2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法教案 新人教A版選修4-5.docx

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4.1數(shù)學(xué)歸納法 一、教學(xué)目標(biāo) 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍． 2．會利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題． 二、課時安排 1課時 三、教學(xué)重點 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍． 2．會利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題． 四、教學(xué)難點 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍． 2．會利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題． 五、教學(xué)過程 （一）導(dǎo)入新課 數(shù)學(xué)歸納法證明中，在驗證了n＝1時命題正確，假定n＝k時命題正確，此時k的取值范圍是(　　) A．k∈N B．k＞1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D.k＞2，k∈N＋ 【解析】　數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1. 【答案】　C （二）講授新課 教材整理　數(shù)學(xué)歸納法的概念 一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟： (1)證明當(dāng) 時命題成立； (2)假設(shè)當(dāng) 時命題成立，證明 時命題也成立． 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法． （三）重難點精講 題型一、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 例1　用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 【精彩點撥】　要證等式的左邊共2n項，右邊共n項，f(k)與f(k＋1)相比左邊增二項，右邊增一項，而且左、右兩邊的首項不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”時要注意項的合并． 【自主解答】　①當(dāng)n＝1時，左邊＝1－＝＝＝右邊，所以等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋－ ＝＋ ＝＋…＋＋＋＝右邊， 所以，n＝k＋1時等式成立． 由①②知，等式對任意n∈N＋成立． 規(guī)律總結(jié)： 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)．由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項． 2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點：一是要準確表述n＝n0時命題的形式，二是要準確把握由n＝k到n＝k＋1時，命題結(jié)構(gòu)的變化特點．并且一定要記住：在證明n＝k＋1成立時，必須使用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)． [再練一題] 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝12－22＝－3， 右邊＝－1(21＋1)＝－3，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 當(dāng)n＝k＋1時， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以n＝k＋1時等式也成立， 根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何n∈N＋都成立． 題型二、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n＋1)7n－1能被9整除(n∈N＋)． 【精彩點撥】　先驗證n＝1時命題成立，然后再利用歸納假設(shè)證明，關(guān)鍵是找清f(k＋1)與f(k)的關(guān)系并設(shè)法配湊． 【自主解答】　(1)當(dāng)n＝1時，原式＝(31＋1)7－1＝27，能被9整除，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時，(3k＋1)7k－1能被9整除，則當(dāng)n＝k＋1時， [ 3(k＋1)＋1]7k＋1－1 ＝[21(k＋1)＋7]7k－1 ＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]7k－1 ＝[(3k＋1)7k－1]＋9(2k＋3)7k. ∵[(3k＋1)7k－1]和9(2k＋3)7k都能被9整除， ∴[ (3k＋1)7k－1]＋9(2k＋3)7k能被9整除， 即[3(k＋1)＋1]7k＋1－1能被9整除， 即當(dāng)n＝k＋1時命題成立． 由(1)(2)可知，對任何n∈N＋，命題都成立，即(3n＋1)7n－1能被9整除(n∈N＋)． 規(guī)律總結(jié)： 1．證明本題時關(guān)鍵是用歸納假設(shè)式子(3k＋1)7k－1表示n＝k＋1時的式子． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題關(guān)鍵是利用增項、減項、拆項、并項、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證．一般地，證明一個與n有關(guān)的式子f(n)能被一個數(shù)a(或一個代數(shù)式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)與f(k)的關(guān)系，設(shè)法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)f1(k)＋f2(k)． [再練一題]2．求證：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除. 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，命題成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除， 當(dāng)n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k23＋3k32＋33 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)， 由歸納假設(shè)知，上式中兩項都能被9整除，故n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)和(2)可知，對n∈N＋命題成立. 題型三、證明幾何命題 例3平面內(nèi)有n(n≥2，n∈N＋)條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點，那么這n條直線的交點個數(shù)f(n)是多少？