（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 第二講 解題的指導思想—化歸尋舊講義 理.doc

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第二講解題的指導思想——化歸尋舊 在數(shù)學習題的解答過程中，除了第一講中對信息加工的實踐操作活動外，更重要的是大腦加工信息的思維活動，它的規(guī)律就是化歸尋舊思想．“尋”即“尋找”“聯(lián)系”之意；“舊”指現(xiàn)有的知識經(jīng)驗．也就是說信息加工的思維活動規(guī)律就是尋找問題的信息與現(xiàn)有的知識經(jīng)驗之間的聯(lián)系，為加工信息的實踐操作活動指明方向，即為化歸活動確定方向．常見的化歸尋舊方法有以下幾種： 一、求同求異，尋舊之規(guī)律 (一)求同尋舊 求同尋舊就是習題解答過程中人的思維活動總是表現(xiàn)為尋找習題信息與已知的某項知識經(jīng)驗的共性．特別是尋找問題信息與已知的某個公式、某個定理或某個曾經(jīng)解決過的問題等在表達形式上或內(nèi)容上的共同點． 解題者在感知問題的信息時，眼睛如照相機一樣將習題所呈現(xiàn)的信息符號拍攝下來，這些符號通過視覺神經(jīng)傳輸?shù)酱竽X，大腦對信息符號進行識別、分類，然后尋找信息符號在認知結(jié)構(gòu)中的聯(lián)絡(luò)點，聯(lián)絡(luò)點一經(jīng)找到，就說明習題信息與認知結(jié)構(gòu)中的某項知識經(jīng)驗存在一定的聯(lián)系． [例1]　已知＝＝，求證：sin θ＝. [求同尋舊]　由于條件和結(jié)論都是三角等式，而結(jié)論信息是不含角2φ的三角等式，根據(jù)認知經(jīng)驗“條件中含有2φ的三角函數(shù)，而結(jié)論是不含2φ的三角函數(shù)，說明應(yīng)當對條件信息進行加工處理，消去2φ”．為了消去2φ的三角函數(shù)，聯(lián)系到熟悉結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗sin22φ＋cos22φ＝1，就會產(chǎn)生“先解出sin 2φ，cos 2φ，然后平方消去參數(shù)2φ”這一化歸方案． [證明]　因為＝， 所以2asin 2φ＝.① 因為＝， 所以2acos 2φ＝－(1＋a2)．② 由①2＋②2再化簡得2(a2＋1)(a2－1)sin θ＝2(a2－1)2. 因為a2－1≠0，所以sin θ＝. [反思歸納]　此題通過求同尋舊提出了消去角2φ的解題思路，顯然，解題的假設(shè)方案和化歸方案都是尋舊思想對大腦作用的產(chǎn)物． (二)求異尋舊 求異尋舊就是習題解答過程中人的思維活動總是表現(xiàn)為尋找問題信息與認知結(jié)構(gòu)中的某項知識經(jīng)驗的特征差異，以便化異為同，促使習題信息與認知結(jié)構(gòu)的“網(wǎng)點”順利“鏈接”． 求同尋舊與求異尋舊在解題過程中總是結(jié)伴而行．一般來說，兩個事物總是存在著區(qū)別和聯(lián)系，相同之外有不同，不同之中有相同，沒有完全相同和完全不同的兩件事物．尋舊就是尋找習題信息與認知結(jié)構(gòu)中知識經(jīng)驗的聯(lián)系和區(qū)別，特別要善于在不同之中找到一點共性，在相似之間發(fā)現(xiàn)其中的差異．求同尋舊旨在尋找聯(lián)系，從而為處理信息或問題解決提出假設(shè)方案；求異尋舊旨在發(fā)現(xiàn)差異，從而為信息加工指明方向，所以求同求異是不可分的． [例2]　如果方程組只有一組解，則實數(shù)k的值為________． [求同尋舊]　由于我們認知結(jié)構(gòu)中有這樣一項經(jīng)驗——一元二次方程根的存在及判定，而這個問題不是一元二次方程，它是求方程組的一組解．二者存在的共性都是與求解相關(guān)的問題． [求異尋舊]　認知經(jīng)驗是“一元二次方程”，而此問題是“二元二次對數(shù)方程組”，二者在元的個數(shù)和方程的個數(shù)上存在著差異，這就要求我們對原方程組進行“消元”處理，化異為同，即??2(log3x)2－2log3klog3x＋(log3k)2－2＝0.① [求異尋舊]　認知經(jīng)驗中的熟悉結(jié)構(gòu)是“一元二次方程”，而方程①是“對數(shù)方程”，二者在方程形式上存在著差異，這就要求我們對方程①進行“換元”處理，化異為同． [解析]　因為log3x∈R，設(shè)log3x＝t(t∈R)， 方程①化為2t2－2tlog3k＋(log3k)2－2＝0.② 要使原方程組只有一組解， 只需方程②只有一個根即可． 所以Δ＝4(log3k)2－8(log3k)2＋16＝0 ?k＝9或k＝. [答案]　9或 [反思領(lǐng)悟]　此題通過求異尋舊找到了“二元二次對數(shù)方程組只有一組解”與“一元二次方程只有一個根”的差異，提出了“消元”的解題思路，得到了①.又通過求異尋舊找到了“對數(shù)方程”與“一元二次方程”的差異，提出了“換元”的解題思路，得到了熟悉的方程②.顯然，解題的假設(shè)方案和化歸方案都是尋舊思想對大腦作用的產(chǎn)物． 二、上游下游，尋舊之方向 對于兩項信息A，B，如果A是B的充分條件，我們稱A是B的上游信息，B是A的下游信息．我們稱從上游信息向下游信息聯(lián)想的思維活動為順推尋舊，從下游信息向上游信息聯(lián)想的思維活動為逆推尋舊． (一)下游順推信息法 就是針對一項信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)中的某條線進行順推，順推得到的新信息是上一步信息的必要條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為下游順推信息法，如圖所示． ―→―→―→ [例3]　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x，若存在實數(shù)t，使不等式f(x＋t)≤x－1對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　這個習題呈現(xiàn)的信息有2項：①存在實數(shù)t，使不等式f(x＋t)≤x－1對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立；②求實數(shù)m的取值范圍． 