2019屆高考數(shù)學二輪復習 第一篇 專題七 概率與統(tǒng)計 第1講 概率與統(tǒng)計教案 文.doc

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第1講　概率與統(tǒng)計 1.(2018全國Ⅱ卷,文5)從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務,則選中的2人都是女同學的概率為(　D　) (A)0.6 (B)0.5 (C)0.4 (D)0.3 解析:設2名男同學為a,b,3名女同學為A,B,C,從中選出兩人的情形有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10種,而都是女同學的情形有(A,B),(A,C),(B,C),共3種,故所求概率為310=0.3.故選D. 2.(2018全國Ⅲ卷,文5)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為(　B　) (A)0.3 (B)0.4 (C)0.6 (D)0.7 解析:由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為1-0.45-0.15=0.4.故選B. 3.(2018全國Ⅰ卷,文3)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設,農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比例.得到如下餅圖: 則下面結論中不正確的是(　A　) (A)新農(nóng)村建設后,種植收入減少 (B)新農(nóng)村建設后,其他收入增加了一倍以上 (C)新農(nóng)村建設后,養(yǎng)殖收入增加了一倍 (D)新農(nóng)村建設后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半 解析:設新農(nóng)村建設前,農(nóng)村的經(jīng)濟收入為a,則新農(nóng)村建設后,農(nóng)村的經(jīng)濟收入為2a.新農(nóng)村建設前后,各項收入的對比如下表: 新農(nóng)村建設前 新農(nóng)村建設后 新農(nóng)村建設后變化情況 結論 種植收入 60%a 37%2a=74%a 增加 A錯 續(xù)表 新農(nóng)村建設前 新農(nóng)村建設后 新農(nóng)村建設后變化情況 結論 其他收入 4%a 5%2a=10%a 增加一倍以上 B對 養(yǎng)殖收入 30%a 30%2a=60%a 增加了一倍 C對 養(yǎng)殖收入 +第三產(chǎn) 業(yè)收入 (30%+6%)a =36%a (30%+28%)2a =116%a 超過經(jīng)濟收 入2a的一半 D對 故選A. 4.(2017全國Ⅰ卷,文4) 如圖,正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是(　B　) (A)14 (B)π8 (C)12 (D)π4 解析:不妨設正方形的邊長為2,則正方形的面積為4,圓的半徑為1,圓的面積為πr2=π.黑色部分的面積為圓面積的12,即為π2,所以點取自黑色部分的概率是π24=π8.故選B. 5.(2017全國Ⅲ卷,文18)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25 ℃,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20 ℃,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高 氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率; (2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率. 解:(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25 ℃,由表格數(shù)據(jù)知最高氣溫低于25 ℃的頻率為2+16+3690=0.6,所以估計這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率為0.6. (2)當這種酸奶一天的銷售量為450瓶時, 若最高氣溫不低于25 ℃,則Y=6450-4450=900, 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6300+2(450-300)-4450=300, 若最高氣溫低于20 ℃,則Y=6200+2(450-200)-4450=-100, 所以Y的所有可能值為900,300,-100. Y大于零,當且僅當最高氣溫不低于20 ℃,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20 ℃的頻率為36+25+7+490=0.8, 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 1.考查角度 古典概型、幾何概率、統(tǒng)計圖表、抽樣方法、用樣本估計概率及互斥事件、對立事件的概率. 2.題型及難易度 選擇、填空、解答題,難度中低檔. (對應學生用書第47~48頁) 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 抽樣方法 【例1】 (1)(2018長沙市名校實驗班階段性測試)一個總體由編號分別為01,02,…,29,30的30個個體組成,利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體,選取方法是從隨機數(shù)表的第1行第4列開始,由左到右依次讀取,則選出來的第6個個體的編號為　　　　. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 (2)(2018廣州市測試) 已知某區(qū)中小學學生人數(shù)如圖所示.為了解該區(qū)學生參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法來進行調查.若高中需抽取20名學生,則小學與初中共需抽取的學生人數(shù)為　　　　. 解析:(1)從第1行第4列開始,滿足要求的編號依次為20,26,24,19,23,03,所以選出來的第6個個體的編號為03. (2)設小學與初中共需抽取的學生人數(shù)為x,依題意可得1 2002 700+2 400+1 200=20x+20,解得x=85. 