（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專題分層練中高檔題得高分 第18練 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)試題.docx

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第18練　圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) [明晰考情]　1.命題角度：圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)，每年必考，小題中考查圓錐曲線的定義、方程、離心率等.2.題目難度：中檔難度或偏難． 考點(diǎn)一　圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 方法技巧　(1)橢圓和雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離可以相互轉(zhuǎn)化，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離． (2)求圓錐曲線方程的常用方法：定義法、待定系數(shù)法． 1．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是(　　) A．y2－＝1 B．x2－＝1 C．y2－＝1(y≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 答案　C 解析　由兩點(diǎn)間距離公式，可得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，因?yàn)锳，B都在橢圓上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支．由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以點(diǎn)F的軌跡方程是y2－＝1(y≤－1)，故選C. 2．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1 答案　B 解析　由e＝知a＝b，且c＝a.∴雙曲線漸近線方程為y＝x. 又kPF＝＝＝1，∴c＝4，則a2＝b2＝＝8. 故雙曲線方程為－＝1. 3．已知橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在該橢圓上，若|PF1|－|PF2|＝2，則△PF1F2的面積是________． 答案　 解析　由橢圓的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2， 所以|PF1|＝3，|PF2|＝1. 又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2為直角三角形，且∠PF2F1為直角， 所以＝|F1F2||PF2|＝21＝. 4．已知拋物線y＝x2，A，B是該拋物線上兩點(diǎn)，且|AB|＝24，則線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為________． 答案　8 解析　由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝16y， 焦點(diǎn)F(0,4)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由|AB|≤|AF|＋|BF|＝(y1＋4)＋(y2＋4)＝y(tǒng)1＋y2＋8， ∴y1＋y2≥16，則線段AB的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y＝≥8， ∴線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8. 考點(diǎn)二　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 要點(diǎn)重組　在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝； 在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝　. 5．(2018全國Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 答案　A 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為bxay＝0. 又∵離心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0)． ∴漸近線方程為axay＝0，即y＝x. 故選A. 6．(2018全國Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　) A.B．2C.D. 答案　C 解析　如圖，過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P′，連接P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形． 因?yàn)閨F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a， 所以|F2P|＝a＝b， 所以c＝＝a，所以e＝＝. 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為______． 答案　y＝x 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4，即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 8．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60，則C的離心率為________． 答案　 解析　如圖，由題意知點(diǎn)A(a，0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0， ∴點(diǎn)A到l的距離d＝. 又∠MAN＝60，|MA|＝|NA|＝b， ∴△MAN為等邊三角形， ∴d＝|MA|＝b，即＝b，∴a2＝3b2， ∴e＝＝＝. 考點(diǎn)三　圓錐曲線的綜合問題 方法技巧　(1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法 定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法；目標(biāo)函數(shù)法；條件不等式法． (2)圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題可以利用特例法尋求突破，然后對(duì)一般情況進(jìn)行證明． 9．如圖，點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓C1的左、右焦點(diǎn)，橢圓C1與雙曲線C2的漸近線交于點(diǎn)P，PF1⊥PF2，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，則(　　) A．e＝ B．e＝ C．e＝ D．e＝ 答案　D 解析　設(shè)橢圓C1的方程為＋＝1， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由圖知x0＞0，y0＞0， 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C1上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a.① 又因?yàn)镻F1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，② 在Rt△PF1F2中，易得|PF1||PF2|＝2cy0，③ 聯(lián)立①②③，得y0＝， 代入橢圓方程，得x0＝. 因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的漸近線上， 所以雙曲線的漸近線的斜率k＝＝＝＝， 又在雙曲線中易得其漸近線的斜率k＝， 所以＝， 化簡(jiǎn)得e＝，故選D. 10．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(　　) A. B. C. D．1 答案　C 解析　如圖， 由題意可知F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然， 當(dāng)y0<0時(shí)，kOM<0； 當(dāng)y0>0時(shí)，kOM>0. 要求kOM的最大值，不妨設(shè)y0>0， 則＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝＋ ＝， kOM＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝2p2時(shí)等號(hào)成立．故選C. 11．過拋物線y＝ax2 (a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AF，BF的長分別為m，n，則＝________. 