2019高考數學二輪復習 第一篇 微型專題 微專題16 概率與統(tǒng)計的綜合應用練習 理.docx
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16 概率與統(tǒng)計的綜合應用 1.某班的全體學生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖所示,數據的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數是15,則該班的學生人數是( ). A.45 B.50 C.55 D.60 解析? 由頻率分布直方圖知,低于60分的頻率為(0.010+0.005)20=0.3, ∴該班學生人數n=150.3=50,故選B. 答案? B 2.有一個容量為66的樣本,數據的分組及各組的頻數如下: [11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;[27.5,31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5],3. 根據樣本的頻率分布估計,數據落在[27.5,43.5]內的概率是 . 解析? 由條件可知,落在[27.5,43.5]內的數據有11+12+7+3=33(個),故所求概率是3366=12. 答案? 12 3.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%,現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算機產生0到9之間取整數值的隨機數,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三個隨機數為一組,代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為 . 解析? 20組隨機數中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191,271,932,812,393,其頻率為520=0.25,以此估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25. 答案? 0.25 4.如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測試中的成績,其中一個數字被污損,則甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為 . 解析? 依題意,設題中被污損的數字為x,若甲的平均成績不超過乙的平均成績,則有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)≤0,解得x≥7,即此時x的可能取值是7,8,9,因此甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率P=310=0.3. 答案? 0.3 能力1 ? 概率與隨機抽樣的交匯問題 【例1】 已知某中學高三理科班學生的數學與物理的水平測試成績抽樣統(tǒng)計如下表: x 人數 y A B C A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取學生n人,成績分為A(優(yōu)秀),B(良好),C(及格)三個等級,設x與y分別表示數學成績與物理成績,例如:表中物理成績?yōu)锳等級的共有14+40+10=64(人),數學成績?yōu)锽等級且物理成績?yōu)镃等級的共有8人.已知x與y均為A等級的概率是0.07. (1)設在該樣本中,數學成績的優(yōu)秀率是30%,求a,b的值; (2)已知a≥7,b≥6,求數學成績?yōu)锳等級的人數比C等級的人數多的概率. 解析? (1)由題意知14n=0.07,解得n=200, ∴14+a+28200100%=30%,解得a=18, 易知a+b=30,∴b=12. (2)由14+a+28>10+b+34得a>b+2.又a+b=30且a≥7,b≥6,則(a,b)的所有可能結果為(7,23),(8,22),(9,21),…,(24,6),共18種,而a>b+2的可能結果為(17,13),(18,12),…,(24,6),共8種,則所求概率P=818=49. 求解古典概型與抽樣方法交匯問題的思路 (1)依據題目中抽樣方法的信息,提煉需要的信息. (2)進行統(tǒng)計與古典概型概率的正確計算. 某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯(lián)如下: 上年度出險次數 0 1 2 3 4 ≥5 保費(元) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設該險種一續(xù)保人一年內出險次數與相應概率如下: 一年內出險次數 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率; (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值. 解析? (1)設A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件A發(fā)生即為當且僅當一年內出險次數大于3,故P(A)=0.1+0.05=0.15. (2)設B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于1,故P(B)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. 又P(AB)=P(A),故P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=0.150.55=311. (3)記續(xù)保人本年度的保費為X,則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23. 能力2 ? 概率與頻率分布直方圖的綜合應用 【例2】 PM2.5是衡量空氣污染程度的一個指標,為了了解某市空氣質量情況,從去年每天的PM2.5值的數據中隨機抽取40天的數據,其頻率分布直方圖如圖所示. 