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課時跟蹤訓練(十六)
增分提能
一、選擇題
1．(2018福建福州模擬)如圖所示，AB為豎直轉軸，細繩AC和BC的結點C系一質量為m的小球，兩繩能承受的最大拉力均為2mg.當細繩AC和BC均拉直時∠ABC＝90，∠ACB＝53，BC＝1 m．細繩AC和BC能繞豎直軸AB勻速轉動，因而小球在水平面內做勻速圓周運動．當小球的線速度增大時，兩繩均會被拉斷，則最先被拉斷的那根繩及另一根繩被拉斷時的速度分別為(重力加速度g＝10 m/s2，sin53＝0.8，cos53＝0.6)
A．AC 5 m/s B．BC 5 m/s
C．AC 5.24 m/s D．BC 5.24 m/s
[解析] 據題意，小球轉動時向心力為TBC＋TACcos53＝m，此時設細繩BC剛好被拉斷，則拉力為TBC＝2mg，TACsin53＝mg，即TAC＝mg，說明細繩BC先被拉斷；當細繩AC拉斷時，有T′ACsinθ＝mg，T′AC＝2mg，則細繩AC與水平方向的夾角θ＝30，有T′ACcos30＝m，此時小球轉動半徑為R′＝cos30＝ m，代入數值得v′＝5 m/s，故B正確．
[答案] B
2．(多選)2016年12月18日，中央電視臺《原來如此》欄目播出了“解析離心現(xiàn)象”，某同學觀看后，采用如圖所示的裝置研究離心現(xiàn)象，他將兩個桿垂直固定在豎直面內，在垂足O1和水平桿上的O2位置分別固定一力傳感器，其中O1O2＝l，現(xiàn)用兩根長度相等且均為l的細繩拴接一質量為m的鐵球P，細繩的另一端分別固定在O1、O2處的傳感器上．現(xiàn)讓整個裝置圍繞豎直桿以恒定的角速度轉動，使鐵球在水平面內做勻速圓周運動，兩段細繩始終沒有出現(xiàn)松弛現(xiàn)象，且保證O1、O2和P始終處在同一豎直面內．則( )
A．O1P的拉力的最大值為mg
B．O1P的拉力的最大值為mg
C．O2P的拉力的最小值為mg
D．O2P的拉力的最小值為0
[解析] 當轉動的角速度為零時，O1P繩的拉力與O2P繩的拉力相等，設為F1，則2F1cos30＝mg，F(xiàn)1＝mg；若O2P繩的拉力剛好等于零，此時O1P繩的拉力最大，設這時O1P繩的拉力為F2，則F2cos30＝mg，F(xiàn)2＝mg，因此O1P繩的拉力范圍為mg
時，A、B相對于轉盤會滑動
B．當ω> 時，繩子一定有彈力
C．ω在0<ω< 范圍內增大時，A所受摩擦力一直變大
D．ω在 <ω< 范圍內增大時，B所受摩擦力一直變大
[解析] A、B放在同一轉盤上，故ω相同，F(xiàn)f＝mω2r，由于rB>rA，故B所受向心力大于A所受向心力，故隨ω增大，B先有向外滑動的趨勢，此時為一個臨界狀態(tài)，繩恰好沒有拉力，對木塊B有Kmg＝mω22L，ω＝ ，那么當ω> 時，繩一定有彈力，B正確．對A、B兩木塊用整體法分析，那么整體的圓周運動半徑R＝L＋＝L，當A、B所受摩擦力不足以提供向心力時，發(fā)生滑動，整體列式有2Kmg＝2mω2L，ω＝ ，那么當ω> 時，A、B相對轉盤會滑動，A正確．當0<ω< 時，A所受靜摩擦力和拉力的合力提供向心力，隨ω增大，F(xiàn)向增大，故A所受的摩擦力增大，C正確．當 <ω< 時，B相對轉盤已有了滑動趨勢，靜摩擦力達到最大為Kmg，不變，D錯誤．
[答案] ABC
4.用一根細線一端系一可視為質點的小球，另一端固定在一光滑錐頂上，如圖所示，設小球在水平面內做勻速圓周運動的角速度為ω，線的張力為FT，F(xiàn)T隨ω2變化的圖象是下圖中的( )
