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9.6 雙曲線
最新考綱
考情考向分析
了解雙曲線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質(zhì)，了解直線與雙曲線的位置關系.
主要側重雙曲線的方程以及以雙曲線方程為載體，研究參數(shù)a，b，c及與漸近線有關的問題，其中離心率和漸近線是重點.題型為選擇、填空題.
1.雙曲線定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)當2a<|F1F2|時，P點的軌跡是雙曲線；
(2)當2a＝|F1F2|時，P點的軌跡是兩條射線；
(3)當2a>|F1F2|時，P點不存在.
2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝x
y＝x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1.平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的動點的軌跡一定為雙曲線嗎？為什么？
提示 不一定.
當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是兩條射線；
當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在；
當2a＝0時，動點的軌跡是線段F1F2的中垂線.
2.方程Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是什么？
提示 若A>0，B<0，表示焦點在x軸上的雙曲線；若A<0，B>0，表示焦點在y軸上的雙曲線.所以Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是AB<0.
3.與橢圓標準方程相比較，雙曲線標準方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者沒有大小要求，若a>b>0，a＝b>0，0
b>0時，10時，e＝(亦稱等軸雙曲線)，當0.
題組一 思考辨析
1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.( )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.( )
(3)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即＝0.( √ )
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.( √ )
(5)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).( √ )
題組二 教材改編
2.[P61T1]若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為( )
A. B.5
C. D.2
答案 A
解析 由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，雙曲線的漸近線方程為＝0，即bxay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3.[P61A組T3]已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為( )
A.xy＝0 B.xy＝0
C.x2y＝0 D.2xy＝0
答案 A
解析 橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝x，即xy＝0.
4.[P62A組T6]經(jīng)過點A(4，1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________.
答案?。?
解析 設雙曲線的方程為－＝1(a>0)，
把點A(4，1)代入，得a2＝15(舍負)，
故所求方程為－＝1.
題組三 易錯自糾
5.已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是( )
A.(－1，3) B.(－1，)
C.(0，3) D.(0，)
答案 A
解析 ∵方程－＝1表示雙曲線，
∴(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 由條件知y＝－x過點(3，－4)，∴＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝.故選D.
7.(2018浙江省鎮(zhèn)海中學模擬)雙曲線C：y2－＝1的漸近線方程為__________，設雙曲線－＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點(4，1)，且與雙曲線C具有相同的漸近線，則該雙曲線的標準方程為________________.
答案 y＝?。?
解析 雙曲線y2－＝1的漸近線方程為y＝x；與y2－＝1具有相同的漸近線的雙曲線方程可設為y2－＝m(m≠0)，因為該雙曲線經(jīng)過點(4，1)，所以m＝12－＝－3，即該雙曲線的方程為y2－＝－3，即－＝1.
題型一 雙曲線的定義
例1 (1)已知定點F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點，點F1關于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D. 圓
答案 B
解析 如圖，連接ON，
由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點，又O為F1F2的中點，∴|MF2|＝2.
∵點F1關于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由雙曲線的定義可得，點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線.
(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
則cos∠F1PF2＝＝＝.
引申探究
1.本例(2)中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60”，則△F1PF2的面積是多少？
解 不妨設點P在雙曲線的右支上，
則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1||PF2|＝8，
∴＝|PF1||PF2|sin60＝2.
2.本例(2)中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“＝0”，則△F1PF2的面積是多少？
解 不妨設點P在雙曲線的右支上，
則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵＝0，
∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1||PF2|＝4，
∴＝|PF1||PF2|＝2.
思維升華 (1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.
(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1||PF2|的聯(lián)系.
跟蹤訓練1 (2016浙江)設雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________.
答案 (2，8)
解析 如圖，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，從而|F1F2|＝4，
由對稱性不妨設P在右支上，
設|PF2|＝m，
則|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2為銳角三角形，
結合實際意義需滿足
解得－1＋3) D.－＝1(x>4)
答案 C
解析 由條件可得，圓與x軸的切點為T(3，0)，由相切的性質(zhì)得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<|AB|＝10，因此點C在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，
∵2a＝6，2c＝10，
∴a＝3，b＝4，
故頂點C的軌跡方程是－＝1(x>3).
