（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.5 二次函數(shù)與冪函數(shù)講義 理.doc

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第五節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù) 1．冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)． (2)常見(jiàn)的5種冪函數(shù)的圖象 排列特點(diǎn)：第一象限內(nèi)，在直線x＝1右側(cè)，其指數(shù)越大，圖象越高，即“指大圖高”. 圖象規(guī)律：冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限．圖象若與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，一定交于坐標(biāo)原點(diǎn)． 三點(diǎn)注意：(1)當(dāng)α＜0時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，類似于y＝x－1的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時(shí)針?lè)较蛑笖?shù)在增大； (2)當(dāng)0＜α＜1時(shí)，函數(shù)圖象傾向x軸，類似于y＝x的圖象； (3)當(dāng)α>1時(shí)，函數(shù)圖象傾向y軸，類似于y＝x3的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時(shí)針?lè)较蛑笖?shù)在增大. (3)冪函數(shù)的性質(zhì) ①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義； ②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ③當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 對(duì)于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m與n互質(zhì))的冪函數(shù)： (1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； (2)當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； (3)當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處)． 2．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的3種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)． ③零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)． (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 圖象(拋物線) 定義域 R 值域 對(duì)稱軸 x＝－ 頂點(diǎn)坐標(biāo) 奇偶性 當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù) 單調(diào)性 在上是減函數(shù)； 在上是增函數(shù) 在上是增函數(shù)； 在上是減函數(shù) [熟記常用結(jié)論] 關(guān)于二次函數(shù)的幾個(gè)常用結(jié)論 (1)關(guān)于函數(shù)f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a>0)，x∈[p，q]的最值問(wèn)題 若h∈[p，q]，則x＝h時(shí)有最小值k，最大值是f(p)與f(q)中較大者；若h?[p，q]，則f(p)，f(q)中較小者為最小值，較大者為最大值． (2)根的分布問(wèn)題 設(shè)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若對(duì)區(qū)間[a，b]有f(a)≥0，f(b)≤0，則曲線必與x軸相交(至少有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)必在[a，b]上)． 設(shè)x1，x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的兩根，根的分布對(duì)照y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象，知其等價(jià)不等式組的關(guān)系是： ①若x1＜x2＜m，則 ②若m＜x1＜x2，則 ③若x1＜m＜x2，則 ④若x1，x2∈(m1，m2)，則 ⑤若x1，x2有且僅有一個(gè)在(m1，m2)內(nèi)， 則 [小題查驗(yàn)基礎(chǔ)] 一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“”) (1)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．(　　) (2)當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　) (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函數(shù)．(　　) (4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　) (5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開(kāi)口大?。?　　) 答案：(1)　(2)√　(3)　(4)　(5)√ 二、選填題 1．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則f(2)＝(　　) A.　　　　　　　　 B．4 C. D. 解析：選C　設(shè)f(x)＝xα， ∵圖象過(guò)點(diǎn)，∴f(4)＝4α＝，解得α＝－， ∴f(2)＝2＝.故選C. 2．若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，則a，b，c，d的大小關(guān)系是(　　) A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>d C．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c 解析：選B　根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及圖象知選B. 3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　∵函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方， ∴解得a>. 4．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______． 解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)， ∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2. 又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴m＝2. 答案：2 5．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝4x2－mx＋5的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以≤2，即m≤16. 答案：(－∞，16] 考點(diǎn)一 [基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)] 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) [題組練透] 1．已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,3)，則f(2)－f(1)＝(　　) A．3　　　　　　　　 B．1－ C.－1 D．1 解析：選C　設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，則f(9)＝9α＝3，即α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1，故選C. 2．當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，冪函數(shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－2 B．1 C．1或－2 D．m≠ 解析：選B　因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是冪函數(shù)又是(0，＋∞)上的減函數(shù)，所以解得m＝1. 3.冪函數(shù)y＝x (m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：選C　從圖象上看，由于圖象不過(guò)原點(diǎn)，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故m2－2m－3為負(fù)偶數(shù)，將m＝0,1,2分別代入，可知當(dāng)m＝1時(shí)，m2－2m－3＝－4，滿足要求． 4．已知a＝3，b＝4，c＝12，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 解析：選C　因?yàn)閍＝81，b＝16，c＝12，由冪函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，知a>b>c，故選C. 5．若(a＋1)＜(3－2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：易知函數(shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得－1≤a＜. 答案： [名師微點(diǎn)] (1)冪函數(shù)y＝xα的形式特點(diǎn)是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)α>0時(shí)，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)α＜0時(shí)，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可． (2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大?。撼Ｕ业揭粋€(gè)中間值，通過(guò)比較冪函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 考點(diǎn)二 [師生共研過(guò)關(guān)] 求二次函數(shù)的解析式 [典例精析] 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函數(shù)f(x)的解析式． [解]　法一：(利用二次函數(shù)的一般式) 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由題意得解得 故所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式) 設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對(duì)稱軸為x＝＝. ∴m＝，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：(利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式) 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)有最大值ymax＝8， 即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. [解題技法] 求二次函數(shù)解析式的策略 [過(guò)關(guān)訓(xùn)練] 1．