答案:(1)03　(2)85 (1)簡單隨機抽樣適用于總體個體數(shù)較少,具體方法有抽簽法、隨機數(shù)表法; (2)系統(tǒng)抽樣適用于總體的個體數(shù)較多,特點是等距抽樣,即所抽到的數(shù)據(jù)是以抽樣距為公差的等差數(shù)列. (3)分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾部分組成,特點是按比例,即抽樣比=樣本容量總體個數(shù)=該層樣本數(shù)該層個體數(shù). 熱點訓練1:(1)(2018全國Ⅲ卷)某公司有大量客戶,且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異.為了解客戶的評價,該公司準備進行抽樣調查,可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣,則最合適的抽樣方法是　　　　. (2)(2018南昌市摸底調研)某校高三(2)班現(xiàn)有64名學生,隨機編號為0,1,2,…,63,依編號順序平均分成8組,組號依次為1,2,3,…,8.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為8的樣本,若在第1組中隨機抽取的號碼為5,則在第6組中抽取的號碼為　　　　. 解析:(1)因為客戶數(shù)量大,且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異,所以最合適的抽樣方法是分層抽樣. (2)依題意,分組間隔為648=8,因為采用系統(tǒng)抽樣方法,且在第1組中隨機抽取的號碼為5,所以在第6組中抽取的號碼為5+58=45. 答案:(1)分層抽樣　(2)45 古典概型、幾何概型 考向1　古典概型 【例2】 (2018鄭州市二次質檢)某市舉行了一次初一學生調研考試,為了解本次考試學生的數(shù)學學科成績情況,從中抽取部分學生的分數(shù)(滿分為100分,得分取正整數(shù),抽取學生的分數(shù)均在[50,100]內)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組方法作出頻率分布直方圖,并作出了樣本分數(shù)的莖葉圖(莖葉圖中僅列出了得分在[50,60),[80,90)內的數(shù)據(jù)),如圖所示. (1)求頻率分布直方圖中的x,y的值,并估計學生分數(shù)的中位數(shù); (2)在選取的樣本中,從成績在80分以上(含80分)的學生中隨機抽取2名學生,求所抽取的2名學生中恰有一人的分數(shù)在[90,100]內的概率. 解:(1)由題意可知,樣本容量n=80.01610=50, y=55010=0.010, x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.030=0.040. 因為(0.016+0.030)10=0.46<0.5, 所以學生分數(shù)的中位數(shù)在[70,80)內. 設中位數(shù)為a分,則0.46+0.04(a-70)=0.5,得a=71, 所以估計學生分數(shù)的中位數(shù)為71分. (2)由題意可知,分數(shù)在[80,90)內的學生有5人,記這5人分別為a1,a2,a3,a4,a5,分數(shù)在[90,100]內的學生有2人,記這2人分別為b1,b2,從這7名學生中隨機抽取2名學生的所有情況有21種,分別為(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).其中2名學生中恰有一人的分數(shù)在[90,100]內的情況有10種, 故所抽取的2名學生中恰有一人的分數(shù)在[90,100]內的概率P=1021. 考向2　幾何概型 【例3】 (2018福州市質檢) 如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60,以該菱形的4個頂點為圓心的扇形的半徑都為1.若在菱形內隨機取一點,則該點取自陰影部分的概率是　　　　. 解析:依題意,菱形中空白部分的面積總和等于一個半徑為1的圓的面積,菱形ABCD的面積為22sin 60=23.所以該點落在陰影部分的概率P=1-π23=1-36π. 答案:1-36π (1)求古典概型概率的一般步驟 ①求出所有基本事件的個數(shù)n,常用的方法有列舉法、列表法、畫樹狀圖法; ②求出事件A所包含的基本事件的個數(shù)m; ③代入公式P(A)=mn求解. (2)求幾何概型概率要尋找構成試驗的全部結果所構成的區(qū)域和事件發(fā)生所構成的區(qū)域,有時需要設出變量,在坐標系中表示所需要的區(qū)域. 熱點訓練2:(1)(2018廣州市調研) 如圖,四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形,直角三角形中較小的銳角θ=π6.若向該大正方形區(qū)域內隨機投擲一點,則該點落在中間小正方形區(qū)域內的概率是(　　) (A)2-32 (B)32 (C)14 (D)12 (2)(2018石家莊市重點高中摸底)一個三位數(shù),個位、十位、百位上的數(shù)字依次為x,y,z,當且僅當y>x,y>z時,稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243),現(xiàn)從集合{1,2,3,4}中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù),則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為(　　) (A)23 (B)13 (C)16 (D)112 解析:(1)在每個直角三角形中,斜邊長為2,有一個內角為π6,所以每個直角三角形的面積S=32,所以所求概率P=4-4324=2-32.故選A. (2)從集合{1,2,3,4}中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)共有24個結果:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432,其中是“凸數(shù)”的是132,142,143,231,241,243,341,342,共8個結果,所以這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為824=13.故選B. 