（河南專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 空間與圖形 6.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt

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第六章圖形與交換 6 2圖形的相似 中考數(shù)學(xué) 河南專用 A組2014 2018年河南中考題組 五年中考 1 2015河南 10 3分 如圖 ABC中 點(diǎn)D E分別在邊AB BC上 DE AC 若BD 4 DA 2 BE 3 則EC 答案 解析 DE AC EC 2 2018河南 22 10分 1 問題發(fā)現(xiàn)如圖1 在 OAB和 OCD中 OA OB OC OD AOB COD 40 連接AC BD交于點(diǎn)M 填空 的值為 AMB的度數(shù)為 2 類比探究如圖2 在 OAB和 OCD中 AOB COD 90 OAB OCD 30 連接AC交BD的延長線于點(diǎn)M 請判斷的值及 AMB的度數(shù) 并說明理由 3 拓展延伸在 2 的條件下 將 OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn) AC BD所在直線交于點(diǎn)M 若OD 1 OB 請直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時AC的長 解析 1 1 1分 40 注 若填為40 不扣分 2分 2 AMB 90 注 若無判斷 但后續(xù)證明正確 不扣分 4分 理由如下 AOB COD 90 OAB OCD 30 又 COD AOD AOB AOD 即 AOC BOD AOC BOD 6分 CAO DBO AOB 90 DBO ABD BAO 90 CAO ABD BAO 90 AMB 90 8分 3 AC的長為2或3 10分 提示 在 OCD旋轉(zhuǎn)過程中 2 中的結(jié)論仍成立 即 AMB 90 如圖所示 當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時 AC1 AC2的長即為所求 思路分析 1 證明 AOC BOD 得AC BD OAC OBD AMB AOB 40 2 證明 AOC BOD 得 OAC OBD AMB AOB 90 3 作圖確定 OCD旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的兩個位置 分別求出BD的長度 根據(jù) 得出AC的長 方法規(guī)律本題為類比探究拓展問題 首先根據(jù)題 1 中的特例感知解決問題的方法 類比探究 可以類比 1 中解法 解 2 中的問題 得出結(jié)論 總結(jié)解答前兩個問題所用的方法和所得結(jié)論 依據(jù)結(jié)論對 3 中的問題分析 通過作圖 計算得出結(jié)果 問題 3 直接求AC的兩個值難度較大 可以先求出BD的兩個值 根據(jù) 再求出AC的兩個值 3 2015河南 22 10分 如圖1 在Rt ABC中 B 90 BC 2AB 8 點(diǎn)D E分別是邊BC AC的中點(diǎn) 連接DE 將 EDC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 記旋轉(zhuǎn)角為 1 問題發(fā)現(xiàn) 當(dāng) 0 時 當(dāng) 180 時 2 拓展探究試判斷 當(dāng)0 360 時 的大小有無變化 請僅就圖2的情形給出證明 3 問題解決當(dāng) EDC旋轉(zhuǎn)至A D E三點(diǎn)共線時 直接寫出線段BD的長 解析 1 1分 2分 2 無變化 3分 在題圖1中 DE是 ABC的中位線 DE AB EDC B 90 如題圖2 EDC在旋轉(zhuǎn)過程中形狀和大小不變 仍然成立 4分 又 ACE BCD ACE BCD 6分 在Rt ABC中 AC 4 的大小不變 8分 3 4或 10分 提示 當(dāng) EDC在BC上方 且A D E三點(diǎn)共線時 四邊形ABCD為矩形 BD AC 4 當(dāng) EDC在BC下方 且A E D三點(diǎn)共線時 ADC為直角三角形 由勾股定理可求得AD 8 AE 6 根據(jù) 可求得BD 思路分析 1 根據(jù)勾股定理和三角形中位線定理求各線段的長 從而求得 2 EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時 在題圖1中 ABC EDC 在題圖2中 ACE BCD 得到 將求的值轉(zhuǎn)化為求的值 得出結(jié)論 3 類比 2 問中的方法 討論A D E三點(diǎn)共線和A E D三點(diǎn)共線的兩種情況求解 考點(diǎn)一相似的性質(zhì)與判定 B組2014 2018年全國中考題組 1 2017黑龍江哈爾濱 9 3分 如圖 在 ABC中 D E分別為AB AC邊上的點(diǎn) DE BC 點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn) 連接AF交DE于點(diǎn)G 則下列結(jié)論中一定正確的是 A B C D 答案C根據(jù)平行線分線段成比例定理可知 所以選項A B D錯誤 選項C正確 故選C 2 2017陜西 8 3分 如圖 在矩形ABCD中 AB 2 BC 3 