已知二次函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(4)＝4f(2)＝16，則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)___________． 解析：由題意可設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，則f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2. 答案：f(x)＝x2 2．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________. 解析：設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1. 答案：x2＋2x＋1 3．已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． 解：∵f(2－x)＝f(2＋x)對(duì)x∈R恒成立， ∴f(x)的對(duì)稱軸為x＝2. 又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2， ∴f(x)＝0的兩根為1和3. 設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,3)，∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 考點(diǎn)三 [全析考法過(guò)關(guān)] 二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 [考法全析] 考法(一)　二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題 [例1]　(1)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－3,0)　　　　　　　 B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] (2)函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是(　　) A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx) C．f(bx)>f(cx) D．與x有關(guān)，不確定 [解析]　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿足題意． 當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x＝， 由f(x)在[－1，＋∞)上遞減知解得－3≤a＜0. 綜上，a的取值范圍為[－3,0]． (2)由題意知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，則bx＝2x，cx＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．若x≥0，則3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，則3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故選A. [答案]　(1)D　(2)A 考法(二)　二次函數(shù)的最值問(wèn)題 [例2]　若函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，則a的值為_(kāi)_______． [解析]　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. ①當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去； ②當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝； ③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，最大值為f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合題意，舍去． 綜上可知，a的值為. [答案]　 考法(三)　二次函數(shù)中的恒成立問(wèn)題 [例3]　已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． [解析]　f(x)>2x＋m等價(jià)于x2－x＋1>2x＋m， 即x2－3x＋1－m>0， 令g(x)＝x2－3x＋1－m， 要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立， 只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1. 由－m－1>0，得m＜－1. 因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)． [答案]　(－∞，－1) [規(guī)律探求] 看個(gè)性 考法(一)是研究二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對(duì)稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要依據(jù)其圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論． 考法(二)是研究二次函數(shù)的最值問(wèn)題．對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題，無(wú)論對(duì)稱軸還是區(qū)間含有參數(shù)，都把對(duì)稱軸看作靜止不動(dòng)的參照物，即“動(dòng)兮定兮對(duì)稱軸，看作靜止參照物”，然后利用十字法求解即可． 考法(三)是考法(一)和考法(二)的逆運(yùn)用，最終轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解 找共性 解決二次函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題應(yīng)注意的兩個(gè)關(guān)鍵 (1)拋物線的開(kāi)口、對(duì)稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論． (2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問(wèn)題 [過(guò)關(guān)訓(xùn)練] 1．[口訣第1、2、3句]若二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2) 解析：選A　二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2的對(duì)稱軸為x＝，當(dāng)k>0時(shí)，要使函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，只需≤1，解得k≥2. 當(dāng)k＜0時(shí)，＜0，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間[1,2]的左側(cè)，該函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，不符合要求．綜上可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2，＋∞)． 2．[口訣第1、2句]已知y＝f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝(x－1)2，若當(dāng)x∈時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為(　　) A. B. C. D．1 解析：選D　設(shè)x＜0，則－x>0. 有f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，又∵f(－x)＝f(x)， ∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝(x＋1)2， ∴該函數(shù)在上的最大值為1，最小值為0， 依題意，n≤f(x)≤m恒成立， 則n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值為1. 3．[口訣第4、5句]設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值． 解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝1. 當(dāng)t＋1＜1，即t＜0時(shí)，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1； 當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對(duì)稱軸x＝1處取得最小值，最小值為f(1)＝1； 當(dāng)t>1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)＝t2－2t＋2. 綜上可知，f(x)min＝ 一、題點(diǎn)全面練 1．冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，)，則f(x)是(　　) A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù) 解析：選D　設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，將(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，所以y＝x.故選D. 2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是(　　) 解析：選D　由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函數(shù)圖象開(kāi)口向上，排除A、C.又f(0)＝c＜0，所以排除B，故選D. 3.二次函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x－1)>0的解集為(　　) A．(－2,1) B．(0,3) C．(－1,2] D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：選B　根據(jù)f(x)的圖象可得f(x)>0的解集為{x|－1＜x＜2}，而f(x－1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位得到的，故f(x－1)>0的解集為(0,3)．故選B. 4．若a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c　　　　　　　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析：選D　∵y＝x (x>0)是增函數(shù)，∴a＝>b＝.∵y＝x是減函數(shù)，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c. 5．