用樣本估計總體 【例4】 (2018山東省、湖北省部分重點中學二次質檢)某市教育局在數(shù)學競賽結束后,為了評估學生的數(shù)學素養(yǎng),特從所有參賽學生中隨機抽取1 000名學生的成績(單位:分,均為整數(shù))作為樣本進行估計,將成績進行整理后分成五組,從左到右依次記為第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、三、四、五組的頻率分別是0.30,0.15,0.10,0.05. (1)求第二組的頻率,并補全頻率分布直方圖; (2)估計這1 000名學生成績的平均數(shù)和方差; (3)若成績不低于65分的學生至少占總考生的75%就說明整體的數(shù)學素養(yǎng)優(yōu)秀,否則不優(yōu)秀,根據(jù)以上抽樣情況,判斷該市學生的數(shù)學素養(yǎng)情況. 解:(1)第二組的頻率為1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40, 補全的頻率分布直方圖如圖: (2)樣本的平均數(shù)x=54.50.30+64.50.40+74.50.15+84.50.10+94.50.05=66.5, 樣本的方差s2=(-12)20.30+(-2)20.40+820.15+1820.10+2820.05=126, 估計這1 000名學生成績的平均數(shù)為66.5分,方差為126. (3)成績不低于65分的學生所占比例估計為1-0.3-0.412=0.5=50%, 由于該估計值小于75%,故該市學生的數(shù)學素養(yǎng)不優(yōu)秀. 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征的方法 (1)用樣本估計總體時,樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似值; (2)若給出圖形,如直方圖,可分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況,大致判斷平均數(shù)的范圍,并利用數(shù)據(jù)的波動性大小反映方差(標準差)的大小. (3)根據(jù)頻率分布直方圖求樣本的平均數(shù)、方差(或標準差)、眾數(shù)時,同一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值(組中值)代表. 熱點訓練3:(2017全國Ⅲ卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務質量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖. 根據(jù)該折線圖,下列結論錯誤的是(　　) (A)月接待游客量逐月增加 (B)年接待游客量逐年增加 (C)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 (D)各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn) 解析:由題圖可知應選A. 熱點訓練4:(2018長沙市名校實驗班階段測試)某農(nóng)科所培育一種新型水稻品種,首批培育幼苗2 000株,株長均介于285 mm~335 mm,研究員從中隨機抽取100株對株長進行統(tǒng)計分析,得到如下頻率分布表. 株長/mm 頻數(shù) 頻率 [285,295) 2 0.02 [295,305) 31 a [305,315) 35 0.35 [315,325) b 0.28 [325,335] 4 0.04 合計 100 1 (1)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)寫出a,b的值; (2)求樣本的平均株長x和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替,求s2時,用x的整數(shù)部分計算); (3)水稻幼苗在進入育種試驗階段后,研究員為了進一步優(yōu)化品種,分別選取株長在[285,295)內的兩株幼苗A,B的花粉與株長在[325,335]內的三株幼苗a,b,c的花粉進行隨機雜交授粉,求A和a正好雜交授粉的概率. 解:(1)a=31100=0.31, b=1000.28=28. (2)x=2900.02+3000.31+3100.35+3200.28+3300.04=310.1(mm), s2=2020.02+1020.31+1020.28+2020.04=83. (3)由題意知幼苗A,B的花粉與幼苗a,b,c的花粉進行雜交的所有可能情況為Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,共6種, 所以A和a正好雜交授粉的概率為16. 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 【例1】 (2018鄭州市質量預測) 我市某高中從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學生參加2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(河南初賽),他們取得的成績(滿分100分)的莖葉圖如圖所示,其中甲班學生成績的中位數(shù)是81,乙班學生成績的平均數(shù)是86.若正實數(shù)a,b滿足a,G,b成等差數(shù)列且x,G,y成等比數(shù)列,則1a+4b的最小值為(　　) (A)49 (B)2 (C)94 (D)9 解析:由甲班學生成績的中位數(shù)是81,可知81為甲班7名學生的成績按從小到大的順序排列的第4個數(shù),故x=1.由乙班學生成績的平均數(shù)為86,可得(-10)+(-6)+(-4)+(y-6)+5+7+10=0,解得y=4.由x,G,y成等比數(shù)列,可得G2=xy=4,由正實數(shù)a,b滿足a,G,b成等差數(shù)列,可得G=2,a+b=2G=4,所以1a+4b=1a+4ba4+b4=141+ba+4ab+4≥14(5+4)=94(當且僅當b=2a時取等號).故1a+4b的最小值為94.故選C. 【例2】 (2018惠州市調研)某大學生在開學季準備銷售一種文具盒進行試創(chuàng)業(yè),在一個開學季內,每售出1盒該產(chǎn)品獲得利潤30元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損10元.根據(jù)歷史資料,得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學為這個開學季購進了160盒該產(chǎn)品,以x(單位:盒,100≤x≤200)表示這個開學季內的市場需求量,y(單位:元)表示這個開學季內經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤. (1)根據(jù)直方圖估計這個開學季內市場需求量x的眾數(shù)和平均數(shù); (2)將y表示為x的函數(shù); (3)根據(jù)直方圖估計利潤y不少于4 000元的概率. 