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考點規(guī)范練10 函數(shù)與方程
基礎(chǔ)鞏固組
1.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,有如下對應(yīng)值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
23
9
-7
11
-5
-12
-26
則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有( )
A.5個 B.4個 C.3個 D.2個
答案C
解析由題意知f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)上各至少有1個零點.故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]上至少有3個零點.
2.(2017江西贛中南五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=3x-x2的零點所在區(qū)間是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-1,0)
答案D
解析由于f(-1)=-23<0,f(0)=30-0=1>0,
∴f(-1)f(0)<0.則f(x)在(-1,0)內(nèi)有零點.
3.設(shè)f(x)=1-(x-a)(x-b)(a
0,解得m≥4.
7.設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x≤0),log2x(x>0),函數(shù)y=f[f(x)]-1的零點個數(shù)為 .
答案2
解析由y=1,得x=0或x=2,因此f(x)=0或f(x)=2,從而x=1或x=4,即零點只有兩個.
8.已知函數(shù)f(x)=2x-a,x≤0,2x-1,x>0(a∈R),若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點,則a的取值范圍是 .
答案(0,1]
解析因為當x>0時,f(x)=2x-1,由f(x)=0得x=12.所以要使f(x)在R上有兩個零點,則必須2x-a=0在(-∞,0]上有唯一實數(shù)解.又當x∈(-∞,0]時,2x∈(0,1],且y=2x在(-∞,0]上單調(diào)遞增,故所求a的取值范圍是(0,1].
能力提升組
9.(2018浙江嘉興高三模擬)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)內(nèi)有兩個不同的零點,則f(m-1)和f(m+1)( )
A.都大于1 B.都小于1
C.至少有一個大于1 D.至少有一個小于1
答案D
解析∵f(x)=x2+bx+c,
∴f(m-1)+f(m+1)
=(m-1)2+b(m-1)+c+(m+1)2+b(m+1)+c
=2m2+2bm+2c+2=2+2(m2+bm+c)=2+2f(m),
∵f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)內(nèi)有兩個不同的零點,
∴f(m)<0,∴f(m-1)+f(m+1)<2,即f(m-1)和f(m+1)至少有一個小于1,故選D.
10.已知函數(shù)f(x)=|x|x+2-kx2(x∈R)有四個不同的零點,則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.k<0 B.k<1 C.01
答案D
解析因為x=0是函數(shù)f(x)的零點,則函數(shù)f(x)=|x|x+2-kx2(k∈R)有四個不同的零點,等價于方程k=1|x|(x+2)有三個不同的根,即方程1k=|x|(x+2)有三個不同的根.記函數(shù)g(x)=|x|(x+2)=x2+2x(x≥0),-x2-2x(x<0).作圖(略)由題意y=1k與y=g(x)有三個不同的交點,由知0<1k<1,所以k>1,故選D.
11.(2018浙江麗水高三模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2-2x,如果函數(shù)g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4個零點,則m的取值范圍是( )
A.(-1,0) B.[-1,0) C.[-1,0] D.(-1,0]
答案A
解析已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≥0時,f(x)=x2-2x,可以畫出圖象如圖所示,函數(shù)g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4個零點等價于y=m與y=f(x)有四個交點,顯然m∈(-1,0).故選A.
12.若關(guān)于x的方程x|x-a|=a有三個不相同的實根,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(0,4) B.(-4,0)
C.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(-4,0)∪(0,4)
答案C
解析因為本題是選擇題,答案又都是范圍,所以可采用特殊值代入法.取a=2時,關(guān)于x的方程x|x-a|=a轉(zhuǎn)化為x|x-2|=2,
即為當x≥2時,就轉(zhuǎn)化為x(x-2)=2?x=1+3或x=1-3(舍),有一根1+3.
當x<2時,就轉(zhuǎn)化為x(x-2)=-2?x不存在,無根.
所以a=2時有1個根不成立.
排除答案A,D.
同理可代入a=-2解得方程的根有1個,不成立.
排除答案B.故選C.
13.設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù),則函數(shù)y=[lg x-1]-2lg x+1的零點之積為( )
A.10 B.1010 C.-10 D.0
答案B
解析令t=lgx,函數(shù)y=[lgx-1]-2lgx+1即轉(zhuǎn)化為y=[t-1]-2t+1的零點問題,
也即方程[t-1]=2t-1的解的個數(shù)問題,作出圖象如下:
易知t1=0,t2=-12,所以函數(shù)y=[lgx-1]-2lgx+1的零點分別為x=1或1010,所以函數(shù)y=[lgx-1]-2lgx+1的零點之積為1010.
14.已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=0,01,則方程|f(x)-g(x)|=2的實根個數(shù)為 .
答案4
解析當f(x)=g(x)+2時,則y=g(x)+2=
2,01,在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=f(x)=
|lnx|,y=g(x)+2=
2,01的圖象如右圖,則兩圖象有3個交點,即方程有3個實數(shù)根;當f(x)=g(x)-2時,則y=g(x)-2=-2,01,在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=f(x)=|lnx|,y=g(x)+2=-2,01的圖象如下圖,則兩圖象有1個交點,即方程有1個實數(shù)根.所以方程共有4個實數(shù)根.
15.設(shè)f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若關(guān)于x的函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)-m在區(qū)間[1,2]上有零點,求m的取值范圍.
解令F(x)=0,即log2(2x-1)-log2(2x+1)-m=0,
則m=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log22x-12x+1=log21-22x+1.
∵1≤x≤2,∴3≤2x+1≤5.
∴25≤22x+1≤23.∴13≤1-22x+1≤35.
∴l(xiāng)og213≤log21-22x+1≤log235,即log213≤m≤log235.
16.已知函數(shù)f(x)=x2-(a+1)x-4(a+5),g(x)=ax2-x+5,其中a∈R.
(1)若函數(shù)f(x),g(x)存在相同的零點,求a的值;
(2)若存在兩個正整數(shù)m,n,當x0∈(m,n)時,有f(x0)<0與g(x0)<0同時成立,求n的最大值及n取最大值時a的取值范圍.
解(1)∵f(x)=x2-(a+1)x-4(a+5)=(x+4)[x-(a+5)],∴f(x)=0的兩根為x1=-4,x2=a+5.
由g(-4)=16a+9=0,得a=-916;由g(a+5)=a[(a+5)2-1]=0,解得a=0或a=-4或a=-6.
經(jīng)檢驗上述a的值均符合題意,
∴a的值為-6,-4,-916,0.
(2)令f(x)<0,∵m,n均為正整數(shù),
∴-40,即a>-5.
記集合N=(0,a+5).令g(x)<0,設(shè)ax2-x+5<0的解集為M,則由題意得區(qū)間(m,n)?(M∩N).
①當a<0時,∵g(0)=5>0,∴只能g(a+5)=a[(a+5)2-1]<0,即a>-4或a<-6,
又a>-5,∴-40時,因為g(0)=5>0,g(a+5)=a[(a+5)2-1]>0,
故只能0<12a0,無解.綜上可知,n的最大整數(shù)值為4,此時a的取值范圍為-1,-29.
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