現將PM2.5值劃分為如下等級 PM2.5值 [0,100) [100,150) [150,200) [200,250] 等級 一級 二級 三級 四級 用頻率估計概率. (1)估計該市在下一年的360天中空氣質量為一級的天數; (2)在樣本中,按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值的數據,再從這8個數據中隨機抽取5個,求一級、二級、三級、四級天氣都有的概率; (3)如果該市對環(huán)境進行治理,治理后經統(tǒng)計,每天PM2.5值X近似滿足X~N(115,752),求治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了多少. 解析? (1)由樣本空氣質量PM2.5的數據的頻率分布直方圖可知,其頻率分布如下表: PM2.5值 [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,250] 頻率 0.125 0.125 0.375 0.25 0.125 由上表可知,如果該市維持現狀不變,那么該市下一年的某一天空氣質量為一級的概率為0.25, 因此在360天中約有3600.25=90(天). (2)在樣本中,按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值數據,則這8個數據中一級、二級、三級、四級天氣的數據分別有2個、3個、2個、1個. 從這8個數據中隨機抽取5個,則這四種天氣都有三種情況:一級天氣的數據有2個,其余的均為1個;二級天氣的數據有2個,其余的均為1個;三級天氣的數據有2個,其余的均為1個. 情況有:C22C31C21C11+C21C32C21C11+C21C31C22C11=24種. 而從8個數據中隨機抽取5個,有C85=56種情況. 故所求概率為2456=37. (3)如果該市維持現狀不變,那么該市的PM2.5值的均值約為 E(Y)=250.125+750.125+1250.375+1750.25+2250.125=131.25. 如果該市對環(huán)境進行治理,那么該市的PM2.5值X的均值為E(X)=115, 因此該市治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了16.25. 有關古典概型與統(tǒng)計結合的題型是高考考查概率的一個重要題型,已成為高考考查的熱點.概率與統(tǒng)計綜合題,無論是直接描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息,準確從題中提煉信息是解題的關鍵. 從某企業(yè)生產的某種產品中抽取100件,測量這些產品的質量指標值.由測量結果得到如圖所示的頻率分布直方圖,質量指標值落在區(qū)間[55,65),[65,75),[75,85]內的頻率之比為4∶2∶1. (1)求這些產品質量指標值落在區(qū)間[75,85]內的頻率; (2)若將頻率視為概率,從該企業(yè)生產的這種產品中隨機抽取3件,記這3件產品中質量指標值位于區(qū)間[45,75)內的產品件數為X,求X的分布列. 解析? (1)設這些產品質量指標值落在區(qū)間[75,85]內的頻率為x,則落在區(qū)間[55,65),[65,75)內的頻率分別為4x,2x. 依題意得(0.004+0.012+0.019+0.030)10+4x+2x+x=1,解得x=0.05. 所以這些產品質量指標值落在區(qū)間[75,85]內的頻率為0.05. (2)由(1)得,這些產品質量指標值落在區(qū)間[45,75)內的頻率為0.3+0.2+0.1=0.6,將頻率視為概率得p=0.6. 從該企業(yè)生產的這種產品中隨機抽取3件,相當于進行了3次獨立重復試驗,所以X服從二項分布B(n,p),其中n=3,p=0.6. 因為X的所有可能取值為0,1,2,3, 且P(X=0)=C300.600.43=0.064, P(X=1)=C310.610.42=0.288, P(X=2)=C320.620.41=0.432, P(X=3)=C330.630.40=0.216, 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 能力3 ? 概率與統(tǒng)計案例的綜合應用 【例3】 某校計劃面向高一年級1200名學生開設校本選修課程,為確保工作的順利實施,先按性別進行分層抽樣,抽取了180名學生對社會科學類、自然科學類這兩大類校本選修課程的選課意向進行調查,其中男生有105人.在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45人. (1)分別計算抽取的樣本中男生、女生選擇社會科學類的頻率,并以統(tǒng)計的頻率作為概率,估計實際選課中選擇社會科學類的學生人數; (2)根據抽取的180名學生的調查結果,完成22列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“科類的選擇與性別有關”. 選擇自然科學類 選擇社會科學類 合計 男生 女生 合計 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析? (1)由條件知,抽取的男生有105人,女生有180-105=75(人), 所以男生選擇社會科學類的頻率為45105=37,女生選擇社會科學類的頻率為4575=35. 由題意知,男生總數為1200105180=700,女生總數為120075180=500,所以估計選擇社會科學類的學生人數為70037+50035=600. (2)根據統(tǒng)計數據,可得列聯(lián)表如下: 選擇自然科學類 選擇社會科學類 合計 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計 90 90 180 則K2的觀測值k=180(6045-3045)2105759090≈5.1429>5.024, 所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下能認為“科類的選擇與性別有關”. (1)本題常見的錯誤是對獨立性檢驗思想理解不深刻,做出錯誤判定.(2)進行獨立性檢驗時,提出的假設是兩者無關. 近幾年出現各種食品問題,食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病.