2020高考數(shù)學一輪復習 第六章 不等式、推理與證明 課時作業(yè)37 直接證明與間接證明 文.doc
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課時作業(yè)37 直接證明與間接證明 [基礎達標] 一、選擇題 1．要證明＋<4可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的為( ) A．綜合法 B．分析法 C．比較法 D．歸納法 解析：要證明＋<4，只需證明(＋)2<16，即8＋2<16，即證明<4，亦即只需證明15<16，而15<16顯然成立，故原不等式成立．因此利用分析法證明較為合理，故選B. 答案：B 2．用反證法證明命題：“ a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設的內容應為( ) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析：“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”． 答案：B 3．在△ABC中，sinAsinCa＋b，則a，b應滿足的條件是________． 解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需滿足a≥0，b≥0且a≠b. 答案：a≥0，b≥0且a≠b 7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，則實數(shù)x＝________. 解析：因為a∥b， 所以(x＋1)(－2)＝24， 解得x＝－5. 答案：－5 8．[2019太原模擬]用反證法證明“若x2－1＝0，則x＝－1或x＝1”時，應假設__________________． 解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”． 答案：x≠－1且x≠1 三、解答題 9．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求證：a，b，c成等差數(shù)列． 證明：由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B， 因為sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列． 10．已知a，b是正實數(shù)，求證＋≥＋. 證明：證法一 (作差法)因為a，b是正實數(shù)，所以 ＋－－＝＋ ＝ ＝≥0， 所以＋≥＋. 證法二 (分析法)已知a，b是正實數(shù)， 要證＋≥＋， 只需證a＋b≥(＋)， 即證(a＋b－)(＋)≥(＋)， 即證a＋b－≥， 就是要證a＋b≥2. 顯然a＋b≥2恒成立，所以＋≥＋. 證法三 (綜合法)因為a，b是正實數(shù)， 所以＋＋＋≥2＋2＝2＋2， 當且僅當a＝b時取等號，所以＋≥＋. 證法四 (綜合法)因為a，b是正實數(shù)， 所以(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2， 當且僅當a＝b時取等號， 所以＋≥＋. [能力挑戰(zhàn)] 11．若a，b，c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋.求證：a，b，c中至少有一個大于0. 證明：假設a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0， 所以a＋b＋c≤0. 而a＋b＋c ＝＋＋ ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. 所以a＋b＋c>0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一個大于0.
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