(2)根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：
①虛軸長為12，離心率為；
②焦距為26，且經(jīng)過點M(0，12)；
③經(jīng)過兩點P(－3，2)和Q(－6，－7).
解?、僭O雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由題意知，2b＝12，e＝＝，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1.
②∵雙曲線經(jīng)過點M(0，12)，∴M(0，12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴雙曲線的標準方程為－＝1.
③設雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0).
∴
解得
∴雙曲線的標準方程為－＝1.
思維升華求雙曲線標準方程的方法
1.定義法
根據(jù)雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結合焦點位置，求出雙曲線方程，常用的關系有：
(1)c2＝a2＋b2；
(2)雙曲線上任意一點到雙曲線兩焦點的距離的差的絕對值等于2a.
2.待定系數(shù)法
(1)一般步驟
①判斷：根據(jù)已知條件，確定雙曲線的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能；
②設：根據(jù)①中的判斷結果，設出所需的未知數(shù)或者標準方程；
③列：根據(jù)題意，列出關于a，b，c的方程或者方程組；
④解：求解得到方程.
(2)常見設法
①與雙曲線－＝1共漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0)；
②若雙曲線的漸近線方程為y＝x，則雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0)；
③若雙曲線過兩個已知點，則雙曲線方程可設為＋＝1(mn<0)；
④與雙曲線－＝1共焦點的雙曲線方程可設為－＝1(－b2b>0)有共同焦點的雙曲線方程可設為＋＝1(b2<λ0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由橢圓＋＝1的焦點為(3，0)，(－3，0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程為－＝1.故選B.
題型三 雙曲線的幾何性質(zhì)
命題點1 與漸近線有關的問題
例3 過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F作圓O：x2＋y2＝a2的兩條切線，切點為A，B，雙曲線左頂點為C，若∠ACB＝120，則雙曲線的漸近線方程為( )
A.y＝x B.y＝x
C.y＝x D.y＝x
答案 A
解析 如圖所示，連接OA，OB，
設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2c(c>0)，
則C(－a，0)，F(xiàn)(－c，0).
由雙曲線和圓的對稱性知，點A與點B關于x軸對稱，
則∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝120＝60.
因為|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO為等邊三角形，所以∠AOC＝60.
因為FA與圓O切于點A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90－∠AOF＝90－60＝30，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝＝＝a，
故雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，即y＝x.
命題點2 求離心率的值(或范圍)
例4 (1)(2018麗水、衢州、湖州質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，滿足∠PF2F1＝，連接PF1交y軸于點Q，若|QF2|＝c，則雙曲線的離心率是( )
A. B.
C.1＋ D.1＋
答案 C
解析 設O為坐標原點，由題意可得，PF2⊥x軸，OQ∥PF2，所以Q為PF1的中點，易知F2(c，0)，因為|QF2|＝c，所以|OQ|＝c，又|OQ|＝|PF2|，所以|PF2|＝2|OQ|＝2c，所以|PF1|＝2c，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，即2c－2c＝2a，所以e＝＝＝＋1.故選C.
(2)(2018浙江省紹興市適應性考試)如圖，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，A為虛軸的一個端點.若以A為圓心的圓與C的一條漸近線相切于點B，且＝t(t∈R)，則該雙曲線的離心率為( )
A.2 B.
C. D.
答案 D
解析 由題圖知F(－c，0)，A(0，－b)，漸近線方程為y＝x.由已知得A，B，F(xiàn)三點共線，且AF⊥OB.所以點F到漸近線OB的距離為d＝＝b，|AF|＝，又由△BOF∽△OAF，得|FO|2＝|FB||FA|.即c2＝b，即c4＝b2(c2＋b2)，則c4＝(c2－a2)(2c2－a2)，整理得c4－3a2c2＋a4＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝.所以該雙曲線的離心率e＝＝＝，故選D.
思維升華1.求雙曲線的漸近線的方法
求雙曲線－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令－＝0，得y＝x；或令－＝0，得y＝x.反之，已知漸近線方程為y＝x，可設雙曲線方程為－＝λ(a>0，b>0，λ≠0).
2.求雙曲線的離心率
(1)求雙曲線的離心率或其范圍的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解.
(2)雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關系：k＝＝＝＝.
跟蹤訓練3 (1)已知點F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|＝2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是( )
A.(1，＋∞) B.
