（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第三篇 滲透數(shù)學(xué)思想提升學(xué)科素養(yǎng)（二）分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想試題.docx

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2分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想 一、概念、定理分類整合 概念、定理分類整合即利用數(shù)學(xué)中的基本概念、定理對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，如絕對(duì)值的定義、不等式的轉(zhuǎn)化、等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式等，然后分別對(duì)每類問題進(jìn)行解決．解決此問題可以分解為三個(gè)步驟：分類轉(zhuǎn)化、依次求解、匯總結(jié)論．匯總結(jié)論就是對(duì)分類討論的結(jié)果進(jìn)行整合． 1．若一條直線過點(diǎn)(5,2)，且在x軸，y軸上截距相等，則這條直線的方程為(　　) A．x＋y－7＝0 B．2x－5y＝0 C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0 D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0 答案　C 解析　設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當(dāng)a＝0時(shí)，直線過原點(diǎn)，此時(shí)直線方程為y＝x，即2x－5y＝0；當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)直線方程為＋＝1，求得a＝7，則直線方程為x＋y－7＝0. 2．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an－2，則S5－S4的值為(　　) A．8 B．10 C．16 D．32 答案　D 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2. 因?yàn)镾n＝2an－2， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－2， 兩式相減得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 則數(shù)列{an}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則S5－S4＝a5＝25＝32. 3．已知集合A＝，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，則所有符合條件的實(shí)數(shù)m組成的集合是(　　) A．{0，－1,2} B. C．{－1,2} D. 答案　A 解析　因?yàn)锳∩B＝B，所以B?A.若B為?，則m＝0； 若B≠?，則－m－1＝0或m－1＝0，解得m＝－1或2.綜上，m∈{0，－1,2}．故選A. 4．已知函數(shù)f(x)＝x|x－a|－a，a∈R，若對(duì)任意x∈[3,5]，f(x)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　∪ 解析　因?yàn)閷?duì)任意x∈[3,5]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0. 當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意x∈[3,5]，f(x)＝x|x－a|－a≥0恒成立； 當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝易知f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在[a，＋∞)上單調(diào)遞增． 當(dāng)05時(shí)，f(x)min＝min{3(a－3)－a，5(a－5)－a}≥0， 解得a≥，所以a≥.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪. 二、圖形位置、形狀分類整合 圖形位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論，這種方法適用于幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的研究以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 5．已知正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為(　　) A. B．4 C. D．4或 答案　D 解析　當(dāng)6是下底面周長，4是三棱柱的高時(shí)， 體積V＝24＝4； 當(dāng)4是下底面周長，6是三棱柱的高時(shí)， 體積V＝6＝. 6．已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k等于(　　) A．－ B. C．0 D．0或－ 答案　D 解析　不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，由圖可知，若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有當(dāng)直線y＝kx＋1與直線x＝0或y＝2x垂直時(shí)才滿足． 結(jié)合圖形可知斜率k的值為0或－. 7．已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為______． 答案　y＝x或y＝x 解析　由e＝＝， 得＝＝，則a2＝3b2. 若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，則漸近線方程為y＝x. 若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，則漸近線方程為y＝x. 8．拋物線y2＝4px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________． 答案　4 解析　當(dāng)|PO|＝|PF|時(shí)，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)；當(dāng)|OP|＝|OF|時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)；對(duì)|FO|＝|FP|的情形，點(diǎn)P不存在．事實(shí)上，F(xiàn)(p，0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|＝p，|FP|＝， 若＝p，則有x2－2px＋y2＝0， 又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p， 當(dāng)x＝0時(shí)，不構(gòu)成三角形．當(dāng)x＝－2p(p>0)時(shí)，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾． ∴符合要求的點(diǎn)P有4個(gè)． 三、含參問題分類整合 某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.解決這類問題要根據(jù)解決問題需要合理確定分類標(biāo)準(zhǔn)，討論中做到不重不漏，結(jié)論整合要周全. 9．已知實(shí)數(shù)a，x，a>0且a≠1，則“ax>1”的充要條件為(　　) A．