式1　如圖5所示，彈簧振子B上放一個物塊A，在A與B一起做簡諧運動的過程中，下列關(guān)于A受力的說法中正確的是(　　) 圖5 A.物塊A受重力、支持力及彈簧對它的恒定的彈力 B.物塊A受重力、支持力及彈簧對它的大小和方向都隨時間變化的彈力 C.物塊A受重力、支持力及B對它的恒定的摩擦力 D.物塊A受重力、支持力及B對它的大小和方向都隨時間變化的摩擦力 答案　D 變式2　(多選)某質(zhì)點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為x＝10sin t(cm)，則下列關(guān)于質(zhì)點運動的說法中正確的是(　　) A.質(zhì)點做簡諧運動的振幅為10 cm B.質(zhì)點做簡諧運動的周期為4 s C.在t＝4 s時質(zhì)點的速度最大 D.在t＝4 s時質(zhì)點的位移最大 答案　AC 命題點二　簡諧運動圖象的理解和應(yīng)用 1.可獲取的信息： (1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ0(如圖6所示). 圖6 (2)某時刻振動質(zhì)點離開平衡位置的位移. (3)某時刻質(zhì)點速度的大小和方向：曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質(zhì)點的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根據(jù)下一時刻質(zhì)點的位移的變化來確定. (4)某時刻質(zhì)點的回復力和加速度的方向：回復力總是指向平衡位置，回復力和加速度的方向相同，在圖象上總是指向t軸. (5)某段時間內(nèi)質(zhì)點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況. 2.簡諧運動的對稱性：(圖7) 圖7 (1)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0,1,2，…)的兩個時刻，彈簧振子的位置關(guān)于平衡位置對稱，位移等大反向，速度也等大反向. (2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3，…)的兩個時刻，彈簧振子在同一位置，位移和速度都相同. 例2　(2017北京理綜15)某彈簧振子沿x軸的簡諧運動圖象如圖8所示，下列描述正確的是(　　) 圖8 A.t＝1 s時，振子的速度為零，加速度為負的最大值 B.t＝2 s時，振子的速度為負，加速度為正的最大值 C.t＝3 s時，振子的速度為負的最大值，加速度為零 D.t＝4 s時，振子的速度為正，加速度為負的最大值 答案　A 解析　t＝1 s時，振子位于正向位移最大處，速度為零，加速度為負向最大，故A正確；t＝2 s時，振子位于平衡位置并向x軸負方向運動，速度為負向最大，加速度為零，故B錯誤；t＝3 s時，振子位于負向位移最大處，速度為零，加速度為正向最大，故C錯誤；t＝4 s時，振子位于平衡位置并向x軸正方向運動，速度為正向最大，加速度為零，故D錯誤. 例3　一質(zhì)點做簡諧運動，其位移和時間的關(guān)系如圖9所示. 圖9 (1)求t＝0.2510－2 s時質(zhì)點的位移； (2)在t＝1.510－2 s到t＝210－2 s的振動過程中，質(zhì)點的位移、回復力、速度、動能、勢能大小如何變化？ (3)在t＝0到t＝8.510－2 s時間內(nèi)，質(zhì)點的路程、位移各多大？ 答案　(1)－ cm　(2)變大　變大　變小　變小 變大　(3)34 cm　2 cm 解析　(1)由題圖可知A＝2 cm，T＝210－2 s，振動方程為x＝Asin (ωt－)＝－Acos ωt＝－2cos (t) cm＝－2cos (100πt) cm 當t＝0.2510－2 s時，x＝－2cos cm＝－ cm. (2)由題圖可知在t＝1.510－2 s到t＝210－2 s的振動過程中，質(zhì)點的位移變大，回復力變大，速度變小，動能變小，勢能變大. (3)在t＝0到t＝8.510－2 s時間內(nèi)，Δt＝T＝(4＋)T，可知質(zhì)點的路程為s＝17A＝34 cm，位移為2 cm. 變式3　質(zhì)點做簡諧運動，其位移x與時間t的關(guān)系曲線如圖10所示，由圖可知(　　) 圖10 A.振幅為4 cm，頻率為0.25 Hz B.t＝1 s時速度為零，但質(zhì)點所受合外力最大 C.t＝2 s時質(zhì)點具有正方向最大加速度 D.該質(zhì)點的振動方程為x＝2sin t(cm) 答案　C 命題點三　單擺及其周期公式 1.