C. D.
答案 C
解析 由|F1F2|＝2|OP|，可得|OP|＝c，故△PF1F2為直角三角形，且PF1⊥PF2，則|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，則|PF1|＝2a＋|PF2|，所以(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，
整理得(|PF2|＋a)2＝2c2－a2.
又|PF1|≥3|PF2|，即2a＋|PF2|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，所以|PF2|＋a≤2a，即2c2－a2≤4a2，可得c≤a.
由e＝，且e>1，可得10，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點B，A，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為( )
A.B.4C.D.
答案 A
解析 因為△ABF2為等邊三角形，
所以不妨設|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，
因為A為雙曲線右支上一點，
所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，
因為B為雙曲線左支上一點，
所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，
由∠ABF2＝60，得∠F1BF2＝120，
在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－22a4acos120，
得c2＝7a2，則e2＝7，
又e>1，所以e＝.故選A.
離心率問題
離心率是橢圓、雙曲線的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉化為關于離心率e的關系式，這是化解有關橢圓與雙曲線的離心率問題難點的根本方法.
例1已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點.若|AF|＋|BF|＝4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 設左焦點為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，
則四邊形AFBF0為平行四邊形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
設M(0，b)，則M到直線l的距離d＝≥，∴1≤b<2.
離心率e＝＝＝＝∈，
故選A.
例2 (2018浙江省綠色評價聯(lián)盟高考適應性考試)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線上一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率為( )
A.－1 B.
C. D.＋1
答案 C
解析 由對稱性不妨設點P在第一象限，如圖，
由題意設△PF1F2的內(nèi)切圓切三邊于G，D，E三點，則|PG|＝|PE|，|GF1|＝|DF1|，|EF2|＝|DF2|.又|PF1|－|PF2|＝2a，則|GF1|－|EF2|＝|DF1|－|DF2|＝2a，設D(x0，0)，則x0＋c－(c－x0)＝2a，即x0＝a，所以切點D為雙曲線的右頂點，∴|PF1|＝|GP|＋|GF1|＝＋|DF1|＝＋c＋a＝＋c，|PF2|＝|PE|＋|EF2|＝＋|DF2|＝＋c－a＝c－，在Rt△PF1F2中，由勾股定理得2＋2＝(2c)2，整理得4c2－4ac－5a2＝0，則4e2－4e－5＝0，解得離心率e＝(舍負)，故選C.
1.(2018浙江)雙曲線－y2＝1的焦點坐標是( )
A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2)
答案 B
解析 ∵雙曲線方程為－y2＝1，
∴a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點在x軸上，
∴c＝＝＝2，
即該雙曲線的焦點坐標為(－2，0)，(2，0).
故選B.
2.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為( )
A.xy＝0 B.xy＝0
C.xy＝0 D.2xy＝0
答案 C
解析 ∵雙曲線的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝x.
又∵離心率e＝＝2，
∴c＝2a，∴b＝＝a.
由此可得雙曲線的漸近線方程為y＝x＝x，
即xy＝0.故選C.
3.已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若＝2，且||＝4，則雙曲線C的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 不妨設B(0，b)，由＝2，F(xiàn)(c，0)，
可得A，代入雙曲線C的方程可得－＝1，即＝，
∴＝.①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，
∴a2＋2b2＝16，②
由①②可得a2＝4，b2＝6，
∴雙曲線C的方程為－＝1，故選D.
4.設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，過F1引圓x2＋y2＝9的切線F1P交雙曲線的右支于點P，T為切點，M為線段F1P的中點，O為坐標原點，則|MO|－|MT|等于( )
A.4B.3C.2D.1
答案 D
解析 連接PF2，OT，則有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝－＝1，故選D.
5.已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點P使＝e，則的值為( )
A.3B.2C.－3D.－2
答案 B
解析 由題意及正弦定理得＝＝e＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|，
由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
又|F1F2|＝4，
由余弦定理可知cos∠PF2F1＝＝＝，
∴＝||||cos∠PF2F1
＝24＝2.故選B.