01，x>0 C．(a－1)x>0 D．x≠0 答案　C 解析　由ax>1知，ax>a0，當(dāng)01時(shí)，x>0.故“ax>1”的充要條件為“(a－1)x>0”． 10．若函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 答案　B 解析　方法一　當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝4x－3在[0,2]上為增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，其對(duì)稱軸為x＝－. 當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上為增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 當(dāng)a<0時(shí)，只有當(dāng)－≥2，即－1≤a<0時(shí)，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上為增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 綜上，當(dāng)a≥－1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．故選B. 方法二　由f(x)＝ax2＋4x－3，得f′(x)＝2ax＋4， 要使函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)， 需使f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上為增函數(shù)，則f′(x)＝2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立， 當(dāng)x＝0時(shí)成立，當(dāng)x≠0時(shí)，由x∈(0,2]，得a≥－， 因?yàn)椋?0,2]上的最大值為－1，所以a≥－1. 綜上，當(dāng)a≥－1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．故選B. 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(7，＋∞) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(7，＋∞) 答案　A 解析　由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的圖象恒過點(diǎn)(2,0)，故當(dāng)a>6時(shí)，作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象如圖1所示，當(dāng)a<－2時(shí)，作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象如圖2所示． 由函數(shù)的圖象知，當(dāng)a>6時(shí)，若g(x0)<0，則x0<2， ∴要使f(x0)<0，則需解得a>7. 當(dāng)a<－2時(shí)，若g(x0)<0，則x0>2，此時(shí)函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a＋3的圖象的對(duì)稱軸x＝<－1， 故函數(shù)f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)， 又f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立． 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(7，＋∞)． 一、特殊與一般的轉(zhuǎn)化 一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單，也可以通過一般問題的特殊情形找到一般思路；特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問題的效果；對(duì)于某些選擇題、填空題，可以把題中變化的量用特殊值代替，得到問題答案或者思路. 1．據(jù)統(tǒng)計(jì)某超市兩種蔬菜A，B連續(xù)n天價(jià)格分別為a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M＝{m|am＜bm，m＝1,2，…，n}，若M中元素個(gè)數(shù)大于n，則稱蔬菜A在這n天的價(jià)格低于蔬菜B的價(jià)格，記作：A＜B，現(xiàn)有三種蔬菜A，B，C，下列說法正確的是(　　) A．若A＜B，B＜C，則A＜C B．若A＜B，B＜C同時(shí)不成立，則A＜C不成立 C．A＜B，B＜A可同時(shí)不成立 D．A＜B，B＜A可同時(shí)成立 答案　C 解析　特例法：例如蔬菜A連續(xù)10天價(jià)格分別為1,2,3,4，…，10，蔬菜B連續(xù)10天價(jià)格分別為10,9，…，1時(shí)，A＜B，B＜A同時(shí)不成立，故選C. 2．過拋物線y＝ax2(a>0)的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)．若線段PF與FQ的長度分別為p，q，則＋等于(　　) A．2aB.C．4aD. 答案　C 解析　拋物線y＝ax2(a>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)(a>0)，焦點(diǎn)F. 過焦點(diǎn)F作直線垂直于y軸，則|PF|＝|QF|＝， ∴＋＝4a. 3．已知函數(shù)f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1,1]上的最小值為－3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B．[12，＋∞)　C．[－1,12]D. 答案　D 解析　當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－3x，x∈[－1,1]，顯然滿足條件，故排除A，B； 當(dāng)a＝－時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3－x，f′(x)＝x2－＝(x2－1)， 當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1,1]上為減函數(shù)， 所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，滿足條件，故排除C. 綜上，選D. 4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則＝________. 答案　 解析　令a＝b＝c，則△ABC為等邊三角形，且cosA＝cosC＝，代入所求式子，得＝＝. 二、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化 將題目已知條件或結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使深?yuàn)W的問題淺顯化、繁雜的問題簡單化，讓題目得以解決.一般包括數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，正與反的轉(zhuǎn)化，常量與變量的轉(zhuǎn)化，圖形形體及位置的轉(zhuǎn)化. 5．