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且2是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，－1是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)，那么不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－4,2) B．(－2,4) C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞) 解析：選C　依題意，f(x)圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根是2，另一個(gè)根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x＜－4. 6．已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖象上，設(shè)a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析：選A　根據(jù)題意，m－1＝1，∴m＝2，∴2n＝8， ∴n＝3，∴f(x)＝x3. ∵f(x)＝x3是定義在R上的增函數(shù)， 又－＜0＜＜0＝1＜ln π， ∴c＜a＜b. 7．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意可知函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x＝2(如圖)，若f(a)≥f(0)，從圖象觀察可知0≤a≤4. 答案：[0,4] 8．若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_(kāi)_______． 解析：∵函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，且f(x)在區(qū)間[a，a＋2]上的最小值為4， ∴當(dāng)a≥1時(shí)，f(a)＝(a－1)2＝4， ∴a＝－1(舍去)或a＝3； 當(dāng)a＋2≤1，即a≤－1時(shí)，f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，∴a＝1(舍去)或a＝－3； 當(dāng)a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1時(shí)，f(1)＝0≠4. 故a的取值集合為{－3,3}． 答案：{－3,3} 9．已知值域?yàn)閇－1，＋∞)的二次函數(shù)f(x)滿足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根x1，x2滿足|x1－x2|＝2. (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)函數(shù)g(x)＝f(x)－kx在區(qū)間[－1,2]上的最大值為f(2)，最小值為f(－1)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱， 設(shè)f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)， 由函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)，可得h＝－1，a>0， 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋， ∴|x1－x2|＝＝ ＝2， 解得a＝1，∴f(x)＝x2＋2x. (2)由題意得函數(shù)g(x)在區(qū)間[－1,2]上單調(diào)遞增， 又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x. ∴g(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝， 則≤－1，即k≤0，故k的取值范圍為(－∞，0]． 10．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍． 解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1， 解得a＝1，b＝2， ∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝ ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8. (2)由題可知，f(x)＝x2＋bx，原命題等價(jià)于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立， 即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立． 又－x的最小值為0，－－x的最大值為－2， ∴－2≤b≤0，故b的取值范圍是[－2,0]． 二、專項(xiàng)培優(yōu)練 (一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分 1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)＜0，則必有(　　) A．f(p＋1)>0 B．f(p＋1)＜0 C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符號(hào)不能確定 解析：選A　由題意知，f(0)＝c>0，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－，則f(－1)＝f(0)>0，設(shè)f(x)＝0的兩根分別為x1，x2(x1＜x2)，則－1＜x1＜x2＜0，根據(jù)圖象知，x1＜p＜x2，故p＋1>0，則f(p＋1)>0. 2．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 解析：選B　由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，當(dāng)n＝1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x－2為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以n＝1滿足題意；當(dāng)n＝－3時(shí)，函數(shù)f(x)＝x18為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以n＝－3不滿足題意，舍去．故選B. 3．已知在(－∞，1]上遞減的函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，且對(duì)任意的x1，x2∈[0，t＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2,3] D．[1,2] 解析：選B　由于函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1的圖象的對(duì)稱軸為x＝t， 函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減， 所以t≥1. 則在區(qū)間[0，t＋1]上，0距對(duì)稱軸x＝t最遠(yuǎn)，故要使對(duì)任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2， 只要f(0)－f(t)≤2即可，即1－(t2－2t2＋1)≤2， 求得－≤t≤. 再結(jié)合t≥1，可得1≤t≤.故選B. 4．若函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：函數(shù)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－a， 因?yàn)閥＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)， 所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞) 5．已知對(duì)于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：Δ＝4(a－2)2－4a＝4a2－20a＋16＝4(a－1)(a－4)． (1)若Δ＜0，即1＜a＜4時(shí)，x2－2(a－2)x＋a>0在R上恒成立，符合題意； (2)若Δ＝0，即a＝1或a＝4時(shí)，方程x2－2(a－2)x＋a>0的解為x≠a－2， 顯然當(dāng)a＝1時(shí)，不符合題意，當(dāng)a＝4時(shí)，符合題意； (3)當(dāng)Δ>0，即a＜1或a>4時(shí)，因?yàn)閤2－2(a－2)x＋a>0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立， 所以解得3＜a≤5， 又a＜1或a>4，所以4＜a≤5. 綜上，a的取值范圍是(1,5]． 答案：(1,5] (二)技法專練——活用快得分 6．[更換主元法]對(duì)于任意a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于0，則x的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞) C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 解析：選B　原題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次函數(shù)y＝a(x－2)＋x2－4x＋4>0在[－1,1]上恒成立， 只需??x＜1或x>3.故選B. 7．[分離參數(shù)法]方程x2＋ax－2＝0在區(qū)間[1,5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B．(1，＋∞) C. D. 解析：選C　方程x2＋ax－2＝0在區(qū)間[1,5]上有解轉(zhuǎn)化為方程a＝在區(qū)間[1,5]上有解，即y＝a與y＝的圖象有交點(diǎn)，又因?yàn)閥＝＝－x在[1,5]上是減函數(shù)，所以其值域?yàn)?，故選C. (三)難點(diǎn)專練——適情自主選 8．函數(shù)f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0對(duì)x∈[0,1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞) C．[－2，＋∞) D. 解析：選C　如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的圖象，由圖象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x＜x2＋恒成立，即1≤2x－x2＜，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0或x＝1時(shí)等號(hào)成立，∴1≤g(x)＜，∴f(g(x))≥0?f(1)≥0?－1＋3＋a≥0?a≥－2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2，＋∞)，故選C. 9．定義：如果在函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，滿足f(x0)＝，則稱函數(shù)y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)， 設(shè)x0為均值點(diǎn)，所以＝m＝f(x0)， 即關(guān)于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，解方程得x0＝1或x0＝m－1. 所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2， 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,2)． 答案：(0,2)