[解析] 設繩長為L，錐體母線與豎直方向的夾角為θ，當ω＝0時，小球靜止，受重力mg、支持力N和線的拉力FT而平衡，F(xiàn)T≠0，故A、B錯誤；θ增大時，F(xiàn)T增大，N減小，當N＝0時，角速度為ω0.當ω<ω0時，由牛頓第二定律得FTsinθ－Ncosθ＝mω2Lsinθ，F(xiàn)Tcosθ＋Nsinθ＝mg，解得FT＝mω2Lsin2θ＋mgcosθ.當ω>ω0時，小球離開錐面，線與豎直方向夾角變大，設為β，由牛頓第二定律得FTsinβ＝mω2Lsinβ，所以FT＝mLω2，此時圖線的反向延長線經過原點．可知FT－ω2圖線的斜率變大，故C正確，D錯誤．
[答案] C
5．(多選)如圖所示，在水平轉臺上放一個質量M＝2.0 kg的木塊，它與臺面間的最大靜摩擦力Ffm＝6.0 N，繩的一端系住木塊，另一端穿過轉臺的中心孔O(為光滑的)懸吊一質量m＝1.0 kg的小球，當轉臺以ω＝5.0 rad/s的角速度轉動時，欲使木塊相對轉臺靜止，則它到O孔的距離可能是( )
A．6 cm B．15 cm C．30 cm D．34 cm
[解析] 轉臺以一定的角速度ω旋轉，木塊M所需的向心力與回旋半徑r成正比，在離O點最近處r＝r1時，M有向O點的運動趨勢，這時摩擦力Ff沿半徑向外，剛好達最大靜摩擦力Ffm，即mg－Ffm＝Mω2r1
得r1＝＝ m＝0.08 m＝8 cm
同理，M在離O點最遠處r＝r2時，有遠離O點的運動趨勢，這時摩擦力Ff的方向指向O點，且達到最大靜摩擦力Ffm，即mg＋Ffm＝Mω2r2
得r2＝＝ m＝0.32 m＝32 cm
則木塊M能夠相對轉臺靜止，回旋半徑r應滿足關系式r1≤r≤r2.選項B、C正確．
[答案] BC
6．(2017綿陽診斷)如圖所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質量均為m的球A和B，光滑水平轉軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內轉動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力．忽略空氣阻力．則球B在最高點時( )
A．球B的速度為零
B．球A的速度大小為
C．水平轉軸對桿的作用力為1.5mg
D．水平轉軸對桿的作用力為2.5mg
[解析] 球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝，故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小vA＝，故B錯誤；B球在最高點時，對桿無彈力，此時A球受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，故C正確，D錯誤．
[答案] C
7．如圖所示，輕繩的一端固定在O點，另一端系一質量為m的小球(可視為質點)．當小球在豎直平面內沿逆時針方向做圓周運動時，通過傳感器測得輕繩拉力T、輕繩與豎直線OP的夾角θ滿足關系式T＝a＋bcosθ，式中a、b為常數．若不計空氣阻力，則當地的重力加速度為( )
A. B. C. D.
[解析] 設小球在最低點，即θ＝0時的速度為v1，拉力為T1，在最高點，即θ＝180時的速度為v2，拉力為T2，在最低點有：T1－mg＝m，在最高點有：T2＋mg＝m，根據動能定理有：2mgR＝mv－mv，可得T1－T2＝6mg，對比T＝a＋bcosθ，有：T1＝a＋b，T2＝a－b，故T1－T2＝2b，即6mg＝2b，故當地重力加速度g＝.