6.已知雙曲線－＝1的右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點A(0，)，則△APF周長的最小值為( )
A.4＋ B.4(1＋)
C.2(＋) D.＋3
答案 B
解析 由題意知F(，0)，設左焦點為F0，則F0(－，0)，由題可知△APF的周長l為|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l(xiāng)＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋22＝4＋4＝4(＋1)，當且僅當A，F(xiàn)0，P三點共線時取得“＝”，故選B.
7.已知離心率為的雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且OM⊥MF2，O為坐標原點，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實軸長是( )
A.32B.16C.84D.4
答案 B
解析 由題意知F2(c，0)，不妨令點M在漸近線y＝x上，由題意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以雙曲線C的實軸長為16.故選B.
8.已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，則雙曲線C1的離心率的范圍是( )
A. B.
C.(1，2) D.(2，＋∞)
答案 A
解析 由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝x，即bxay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝a2，圓心C2的坐標為(a，0)，半徑r＝a，由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為，故選A.
9.雙曲線的焦點在x軸上，實軸長為4，離心率為，則該雙曲線的標準方程為__________，漸近線方程為____________.
答案?。? y＝x
解析 由2a＝4，＝，得a＝2，c＝2，b＝2，
所以雙曲線的標準方程為－＝1，漸近線方程為y＝x.
10.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1(b>0)的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45，延長AF2交雙曲線的右支于點B，則△F1AB的面積等于________.
答案 4
解析 由題意知a＝1，
由雙曲線定義知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.
由題意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，
∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1為等腰三角形，∠F1AF2＝45，∴∠ABF1＝90，
∴△BAF1為等腰直角三角形.
∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝4＝2，
∴＝|BA||BF1|＝22＝4.
11.已知焦點在x軸上的雙曲線＋＝1，它的焦點到漸近線的距離的取值范圍是__________.
答案 (0，2)
解析 對于焦點在x軸上的雙曲線－＝1(a>0，b>0)，它的焦點(c，0)到漸近線bx－ay＝0的距離為＝b.雙曲線＋＝1，即－＝1，其焦點在x軸上，則解得40，b>0)的右焦點為F，左頂點為A，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點，△APQ的一個內(nèi)角為60，求雙曲線C的離心率.
解 設左焦點為F1，由于雙曲線和圓都關于x軸對稱，
又△APQ的一個內(nèi)角為60，
∴∠PAF＝30，∠PFA＝120，|AF|＝|PF|＝c＋a，
∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得
|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，
即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝(舍負).
13.(2018湖州模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，∠AF1B＝90，△AF1B的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標為a，則雙曲線的離心率為( )
A.2B.3C.D.
答案 A
解析 設內(nèi)切圓的圓心M(x，y)，圓M分別切AF1，BF1，AB于S，T，Q，
如圖，連接MS，MT，MF1，MQ，
則|F1T|＝|F1S|，故四邊形SF1TM是正方形，邊長為圓M的半徑.由|AS|＝|AQ|，|BT|＝|BQ|，
得|AF1|－|AQ|＝|SF1|＝|TF1|＝|BF1|－|BQ|，
又|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|，
∴Q與F2重合，
∴|SF1|＝|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|MF2|＝2a，即(x－c)2＋y2＝4a2，①
|MF1|＝2a，(x＋c)2＋y2＝8a2，②
聯(lián)立①②解得x＝，y2＝4a2－，又y＝a，
故＝4a2－，得e＝＝2.
14.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1(b>0)的左、右焦點，過點F1的直線與圓x2＋y2＝1相切于點T，與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B，若|F2B|＝|AB|，求b的值.
解 方法一 因為|F2B|＝|AB|，所以結合雙曲線的定義，
得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，
連接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，
所以cos∠F2F1A＝，sin∠F2F1A＝，
所以A，將點A的坐標代入雙曲線得－＝1，化簡得b6－4b5＋5b4－4b3－4＝0，得(b2－2b－2)(b4－2b3＋3b2－2b＋2)＝0，而b4－2b3＋3b2－2b＋2＝b2(b－1)2＋b2＋1＋(b－1)2>0，故b2－2b－2＝0，解得b＝1(負值舍去)，即b＝1＋.
方法二 因為|F2B|＝|AB|，所以結合雙曲線的定義，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，連接AF2，則|AF2|＝2＋|AF1|＝4.