解:(1)由頻率分布直方圖得,這個開學季內市場需求量x的眾數(shù)是150盒, 需求量在[100,120)內的頻率為0.005 020=0.1, 需求量在[120,140)內的頻率為0.010 020=0.2, 需求量在[140,160)內的頻率為0.015 020=0.3, 需求量在[160,180)內的頻率為0.012 520=0.25, 需求量在[180,200]內的頻率為0.007 520=0.15, 則平均數(shù)x=1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153(盒). (2)因為每售出1盒該產(chǎn)品獲得利潤30元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損10元, 所以當100≤x<160時,y=30x-10(160-x)=40x-1 600, 當160≤x≤200時,y=16030=4 800, 所以y=40x-1 600,100≤x<160,4 800,160≤x≤200. (3)因為利潤y不少于4 000元,所以當100≤x<160時,由40x-1 600≥4 000,解得160>x≥140. 當160≤x≤200時,y=4 800>4 000恒成立,所以200≥x≥140時,利潤y不少于4 000元. 所以由(1)知利潤y不少于4 000元的概率P=1-0.1-0.2=0.7. 【例3】 (2018廣州市二次綜合測試)A藥店計劃從甲、乙兩家藥廠選擇一家購買100件某種中藥材,為此A藥店從這兩家藥廠提供的100件該種中藥材中各隨機抽取10件,以抽取的10件中藥材的質量(單位:克)作為樣本,樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.已知A藥店根據(jù)中藥材的質量的穩(wěn)定性選擇藥廠. (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),A藥店應選擇哪家藥廠購買中藥材?(不必說明理由) (2)若將抽取的樣本分布近似看成總體分布,藥店與所選藥廠商定中藥材的購買價格如下表: 每件中藥材的質量n/克 購買價格/(元/件) n<15 50 15≤n≤20 a n>20 100 (i)估計A藥店所購買的100件中藥材的總質量; (ii)若A藥店所購買的100件中藥材的總費用不超過7 000元,求a的最大值. 解:(1)A藥店應選擇乙藥廠購買中藥材. (2)(i)從乙藥廠所抽取的10件中藥材的質量的平均值為 x=110(7+9+11+12+12+17+18+21+21+22)=15(克), 故A藥店所購買的100件中藥材的總質量的估計值為10015=1 500(克). (ii)由題知乙藥廠所提供的每件中藥材的質量n<15的概率為510=0.5,15≤n≤20的概率為210=0.2,n>20的概率為310=0.3,則A藥店所購買的100件中藥材的總費用為100(500.5+0.2a+1000.3). 依題意得100(500.5+0.2a+1000.3)≤7 000, 解得a≤75, 所以a的最大值為75. (對應學生用書第49頁) 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 【典例】 (2018全國Ⅰ卷,文19)(12分)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下: 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 [0, 0.1) [0.1, 0.2) [0.2, 0.3) [0.3, 0.4) [0.4, 0.5) [0.5, 0.6) [0.6, 0.7) 頻數(shù) 1 3 2 4 9 26 5 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 [0, 0.1) [0.1, 0.2) [0.2, 0.3) [0.3, 0.4) [0.4, 0.5) [0.5, 0.6) 頻數(shù) 1 5 13 10 16 5 (1)在圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖; (2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率; (3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表) 評分細則: 解:(1)如圖所示. …4分 (2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35 m3的頻率為 0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48,6分 因此該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率的估計值為0.48.7分 (3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為 x1=150(0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655)=0.48.9分 該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為 x2=150(0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555)=0.35.11分 估計使用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)省水(0.48-0.35)365=47.45(m3).12分 注:第(1)問得分說明:正確作出頻率分布直方圖,得4分;第(2)問得分說明:①計算出頻率得2分,②由頻率估計出概率,得1分,第(3)問得分說明:①計算出使用節(jié)水龍頭前、后50天日用水量的平均數(shù),各得2分,②計算出一年節(jié)省水量,得1分. 【答題啟示】 (1)頻率分布直方圖的長方形的高度為頻率組距的值,本題常把高度與頻率混淆而失分. (2)頻率公式:頻率=頻數(shù)樣本容量=頻率組距組距(即頻率分布直方圖小矩形的面積). (3)用樣本頻率估計概率.本題常只計算出頻率,而忽視說明用頻率值估計概率值,而失分.