單擺的受力特征 (1)回復力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，F(xiàn)回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，負號表示回復力F回與位移x的方向相反. (2)向心力：細線的拉力和擺球重力沿細線方向分力的合力充當向心力，F(xiàn)向＝FT－mgcos θ. (3)兩點說明 ①當擺球在最高點時，F(xiàn)向＝＝0，F(xiàn)T＝mgcos θ. ②當擺球在最低點時，F(xiàn)向＝，F(xiàn)向最大，F(xiàn)T＝mg＋m. 2.周期公式T＝2π的兩點說明 (1)l為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離. (2)g為當?shù)刂亓铀俣? 例4　如圖11甲是一個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的最遠位置.設(shè)向右為正方向.圖乙是這個單擺的振動圖象.根據(jù)圖象回答： 圖11 (1)單擺振動的頻率是多大？ (2)開始時擺球在何位置？ (3)若當?shù)氐闹亓铀俣葹?0 m/s2，試求這個單擺的擺長是多少？(計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字) 答案　(1)1.25 Hz　(2)B點　(3)0.16 m 解析　(1)由題圖乙知周期T＝0.8 s，則頻率f＝＝1.25 Hz. (2)由題圖乙知，t＝0時擺球在負向最大位移處，因向右為正方向，所以開始時擺球在B點. (3)由T＝2π，得l＝≈0.16 m. 變式4　(2017上海單科10)做簡諧運動的單擺，其擺長不變，若擺球的質(zhì)量增加為原來的倍，擺球經(jīng)過平衡位置的速度減為原來的，則單擺振動的(　　) A.周期不變，振幅不變 B.周期不變，振幅變小 C.周期改變，振幅不變 D.周期改變，振幅變大 答案　B 解析　由單擺的周期公式T＝2π可知，當擺長l不變時，周期不變，故C、D錯誤；由能量守恒定律可知mv2＝mgh，其擺動的高度與質(zhì)量無關(guān)，因擺球經(jīng)過平衡位置的速度減小，則最大高度減小，故振幅減小，選項B正確，A錯誤. 命題點四　受迫振動和共振 1.自由振動、受迫振動和共振的關(guān)系比較 振動 項目　　 自由振動 受迫振動 共振 受力情況 僅受回復力 受驅(qū)動力作用 受驅(qū)動力作用 振動周期 或頻率 由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，即固有周期T0或固有頻率f0 由驅(qū)動力的周期或頻率決定，即T＝T驅(qū)或f＝f驅(qū) T驅(qū)＝T0或f驅(qū)＝f0 振動能量 振動物體的機械能不變 由產(chǎn)生驅(qū)動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大 常見例子 彈簧振子或單擺(θ≤5) 機械工作時底座發(fā)生的振動 共振篩、聲音的共鳴等 2.對共振的理解 (1)共振曲線：如圖12所示，橫坐標為驅(qū)動力頻率f，縱坐標為振幅A，它直觀地反映了驅(qū)動力頻率對某固有頻率為f0的振動系統(tǒng)受迫振動振幅的影響，由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大；當f＝f0時，振幅A最大. 圖12 (2)受迫振動中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化：做受迫振動的系統(tǒng)的機械能不守恒，系統(tǒng)與外界時刻進行能量交換. 例5　下表記錄了某受迫振動的振幅隨驅(qū)動力頻率變化的關(guān)系，若該振動系統(tǒng)的固有頻率為f固，則(　　) 驅(qū)動力頻率/Hz 30 40 50 60 70 80 受迫振動振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3 A.f固＝60 Hz B.60 Hz＜f固＜70 Hz C.50 Hz＜f固≤60 Hz D.以上三個都不對 答案　C 解析　從如圖所示的共振曲線可判斷出f驅(qū)與f固相差越大，受迫振動的振幅越??；f驅(qū)與f固越接近，受迫振動的振幅越大.并可以從中看出f驅(qū)越接近f固，振幅的變化越慢.比較各組數(shù)據(jù)知f驅(qū)在50～60 Hz范圍內(nèi)時，振幅變化最小，因此50 Hz＜f固≤60 Hz，即C正確. 