（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第21練 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)試題 理.docx
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第21練 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì) [明晰考情] 1.命題角度：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是高考考查的熱點.2.題目難度：中等偏難. 考點一 圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 方法技巧 (1)應(yīng)用圓錐曲線的定義解題時，一定不要忽視定義中的隱含條件. (2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到焦點距離，一般可以利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化. (3)求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計算”. 1.已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是________. 答案 y2－＝1(y≤－1) 解析 由兩點間距離公式，可得AC＝13，BC＝15，AB＝14，因為A，B都在橢圓上，所以AF＋AC＝BF＋BC，AF－BF＝BC－AC＝2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的下支.由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的軌跡方程是y2－＝1(y≤－1). 2.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的方程為________. 答案 －＝1 解析 由e＝知a＝b，且c＝a. ∴雙曲線漸近線方程為y＝x. 又kPF＝＝＝1，∴c＝4，則a2＝b2＝＝8. 故雙曲線方程為－＝1. 3.已知拋物線y＝x2，A，B是該拋物線上兩點，且AB＝24，則線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標(biāo)為________. 答案 8 解析 由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝16y， 焦點F(0,4)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由AB≤AF＋BF＝(y1＋4)＋(y2＋4)＝y(tǒng)1＋y2＋8， ∴y1＋y2≥16，則線段AB的中點P的縱坐標(biāo)y＝≥8， ∴線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標(biāo)為8. 4.(2018如皋調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1的右頂點為A，點M(2,4)，過橢圓C上任意一點P作直線MA的垂線，垂足為H，則2PM＋PH的最小值為________. 答案 2－2 解析 在橢圓中，a＝2，c＝1，所以橢圓的右焦點為F(1，0)，右準(zhǔn)線方程為x＝4. 過點P作右準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為G，則PH＝PG－2， 由橢圓的第二定義得e＝＝，所以PG＝2PF. 因此2PM＋PH＝2PM＋2PF－2＝2(PM＋PF)－2≥2MF－2＝2－2， 當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)三點共線時等號成立， 所以2PM＋PH的最小值為2－2. 考點二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 方法技巧 (1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式.(2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等. 5.(2018全國Ⅱ改編)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為________. 答案 y＝x 解析 雙曲線－＝1的漸近線方程為bxay＝0. 又∵離心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0). ∴漸近線方程為axay＝0，即y＝x. 6.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)上存在點M，使得右焦點F關(guān)于直線OM(O為雙曲線的中心)的對稱點在y軸上，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______. 答案 (，＋∞) 解析 若存在點M，使得右焦點F關(guān)于直線OM(O為雙曲線的中心)的對稱點在y軸上，則只要這個雙曲線上存在點M，使得OM的斜率的絕對值為1即可，所以只要漸近線的斜率的絕對值大于1，也就是離心率大于. 7.(2018全國Ⅲ改編)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若PF1＝OP，則C的離心率為________. 答案 解析 如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P′，連結(jié)P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形. 因為F2P＝b，F(xiàn)2O＝c，所以O(shè)P＝a. 又PF1＝a＝F2P′，PP′＝2a， 所以F2P＝a＝b， 所以c＝＝a，所以e＝＝. 8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點，若AF＋BF＝4OF，則該雙曲線的漸近線方程為________. 答案 y＝x 解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∵y1,2＝，∴y1＋y2＝. 又∵AF＋BF＝4OF， ∴y1＋＋y2＋＝4，即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 考點三 圓錐曲線的綜合問題 方法技巧 (1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法 定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法；目標(biāo)函數(shù)法；條件不等式法. (2)圓錐曲線中的定值、定點問題可以利用特例法尋求突破，然后對一般情況進(jìn)行證明. 9.已知方程－＝1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是________. 答案 ∪ 解析 由－＝1轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， 假設(shè)焦點在x軸上，則2＋m＞－(m＋1)＞0， 解得－＜m＜－1； 假設(shè)焦點在y軸上，則－(m＋1)＞2＋m＞0， 解得－2＜m＜－. 綜上可知，m的取值范圍為∪. 10.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為________. 答案 解析 如圖，因為MF1與x軸垂直，所以MF1＝. 又sin∠MF2F1＝， 所以＝， 即MF2＝3MF1.由雙曲線的定義得2a＝MF2－MF1＝2MF1＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 11.過拋物線y＝ax2 (a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若線段AF，BF的長分別為m，n，則＝________. 答案 解析 顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立，消去y得ax2－kx－＝0， 設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，因為x1,2＝， 所以x1＋x2＝，x1x2＝－， x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋，∴mn＝，m＋n＝，∴＝. 12.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且△F1AB的面積為，點P為橢圓上的任意一點，則＋的取值范圍為________. 答案 [1，4] 解析 由已知得2b＝2，故b＝1， ∵△F1AB的面積為， ∴(a－c)b＝， ∴a－c＝2－， 又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1， ∴a＝2，c＝， ∴＋＝ ＝＝， 又2－≤PF1≤2＋， ∴1≤－PF＋4PF1≤4， ∴1≤＋≤4， 即＋的取值范圍為. 1.若點O和點F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為________. 答案 [3＋2，＋∞) 解析 由題意，得22＝a2＋1，即a＝，設(shè)P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，則＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝2－，因為x≥，所以的取值范圍為[3＋2，＋∞). 2.若橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的方程為________________. 答案?。?或＋＝1 解析 由題意，得所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為＋＝1；當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 3.已知A(1,2)，B(－1,2)，動點P滿足⊥.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是________. 答案 (1,2) 解析 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件， 得動點P的軌跡方程為(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓. 又雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，即bxay＝0， 由題意，可得>1，即>1， 所以e＝<2， 又e>1，故1下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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