并證明你的結(jié)論． 【精彩點撥】　(1)從特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性結(jié)論f(n)；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明． 【自主解答】　當(dāng)n＝2時，f(2)＝1 ；當(dāng)n＝3時，f(3)＝3； 當(dāng)n＝4時，f(4)＝6. 因此猜想f(n)＝ (n≥2，n∈N＋)． 規(guī)律總結(jié)： 下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝2時，兩條相交直線有一個交點， 又f(2)＝2(2－1)＝1. ∴n＝2時，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N＋)時命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)＝k(k－1)， 當(dāng)n＝k＋1時，其中一條直線記為l，剩下的k條直線為l1，l2，…，lk. 由歸納假設(shè)知，剩下的k條直線之間的交點個數(shù)為f(k)＝. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點， 所以直線l與l1，l2，l3，…，lk的交點共有k個， ∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝ ＝＝， ∴當(dāng)n＝k＋1時，命題成立． 由(1)(2)可知，命題對一切n∈N＋且n≥2時成立． 1．從特殊入手，尋找一般性結(jié)論，并探索n變化時，交點個數(shù)間的關(guān)系． 2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時，關(guān)鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時幾何圖形的變化規(guī)律并結(jié)合圖形直觀分析，要講清原因． [再練一題] 3．在本例中，探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數(shù)是多少？并加以證明． 【解】　設(shè)分割成線段或射線的條數(shù)為f(n)，則f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16. 猜想n條直線分割成線段或射線的條數(shù)f(n)＝n2(n≥2)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明． (1)當(dāng)n＝2時，顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時， 結(jié)論成立，f(k)＝k2. 則當(dāng)n＝k＋1時，設(shè)有l(wèi)1，l2，…，lk，lk＋1，共k＋1條直線滿足題設(shè)條件． 不妨取出直線l1，余下的k條直線l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2條射線或線段． 直線l1與這k條直線恰有k個交點，則直線l1被這k個交點分成k＋1條射線或線段．k條直線l2，l3，…，lk－1中的每一條都與l1恰有一個交點，因此每條直線又被這一個交點多分割出一條射線或線段，共有k條． 故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， ∴當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論正確． 由(1)(2)可知，上述結(jié)論對一切n≥2且n∈N＋均成立． 題型四、數(shù)學(xué)歸納法的概念 例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在驗證n＝1成立時，左邊計算的結(jié)果是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 【精彩點撥】　注意左端特征，共有n＋2項，首項為1，最后一項為an＋1. 【自主解答】　實際是由1(即a0)起，每項指數(shù)增加1，到最后一項為an＋1，所以n＝1時，左邊的最后一項應(yīng)為a2，因此左邊計算的結(jié)果應(yīng)為1＋a＋a2. 【答案】　C 規(guī)律總結(jié)： 1．驗證是基礎(chǔ)：找準起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定為1. 2．遞推是關(guān)鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時式子項數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障． [再練一題] 4．當(dāng)f(k)＝1－＋－＋…＋－，則f(k＋1)＝f(k)＋________. 【解析】　f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－， ∴f(k＋1)＝f(k)＋－. 【答案】　－ （四）歸納小結(jié) 數(shù)學(xué)歸納法— （五）隨堂檢測 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時，在驗證n＝1成立時，左邊所得的代數(shù)式為(　　) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 【解析】　當(dāng)n＝1時左邊所得的代數(shù)式為1＋2＋3. 【答案】　C 2．某個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋且k≥1)時命題成立，則一定可推得當(dāng)n＝k＋1時，該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時，該命題不成立，那么應(yīng)有(　　) A．當(dāng)n＝4時，該命題成立 B．當(dāng)n＝6時，該命題成立 C．當(dāng)n＝4時，該命題不成立 D．當(dāng)n＝6時，該命題不成立 【解析】　若n＝4時命題成立，由遞推關(guān)系知n＝5時命題成立，與題中條件矛盾，所以n＝4時，該命題不成立． 【答案】　C 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N＋)時，從“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 【解析】　當(dāng)n＝k時，等式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k13…(2k－1)． 當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)． 比較n＝k和n＝k＋1時等式的左邊，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．故選B. 【答案】　B 六、板書設(shè)計 4.1數(shù)學(xué)歸納法 教材整理　數(shù)學(xué)歸納法的概念 例1： 例2： 例3： 例4： 學(xué)生板演練習(xí) 七、作業(yè)布置 同步練習(xí)：4.1數(shù)學(xué)歸納法 八、教學(xué)反思