變式5　如圖13所示，在一條張緊的繩子上掛幾個擺，其中A、B的擺長相等.當A擺振動的時候，通過張緊的繩子給B、C、D擺施加驅(qū)動力，使其余各擺做受迫振動.觀察B、C、D擺的振動發(fā)現(xiàn)(　　) 圖13 A.C擺的頻率最小 B.D擺的周期最大 C.B擺的擺角最大 D.B、C、D的擺角相同 答案　C 解析　由A擺擺動從而帶動其它3個單擺做受迫振動，受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，故其它各擺振動周期跟A擺相同，頻率也相等，故A、B錯誤；受迫振動中，當固有頻率等于驅(qū)動力頻率時，出現(xiàn)共振現(xiàn)象，振幅達到最大，由于B擺的固有頻率與A擺的相同，故B擺發(fā)生共振，振幅最大，故C正確，D錯誤. 1.做簡諧運動的物體，當它每次經(jīng)過同一位置時，可能不同的物理量是(　　) A.位移 B.速度 C.加速度 D.回復力 答案　B 2.做簡諧運動的單擺擺長不變，若擺球質(zhì)量減小為原來的，擺球經(jīng)過平衡位置時速度增大為原來的2倍，則單擺振動的(　　) A.頻率、振幅都不變 B.頻率、振幅都改變 C.頻率不變，振幅改變 D.頻率改變，振幅不變 答案　C 3.如圖1所示，彈簧振子在a、b兩點間做簡諧振動，當振子從平衡位置O向a運動過程中(　　) 圖1 A.加速度和速度均不斷減小 B.加速度和速度均不斷增大 C.加速度不斷增大，速度不斷減小 D.加速度不斷減小，速度不斷增大 答案　C 解析　在振子由O到a的過程中，其位移不斷增大，回復力增大，加速度增大，但是由于加速度與速度方向相反，故速度減小，因此選項C正確. 4.如圖2所示為某彈簧振子在0～5 s內(nèi)的振動圖象，由圖可知，下列說法中正確的是(　　) 圖2 A.振動周期為5 s，振幅為8 cm B.第2 s末振子的速度為零，加速度為負向的最大值 C.從第1 s末到第2 s末振子的位移增加，振子在做加速度減小的減速運動 D.第3 s末振子的速度為正向的最大值 答案　D 解析　由題圖圖象可知振動周期為4 s，振幅為8 cm，選項A錯誤；第2 s末振子在最大位移處，速度為零，位移為負，加速度為正向的最大值，選項B錯誤；從第1 s末到第2 s末振子的位移增大，振子在做加速度增大的減速運動，選項C錯誤；第3 s末振子在平衡位置，向正方向運動，速度為正向的最大值，選項D正確. 5.(多選)一個質(zhì)點做簡諧運動的圖象如圖3所示，下列說法正確的是(　　) 圖3 A.質(zhì)點振動的頻率為4 Hz B.在10 s內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的路程是20 cm C.在5 s末，質(zhì)點的速度為零，加速度最大 D.t＝1.5 s和t＝4.5 s兩時刻質(zhì)點的位移大小相等，都是 cm 答案　BCD 解析　由題圖圖象可知，質(zhì)點振動的周期為T＝4 s，故頻率f＝＝0.25 Hz，選項A錯誤；在10 s內(nèi)質(zhì)點振動了2.5個周期，經(jīng)過的路程是10A＝20 cm，選項B正確；在5 s末，質(zhì)點處于正向最大位移處，速度為零，加速度最大，選項C正確；由題圖圖象可得振動方程是x＝2sin(t) cm，將t＝1.5 s和t＝4.5 s代入振動方程得x＝ cm，選項D正確. 6.(多選)某質(zhì)點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為x＝Asint，則質(zhì)點(　　) A.第1 s末與第3 s末的位移相同 B.第1 s末與第3 s末的速度相同 C.第3 s末至第5 s末的位移方向都相同 D.第3 s末至第5 s末的速度方向都相同 答案　AD 解析　由關(guān)系式可知ω＝ rad/s，T＝＝8 s，將t＝1 s和t＝3 s代入關(guān)系式中求得兩時刻位移相同，A對；作出質(zhì)點的振動圖象，由圖象可以看出，第1 s末和第3 s末的速度方向不同，B錯；由圖象可知，第3 s末至第4 s末質(zhì)點的位移方向與第4 s末至第5 s末質(zhì)點的位移方向相反，而速度的方向相同，故C錯，D對. 7.一個單擺在地面上做受迫振動，其共振曲線(振幅A與驅(qū)動力頻率f的關(guān)系)如圖4所示，則(　　) 圖4 A.此單擺的固有周期約為0.5 s B.此單擺的擺長約為1 m C.若擺長增大，單擺的固有頻率增大 D.若擺長增大，共振曲線的峰將向右移動 答案　B 解析　由題圖共振曲線知此單擺的固有頻率為0.5 Hz，固有周期為2 s，故A錯誤；由T＝2π，得此單擺的擺長約為1 m，故B正確；若擺長增大，單擺的固有周期增大，固有頻率減小，則共振曲線的峰將向左移動，故C、D錯誤. 8.