[答案] D
8．飛輪、風扇葉片的重心都要調整到軸心上，如果重心不在軸心上，高速轉動時會對軸造成損傷，使軸彎曲甚至斷裂．細心的同學觀察到抽油煙機的鼠籠式風機葉片上，有的加了一個或幾個小鐵片(如圖所示)，其作用就是調整葉片重心到軸心．一個質量為1 kg的抽油煙機(只計風機葉片質量，其他部分質量不計)的風機葉片繞通過軸心的水平軸勻速轉動，測得葉片重心與軸心的距離為0.5 cm，已知電動機轉速為n＝2400 r/min.取g＝10 m/s2，則( )
A．當葉片重心在軸的正上方時，軸受到向下的彈力
B．當軸受到豎直向下的作用力時，作用力大小為325.5 N
C．軸受到的作用力大小不變，而方向不斷變化
D．損傷轉軸的主要因素是葉片的轉速
[解析] 風機葉片可看作是質量集中在重心的質點，當葉片重心在軸的正上方時，等效質點受到向下的合力且合力等于向心力，即F1＋mg＝mω2r，其中葉片角速度ω＝2πn，解得F1＝305.5 N，即質點受到向下的作用力，轉軸受到向上的彈力，A項錯誤；同理，當軸受到豎直向下的作用力時，質點受到向上的作用力，表明質點處于轉軸正下方，因此有F2＝mω2r＋mg，解得F2＝325.5 N，B項正確，C項錯誤；損傷轉軸的主要因素是葉片重心不在軸心上，如果重心在軸心上，則無論轉速多大，軸對葉片的作用力都等于葉片的重力，D項錯誤．
[答案] B
9.(多選)“水流星”是一種常見的雜技項目，該運動可以簡化為細繩一端系著小球在豎直平面內的圓周運動模型．已知繩長為l，重力加速度為g，則( )
A．小球運動到最低點Q時，處于失重狀態(tài)
B．小球初速度v0越大，則在P、Q兩點繩對小球的拉力差越大
C．當v0>時，小球一定能通過最高點P
D．當v0<時，細繩始終處于繃緊狀態(tài)
[解析] 小球運動到最低點Q時，由于加速度向上，故處于超重狀態(tài)，選項A錯誤；小球在最低點時：FT1－mg＝m；在最高點時：FT2＋mg＝m，其中mv－mg2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q兩點繩對小球的拉力差與初速度v0無關，選項B錯誤；當v0＝時，可求得v＝，因為小球經過最高點的最小速度為，則當v0>時小球一定能通過最高點P，選項C正確；當v0＝時，由mv＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越過與懸點等高的位置，故當v0<時，小球將在最低點位置附近來回擺動，細繩始終處于繃緊狀態(tài)，選項D正確．
[答案] CD
10．(多選)如圖所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側各有一擋板固定在地上，B不能左右運動，在環(huán)的最低點靜放有一小球C，A、B、C的質量均為m.現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時速度v，小球會在環(huán)內側做圓周運動，為保證小球能通過環(huán)的最高點，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起(不計小球與環(huán)的摩擦阻力)，瞬時速度必須滿足( )
A．最小值為 B．最大值為
C．最小值為 D．最大值為
[解析] 要保證小球能通過環(huán)的最高點，在最高點最小速度滿足mg＝m，從最低點到最高點由機械能守恒得mv＝mg2r＋mv，可得小球在最低點瞬時速度的最小值為；為了不使環(huán)在豎直方向上跳起，在最高點有最大速度時，球對環(huán)的壓力為2mg，滿足3mg＝m，從最低點到最高點由機械能守恒得mv＝mg2r＋mv，可得小球在最低點瞬時速度的最大值為.
[答案] CD
二、非選擇題
11．(2016全國卷Ⅲ)如圖，在豎直平面內有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為.一小球在A點正上方與A相距處由靜止開始自由下落，經A點沿圓弧軌道運動．
(1)求小球在B、A兩點的動能之比；
(2)通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點．
[解析] (1)設小球的質量為m，小球在A點的動能為EkA，由機械能守恒得
EkA＝mg①
設小球在B點的動能為EkB，同理有
EkB＝mg②
由①②式得＝5③
(2)若小球能沿軌道運動到C點，小球在C點所受軌道的正壓力N應滿足
N≥0④
設小球在C點的速度大小為vC，由牛頓運動定律和向心加速度公式有
N＋mg＝m⑤
由④⑤式得，vC應滿足
mg≤m⑥
由機械能守恒有
mg＝mv⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿軌道運動到C點．
[答案] (1)5∶1 (2)能，理由見解析
12．現(xiàn)有一根長L＝1 m的剛性輕繩，其一端固定于O點，另一端系著質量m＝0.5 kg的小球(可視為質點)，將小球提至O點正上方的A點處，此時繩剛好伸直且無張力，如圖所示．不計空氣阻力，g取10 m/s2，則：
(1)為保證小球能在豎直面內做完整的圓周運動，在A點至少應施加給小球多大的水平速度？
(2)在小球以速度v1＝4 m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為多少？
(3)在小球以速度v2＝1 m/s水平拋出的瞬間，繩中若有張力，求其大??；若無張力，試求繩子再次伸直時所經歷的時間．
[解析] (1)小球做圓周運動的臨界條件為在軌跡最高點時重力剛好提供物體做圓周運動的向心力，即mg＝m
解得v2＝＝ m/s
(2)因為v1>v0，故繩中有張力．根據牛頓第二定律有
FT＋mg＝m
代入數據得FT＝3 N
(3)因為v2
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