此題信息②很清晰，而信息①雖然是一個不等式恒成立問題，但不等式的結(jié)構(gòu)是隱性的，不直觀、不清晰，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(即尋舊)，首先對信息①進行加工處理，使信息①清晰，這樣便于尋找與熟悉結(jié)構(gòu)的聯(lián)系． 將信息①進行下游順推轉(zhuǎn)化為①1：“存在實數(shù)t，使不等式(x＋t＋1)2≤x對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①的充要條件； 將信息①1進行下游順推轉(zhuǎn)化為①2：“存在實數(shù)t，使不等式|x＋t＋1|≤對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①1的充要條件； 將信息①2進行下游順推轉(zhuǎn)化為①3：“存在實數(shù)t，使不等式對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①2的充要條件； 將信息①3進行下游順推轉(zhuǎn)化為①4：“存在實數(shù)t，使不等式成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①3的充要條件； 將信息①4進行下游順推轉(zhuǎn)化為①5：“不等式m－＋1≤3”，即轉(zhuǎn)化為信息①4的必要條件； 將信息①5進行下游順推轉(zhuǎn)化為①6：“1＜m≤4”，即轉(zhuǎn)化為信息①5的充要條件． 由此可見，此題的解答過程就是信息①的下游順推轉(zhuǎn)化過程，一次次將信息①向下游轉(zhuǎn)化為它的充要條件，建立一條從信息①到信息②的解題通道． [例4]　已知a>0，b>0，a＋＝4，求＋的最小值． [解]　這個習題呈現(xiàn)的信息有3項：①a>0，b>0；②a，b之間的關(guān)系式為a＋＝4；③求＋的最小值． 此題兩個變量之間存在聯(lián)系，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(即尋舊)，一個自變量的問題是函數(shù)問題，求函數(shù)最小值有導數(shù)這個通法．此題如果能消去一個自變量，就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題．于是可以采取以下兩種消元處理信息的方法． 轉(zhuǎn)化為信息②的充要條件；將信息③轉(zhuǎn)化為求＋的最小值，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為信息③的充要條件；此時，問題結(jié)論信息轉(zhuǎn)化為“已知0＜b＜2，求F(b)＝＋的最小值”，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為結(jié)論信息的充要條件． 由題意知a＝4－(0＜b＜2)， 令F(b)＝＋＝＋. 因為F′(b)＝－ ＝. 顯然，f(b)＝4－和g(b)＝在(0,2)上單調(diào)遞減且恒正． 所以u(b)＝3b2－(4－)2在(0,2)上單調(diào)遞增． 列表如下： b (0,1) 1 (1,2) u(b) － 0 ＋ F′(b) － 0 ＋ 所以F(b)min＝F(1)＝4，即＋的最小值為4. (二)上游逆推信息法 就是針對一項信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)的某條線進行逆推，即要得到信息A，只需要信息B.逆推得到的新信息都是上一步信息的充分條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為上游逆推信息法，如圖所示． ―→―→―→ [例5]　已知an＝2n－1，求證：＋＋…＋>－. [證明]　這個習題呈現(xiàn)的信息有2項：①an＝2n－1；②求證＋＋…＋>－. 信息②是一個不等式，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(即尋舊)，由于兩邊都是關(guān)于n的代數(shù)式，兩邊都是遞增的，容易想到放縮法．于是可以采取以下信息處理法． 由＝＝－，將信息②進行下游順推轉(zhuǎn)化為信息②1：求證＜，即轉(zhuǎn)化為信息②的充要條件； 聯(lián)想一個公比為的等比數(shù)列，即＝＜，將信息②1進行上游逆推轉(zhuǎn)化為②2：求證≤，即轉(zhuǎn)化為信息②1的充分條件； 將信息②2進行上游逆推轉(zhuǎn)化為②3：求證≤，即轉(zhuǎn)化為信息②2的充分條件； 將信息②3向下順推轉(zhuǎn)化為②4：求證2n≥2(顯然成立)，即轉(zhuǎn)化為信息②3的充要條件． [反思領(lǐng)悟]　顯然，此題的解答過程就是對信息②進行下游順推信息和上游逆推信息相結(jié)合的過程，特別是將信息②1向上逆推轉(zhuǎn)化為②2是解答此題的關(guān)鍵，這就是常說的“加強命題證明不等式”． 數(shù)學習題解答過程的思維規(guī)律是尋舊，究竟如何尋舊？就是尋找問題信息和熟悉結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系．就是將問題的某項信息進行下游順推或上游逆推，以此尋找新信息．顯然，下游順推信息法和上游逆推信息法既是尋舊思維活動的兩種方向，也是數(shù)學習題解答的基本方法． 值得一提的是：對問題的某些信息進行尋舊時，不是一次或幾次進行下游順推信息或上游逆推信息，可能是下游順推信息和上游逆推信息多次交互結(jié)合進行．一次次得到的新信息可能就是認知結(jié)構(gòu)中某一條線上的知識點，特別是難度較大的數(shù)學習題，也可能是多條線上的公共知識點．