(多選)(2018福建福州質(zhì)檢)一彈簧振子沿x軸振動，振幅為4 cm，振子的平衡位置位于x軸上的O點.圖5甲上的a、b、c、d為四個不同的振動狀態(tài)；黑點表示振子的位置，黑點上的箭頭表示運動的方向.圖乙給出的①②③④四條振動圖線，可用于表示振子的振動圖象的是(　　) 圖5 A.若規(guī)定狀態(tài)a時t＝0，則圖象為① B.若規(guī)定狀態(tài)b時t＝0，則圖象為② C.若規(guī)定狀態(tài)c時t＝0，則圖象為③ D.若規(guī)定狀態(tài)d時t＝0，則圖象為④ 答案　AD 解析　振子在狀態(tài)a時t＝0，此時的位移為3 cm，且向x軸正方向運動，故選項A正確；振子在狀態(tài)b時t＝0，此時的位移為2 cm，且向x軸負方向運動，選項B錯誤；振子在狀態(tài)c時t＝0，此時的位移為－2 cm，選項C錯誤；振子在狀態(tài)d時t＝0，此時的位移為－4 cm，速度為零，故選項D正確. 9.(多選)如圖6所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖象，則下列說法中正確的是(　　) 圖6 A.甲、乙兩單擺的擺長相等 B.甲擺的振幅比乙擺大 C.甲擺的機械能比乙擺大 D.在t＝0.5 s時有正向最大加速度的是乙擺 E.由圖象可以求出當?shù)氐闹亓铀俣? 答案　ABD 解析　由題圖振動圖象可以看出，甲擺的振幅比乙擺的大，兩單擺的振動周期相同，根據(jù)單擺周期公式T＝2π可得，甲、乙兩單擺的擺長相等，但不知道擺長是多少，不能計算出當?shù)氐闹亓铀俣萭，故A、B正確，E錯誤；兩單擺的質(zhì)量未知，所以兩單擺的機械能無法比較，故C錯誤；在t＝0.5 s時，乙擺有負向最大位移，即有正向最大加速度，而甲擺的位移為零，加速度為零，故D正確. 10.(多選)如圖7所示為一個豎直放置的彈簧振子，物體沿豎直方向在A、B之間做簡諧運動，O點為平衡位置，A點位置恰好為彈簧的原長.物體由C點運動到D點(C、D兩點未在圖上標出)的過程中，彈簧的彈性勢能增加了3.0 J，重力勢能減少了2.0 J.對于這段過程說法正確的是(　　) 圖7 A.物體的動能增加1.0 J B.C點的位置可能在平衡位置以上 C.D點的位置可能在平衡位置以上 D.物體經(jīng)過D點的運動方向可能指向平衡位置 答案　BD 11.如圖8所示為一彈簧振子的振動圖象，試完成以下問題： 圖8 (1)寫出該振子簡諧運動的表達式； (2)在第2 s末到第3 s末這段時間內(nèi)，彈簧振子的加速度、速度、動能和彈性勢能各是怎樣變化的？ (3)該振子在前100 s的總位移是多少？路程是多少？ 答案　見解析 解析　(1)由題圖振動圖象可得A＝5 cm，T＝4 s，φ0＝0 則ω＝＝ rad/s 故該振子簡諧運動的表達式為x＝5sin t cm (2)由題圖可知，在t＝2 s時，振子恰好通過平衡位置，此時加速度為零，隨著時間的延續(xù)，位移不斷變大，加速度也變大，速度不斷變小，動能不斷減小，彈性勢能逐漸增大，當t＝3 s時，加速度達到最大值，速度等于零，動能等于零，彈性勢能達到最大值. (3)振子經(jīng)過一個周期位移為零，路程為45 cm＝20 cm，前100 s剛好經(jīng)過了25個周期，所以前100 s振子的總位移x＝0，振子的路程s＝2520 cm＝500 cm＝5 m. 12.如圖9所示，ACB為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R，C為弧形槽最低點，R?.甲球從弧形槽的圓心處自由下落，乙球從A點由靜止釋放，問： 圖9 (1)兩球第1次到達C點的時間之比； (2)若在圓弧的最低點C的正上方h處由靜止釋放小球甲，讓其自由下落，同時將乙球從圓弧左側(cè)由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在圓弧最低點C處相遇，則甲球下落的高度h是多少？ 答案　(1)　(2)(n＝0,1,2…) 解析　(1)甲球做自由落體運動 R＝gt12，所以t1＝ 乙球沿圓弧做簡諧運動(由于?R，可認為擺角θ＜5).此運動與一個擺長為R的單擺運動模型相同，故此等效擺長為R，因此乙球第1次到達C處的時間為 t2＝T＝2π＝， 所以t1∶t2＝. (2)甲球從離弧形槽最低點h高處自由下落，到達C點的時間為t甲＝ 由于乙球運動存在周期性，所以乙球到達C點的時間為 t乙＝＋n＝(2n＋1)　(n＝0,1,2，…) 由于甲、乙在C點相遇，故t甲＝t乙 聯(lián)立解得h＝　(n＝0,1,2…).