連接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，
所以cos∠F2F1A＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得
cos∠F2F1A＝＝，
所以c2－3＝2b，又在雙曲線中，c2＝1＋b2，
所以b2－2b－2＝0，解得b＝1(負值舍去)，
即b＝1＋.
15.(2018浙江省聯(lián)盟學校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且交雙曲線的右支于A，B兩點，記△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若r1∶r2＝3∶1，則直線l的斜率為( )
A.1B.C.D.2
答案 C
解析 方法一 當A在第一象限時，如圖1，
設△AF1F2的內(nèi)切圓⊙O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點Q，P，N，
則|AQ|＝|AN|，|F1Q|＝|F1P|，|F2P|＝|F2N|，
又|AF1|－|AF2|＝2a，
即(|AQ|＋|F1Q|)－(|AN|＋|F2N|)＝2a，
∴|F1Q|－|F2N|＝2a，
∴|F1F2|－|F2P|－|F2N|＝2a，即2c－2|F2P|＝2a，
∴|F2P|＝c－a，
∴P為雙曲線的右頂點，
同理，△BF1F2的內(nèi)切圓⊙O2也切F1F2于雙曲線的右頂點，
連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點共線，且O1O2⊥F1F2.
連接O1F2，O2F2，又O1F2平分∠F1F2A，O2F2平分∠F1F2B，
∴∠O1F2O2＝90，
∴Rt△O1F2P∽Rt△F2O2P∽Rt△O1O2F2，
∴|O1F2|2＝|O1P||O1O2|，|O2F2|2＝|O2P||O1O2|，
∴＝＝＝3，
則tan∠O2O1F2＝＝，
∴∠O2O1F2＝30，則∠O1F2P＝60，∴∠AF2P＝120，
∴kAB＝.由對稱性可得A在第四象限時，kAB＝－.
綜上，直線l的斜率為.
方法二 當A在第一象限時，如圖2，
設△AF1F2的內(nèi)切圓⊙O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點Q，P，N，則|AQ|＝|AN|，|F1Q|＝|F1P|，|F2P|＝|F2N|，又|AF1|－|AF2|＝2a，即(|AQ|＋|F1Q|)－(|AN|＋|F2N|)＝2a，∴|F1Q|－|F2N|＝2a，
∴|F1F2|－|F2P|－|F2N|＝2a，即2c－2|F2P|＝2a，∴|F2P|＝c－a，∴P為雙曲線的右頂點，同理，△BF1F2的內(nèi)切圓⊙O2也切F1F2于雙曲線的右頂點，連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點共線，且O1O2⊥F1F2.設⊙O2切BF2于點H，連接O1N，O2H，則在直角梯形O2HNO1中，|O2H|＝r2，|O1N|＝r1＝3r2，|O1O2|＝r1＋r2＝4r2，作O2T⊥O1N于點T，則|O1T|＝r1－r2＝2r2，故在Rt△O1O2T中，∠O2O1T＝60，∴∠AF2P＝120，∴kAB＝.
由對稱性可得A在第四象限時，kAB＝－.
綜上，直線l的斜率為.
16.(2018浙江省杭州地區(qū)四校聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P(在第一象限)在雙曲線的右支上，直線PF2的傾斜角為120，△PF1F2的面積S＝(a2＋b2)，求雙曲線C的離心率.
解 方法一 設P(x0，y0)，易知|F1F2|＝2c，c＝，
所以△PF1F2的面積S＝2c|y0|＝c2，
解得|y0|＝c.
因為直線PF2的傾斜角為120，所以|PF2|＝＝c.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2||F1F2|cos∠PF2F1＝c2＋(2c)2－2c2ccos60＝3c2，所以|PF1|＝c.
由雙曲線的定義可得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c＝(－1)c，
所以雙曲線的離心率e＝＝＝＋1.
方法二 設P(x0，y0)，易知|F1F2|＝2c，c＝，
所以△PF1F2的面積S＝2c|y0|＝c2，
解得|y0|＝c.
因為直線PF2的傾斜角為120，
所以x0＝c－＝，所以P.
由點P在雙曲線上可得－＝1，
整理得c4－8c2a2＋4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0，
解得e2＝4＋2或e2＝4－2.
因為e>1，所以e2＝4＋2，所以e＝＝＋1.
（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第九章 平面解析幾何 9.6 雙曲線講義（含解析）.docx
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