若對(duì)于任意t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2－2x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　 解析　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)，則①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t，3)上恒成立，∵函數(shù)y＝－3x在(t，3)上為減函數(shù)，∴m＋4≥－3t恒成立，則m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤－3x在x∈(t，3)上恒成立，∵函數(shù)y＝－3x在(t，3)上為減函數(shù)，則m＋4≤－9，即m≤－.∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)時(shí)m的取值范圍為. 6.如圖所示，已知三棱錐P－ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，則三棱錐P－ABC的體積為(　　) A．40B．80　C．160D．240 答案　C 解析　因?yàn)槿忮FP－ABC的三組對(duì)棱兩兩相等，則可將此三棱錐放在一個(gè)特定的長方體中(如圖所示)，把三棱錐P－ABC補(bǔ)成一個(gè)長方體AEBG－FPDC， 可知三棱錐P－ABC的各棱分別是此長方體的面對(duì)角線． 不妨令PE＝x，EB＝y(tǒng)，EA＝z， 則由已知，可得解得 從而知VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB＝6810－46810＝160. 7．對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范圍是________________． 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析　設(shè)f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3， 則當(dāng)x＝1時(shí)，f(p)＝0，所以x≠1. f(p)在[0,4]上恒為正等價(jià)于 即解得x>3或x<－1. 8．如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范圍是________． 答案　 解析　設(shè)k＝，則y表示點(diǎn)P(1，－3)和圓(x－2)2＋y2＝1上的點(diǎn)的連線的斜率(如圖)．從圖中可知，當(dāng)過P的直線與圓相切時(shí)斜率取最值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線斜率分別為kPB和kPA，其中kPB不存在．由圓心C(2,0)到直線y＝kx－(k＋3)的距離＝r＝1，解得k＝，所以的取值范圍是. 三、 函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化 函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的協(xié)作. 9．已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍為________． 答案　(－1,3) 解析　∵f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0， ∴不等式f(x－1)>0等價(jià)于f(|x－1|)>f(2)， 即|x－1|<2，則－1a4a5 B．a(chǎn)1a8a4＋a5 D．a(chǎn)1a8＝a4a5 答案　B 解析　取特殊數(shù)列1,2,3,4,5,6,7,8，顯然只有18<45成立，即a1a80，則y′＝lnx＋1， 令lnx＋1＝0，解得x＝，當(dāng)x∈時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞時(shí)，y′>0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝時(shí)，y＝xlnx有最小值－，即－<－m<0，即0f(－2)的解集為(　　) A．[－，－1] B．[－，] C．[－，－1)∪(1，] D．(－，－1)∪(1，) 答案　C 解析　因?yàn)閒(－x)＝－x(e－x－ex)－cos(－x)＝x(ex－e－x)－cosx＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，令g(x)＝x，易知g(x)在[0,3]上為增函數(shù)，令h(x)＝－cosx，易知h(x)在[0,3]上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝x(ex－e－x)－cosx在[0,3]上為增函數(shù)，所以f(x2＋1)>f(－2)可變形為f(x2＋1)>f(2)，所以2f(－2)的解集為[－，－1)∪(1，]． 9．在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________. 答案　或6 解析　當(dāng)q＝1時(shí)，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，顯然成立． 當(dāng)q≠1時(shí)，由a3＝，S3＝， 得 由①②，得＝3， 即2q2－q－1＝0， 所以q＝－或q＝1(舍去)．當(dāng)q＝－時(shí)，a1＝＝6. 綜上可知，a1＝或a1＝6. 10．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)．已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，則的值為________． 答案　或2 解析　若∠PF2F1＝90， 則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， 又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 所以|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝. 若∠F1PF2＝90，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， 所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，且|PF1|>|PF2|， 所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2. 綜上知，＝或2. 11．(2017浙江)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． 答案　4　2 解析　設(shè)a，b的夾角為θ， ∵|a|＝1，|b|＝2， ∴|a＋b|＋|a－b|＝＋ ＝＋. 令y＝＋， 則y2＝10＋2. ∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]， ∴y2∈[16,20]， ∴y∈[4,2]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4,2]． ∴|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2. 12．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P使得∠F1PF2＝120，則橢圓C離心率的取值范圍是______________． 答案　 解析　當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2達(dá)到最大值， 即∠F1BF2≥120時(shí)，橢圓上存在點(diǎn)P使得∠F1PF2＝120， 當(dāng)∠F1BF2＝120時(shí)，e＝＝sin60＝， 而橢圓越扁，∠F1BF2才可能越大， 橢圓越扁，則其離心率越接近1， 所以橢圓C離心率的取值范圍是.