為了解三高疾病是否與性別有關,醫(yī)院隨機對入院的60人進行了問卷調查,得到了如下的列聯(lián)表: 患三高疾病 不患三高疾病 合計 男 6 30 女 合計 36 (1)請將列聯(lián)表補充完整.若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽取9人,其中女性抽取多少人? (2)為了研究患三高疾病是否與性別有關,請計算出統(tǒng)計量K2的觀測值k,并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“患三高疾病與性別有關”. 臨界值表: P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 參考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. 解析? (1)補充列聯(lián)表如下: 患三高疾病 不患三高疾病 合計 男 24 6 30 女 12 18 30 合計 36 24 60 在患三高疾病的人群中抽取9人,則抽取比例為936=14, 所以女性應該抽取1214=3(人). (2)由22列聯(lián)表,得K2的觀測值 k=60(2418-612)230303624=10>7.879, 所以可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“患三高疾病與性別有關”. 能力4 ? 統(tǒng)計與概率的綜合應用 【例4】 一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示. 將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設每天的銷售量相互獨立. (1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率; (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數,求隨機變量X的分布列、數學期望E(X)及方差D(X). 解析? (1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”,A2表示事件“日銷售量低于50個”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”,因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6, P(A2)=0.00350=0.15, P(B)=0.60.60.152=0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3,相應的概率為 P(X=0)=C30(1-0.6)3=0.064, P(X=1)=C310.6(1-0.6)2=0.288, P(X=2)=C320.62(1-0.6)=0.432, P(X=3)=C330.63=0.216. X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因為X~B(3,0.6),所以數學期望E(X)=30.6=1.8, 方差D(X)=30.6(1-0.6)=0.72. 二項分布的期望與方差. (1)如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np;D(X)=np(1-p)求解,可大大減少計算量. (2)有些隨機變量雖然不服從二項分布,但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布,這時,可以綜合應用E(aX+b)=aE(X)+b以及E(X)=np求出E(aX+b),同樣還可求出D(aX+b). 空氣質量指數(AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數,空氣質量按照AQI大小分為六級:0~50為優(yōu);51~100為良;101~150為輕度污染;151~200為中度污染;201~300為重度污染;300以上為嚴重污染. 一環(huán)保人士記錄去年某地六月中的10天的AQI的莖葉圖如圖所示. (1)利用該樣本估計該地六月空氣質量為優(yōu)良(AQI≤100)的天數; (2)將頻率視為概率,從六月中隨機抽取3天,記3天中空氣質量為優(yōu)良的天數為ξ,求ξ的分布列. 解析? (1)從莖葉圖中可以發(fā)現樣本中空氣質量為優(yōu)的天數為2,空氣質量為良的天數為4, ∴該樣本中空氣質量為優(yōu)良的頻率為610=35, 從而估計該地六月空氣質量為優(yōu)良的天數為3035=18. (2)由(1)估計六月某天空氣質量為優(yōu)良的概率為35, ξ的所有可能取值為0,1,2,3,且ξ~B3,35. ∴P(ξ=0)=253=8125, P(ξ=1)=C3135252=36125, P(ξ=2)=C3235225=54125, P(ξ=3)=353=27125, 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 8125 36125 54125 27125 一、選擇題 1.已知隨機變量x,y的值如表所示,如果x與y線性相關且回歸直線方程為y＾=bx+72,那么實數b=( ). x 2 3 4 y 5 4 6 A.-12 B.12 C.-110 D.110 解析? 因為x-=3,y-=5,由回歸直線過樣本點的中心(3,5),得5=3b+72,所以b=12. 答案? B 2.把樣本容量為20的數據分組,分組區(qū)間與頻數如下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60),4;[60,70],2.則在區(qū)間[10,50)上的數據的頻率是( ). A.0.05 B.0.25 C.0.5 D.0.7 解析? 由題知,在區(qū)間[10,50)上的數據的頻數是2+3+4+5=14,故其頻率為1420=0.7,故選D. 答案? D 3.在一個容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為p1,p2,p3,則( ). A.p1=p2
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