答案　 解析　顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立，消去y得ax2－kx－＝0， 設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1＋x2＝，x1x2＝－， x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋，∴mn＝，m＋n＝，∴＝. 12．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且△F1AB的面積為，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則＋的取值范圍為________． 答案　[1，4] 解析　由已知得2b＝2，故b＝1， ∵△F1AB的面積為， ∴(a－c)b＝， ∴a－c＝2－， 又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1， ∴a＝2，c＝， ∴＋＝ ＝＝， 又2－≤|PF1|≤2＋， ∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4， ∴1≤＋≤4， 即＋的取值范圍為[1，4]. 1．若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為(　　) A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞) C. D. 答案　B 解析　由題意，得22＝a2＋1，即a＝， 設(shè)P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)， 則＝(x＋2)x＋y2 ＝x2＋2x＋－1＝2－， 因?yàn)閤≥，所以的取值范圍為[3＋2，＋∞)． 2．若橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為，則橢圓的方程為________________． 答案?。?或＋＝1 解析　由題意，得所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的方程為＋＝1； 當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 3．已知A(1,2)，B(－1,2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足⊥.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是________． 答案　(1,2) 解析　設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件， 得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓． 又雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，即bxay＝0， 由題意，可得>1，即>1， 所以e＝<2， 又e>1，故10，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由y＝x，可得＝.① 由橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1. 故選B. 3．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，|PQ|＝10，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝4xB．y2＝2xC．y2＝8xD．y2＝6x 答案　C 解析　設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由拋物線的定義可知， |PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋＋x2＋ ＝(x1＋x2)＋p， ∵線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3， 又|PQ|＝10， ∴10＝6＋p，可得p＝4， ∴拋物線的方程為y2＝8x. 4．已知橢圓C1：＋y2＝1(m＞1)與雙曲線C2：－y2＝1(n＞0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則(　　) A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1 答案　A 解析　由題意可得m2－1＝n2＋1， 即m2＝n2＋2， ∵m＞0，n＞0，故m＞n. 又∵ee＝＝ ＝＝1＋＞1， ∴e1e2＞1. 5．已知雙曲線Γ：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為l，圓C：(x－a)2＋y2＝8與l交于A，B兩點(diǎn)，若△ABC是等腰直角三角形，且＝5(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線Γ的離心率為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓(x－a)2＋y2＝8的圓心為(a,0)，半徑r＝2，由于∠ACB＝，由勾股定理得|AB|＝＝4，故|OA|＝|AB|＝1.在△OAC，△OBC中，由余弦定理得cos∠BOC＝＝，解得a2＝13.由圓心到直線y＝x的距離為2，得＝2，結(jié)合c2＝a2＋b2，解得c＝，故離心率為＝＝. 6．(2018天津)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　C 解析　如圖，不妨設(shè)A在B的上方， 則A，B. 其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝. ∴雙曲線的方程為－＝1. 故選C. 7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　設(shè)M(－c，m)(m≠0)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線， 所以＝，a＝3c，所以e＝. 8．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1||PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為(　　) A.B.C.D．3 答案　B 解析　不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2. 根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a， 又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝. 又r1r2＝ab，所以＝ab，解得＝(負(fù)值舍去)，故e＝＝＝＝，故選B. 9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________． 答案　15 解析　因?yàn)樵跈E圓＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3，得焦點(diǎn)為F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．根據(jù)橢圓的定義，得|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|)． 因?yàn)閨PM|－|PF2|≤|MF2|，當(dāng)且僅當(dāng)P在MF2的延長線上時(shí)等號(hào)成立， 此時(shí)|PM|＋|PF1|的最大值為10＋5＝15. 10．已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________. 答案　6 解析　如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6. 11．已知拋物線y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)M(1，t)(t>0)到焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線－＝1(a>0)的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值為________． 答案　3 解析　由題意知1＋＝5，∴p＝8.∴M(1,4)， 由于雙曲線的左頂點(diǎn)A(－a，0)， 且直線AM平行于雙曲線的一條漸近線， ∴＝，則a＝3. 12．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若M是線段PF1上一點(diǎn)，且滿足＝2，＝0，則橢圓C的離心率的取值范圍為________． 答案　 解析　設(shè)P(x，y)(y≠0)，取MF1的中點(diǎn)N， 由＝2知，＝， 解得點(diǎn)N， 又＝0， 所以⊥， 連接ON，由三角形的中位線可知⊥， 即(x，y)＝0， 整理得(x－c)2＋y2＝c2(y≠0)， 所以點(diǎn)P的軌跡為以(c，0)為圓心，c為半徑的圓(去除兩點(diǎn)(0,0)，(2c，0))，要使得圓與橢圓有公共點(diǎn)，則 a－c＜c，所以e＝＞，又0

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