若點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn) 連接AE 過點(diǎn)B作BF AE交AE于點(diǎn)F 則BF的長為 A B C D 答案B由題意得 AFB D BAD 90 FAB DAE 90 FAB ABF 90 ABF DAE ADE BFA 則 即 3 設(shè)AF x x 0 則BF 3x 在Rt ABF中 由勾股定理得AF2 BF2 AB2 即x2 3x 2 22 解得x 負(fù)值舍去 所以3x 即BF 故選B 思路分析先通過證明 ADE BFA得到AF與BF的數(shù)量關(guān)系 再在Rt ABF中 由勾股定理建立方程求解 3 2015江蘇南京 3 2分 如圖 在 ABC中 DE BC 則下列結(jié)論中正確的是 A B C D 答案C DE BC ADE ABC 故選項A B錯誤 根據(jù) 相似三角形的周長比等于相似比 面積比等于相似比的平方 可知選項C正確 選項D錯誤 故選C 4 2015四川綿陽 12 3分 如圖 D是等邊 ABC邊AB上的一點(diǎn) 且AD DB 1 2 現(xiàn)將 ABC折疊 使點(diǎn)C與D重合 折痕為EF 點(diǎn)E F分別在AC和BC上 則CE CF A B C D 答案B設(shè)等邊 ABC的邊長為3 則AD 1 BD 2 由折疊的性質(zhì)可知 C EDF 60 EDA FDB 120 在 AED中 A 60 AED ADE 120 AED BDF 又 A B AED BDF 又 CE DE CF DF 可得2CE 3CF CE CF CF 3CE CE CF 2CE 3CF CF 3CE 故選B 5 2018安徽 14 5分 矩形ABCD中 AB 6 BC 8 點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部 點(diǎn)E在邊BC上 滿足 PBE DBC 若 APD是等腰三角形 則PE的長為 答案3或 解析在矩形ABCD中 AD BC 8 在 ABD中 由勾股定理可得BD 10 AB AD 根據(jù) PBE DBC可知P點(diǎn)在線段BD上 當(dāng)AD PD 8時 由相似可得 PE 當(dāng)AP PD時 P點(diǎn)為BD的中點(diǎn) PE CD 3 故答案為3或 思路分析根據(jù)AB AD及已知條件先判斷P點(diǎn)在線段BD上 再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩種情況 AD PD 8 AP PD 再由相似三角形中對應(yīng)邊的比相等求解即可 難點(diǎn)突破判斷P點(diǎn)在線段BD上是解答本題的突破口 6 2016江蘇南京 15 2分 如圖 AB CD相交于點(diǎn)O OC 2 OD 3 AC BD EF是 ODB的中位線 且EF 2 則AC的長為 答案 解析 EF是 ODB的中位線 OE OD EF BD AC BD EF BD AC EF AC 7 2016湖北武漢 16 3分 如圖 在四邊形ABCD中 ABC 90 AB 3 BC 4 CD 10 DA 5 則BD長為 答案2 解析如圖 連接AC 過點(diǎn)D作DE BC 交BC的延長線于E ABC 90 AB 3 BC 4 AC 5 CD 10 DA 5 AC2 CD2 AD2 ACD 90 ACB DCE 90 ACB BAC 90 BAC DCE 又 ABC DEC 90 ABC CED 即 CE 6 DE 8 在Rt BED中 BD 2 8 2018江西 14 6分 如圖 在 ABC中 AB 8 BC 4 CA 6 CD AB BD是 ABC的平分線 BD交AC于點(diǎn)E 求AE的長 解析 BD平分 ABC ABD CBD AB CD ABD D ABE CDE CBD D BC CD AB 8 CA 6 CD BC 4 AE 4 思路分析根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出 D CBD 進(jìn)而可得BC CD 4 通過 ABE CDE 得出含AE的比例式 求出AE的值 方法總結(jié)證明三角形相似的常見方法 平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊或其延長線相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 相似的基本圖形可分別記為 A 型和 X 型 如圖所示 在應(yīng)用時要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形 9 2016四川南充 24 10分 已知正方形ABCD的邊長為1 點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動點(diǎn) 若點(diǎn)M在AB上 且滿足 PBC PAM 延長BP交AD于點(diǎn)N 連接CM 1 如圖一 若點(diǎn)M在線段AB上 求證 AP BN AM AN 2 如圖二 在點(diǎn)P運(yùn)動過程中 滿足 PBC PAM的點(diǎn)M在AB的延長線上時 AP BN和AM AN是否成立 不需說明理由 是否存在滿足條件的點(diǎn)P 使得PC 請說明理由 解析 1 證明 PBC PAM PBC PAM 1分 四邊形ABCD是正方形 AD BC PBC ANP PAM ANP 2分 PAM PAN 90 ANP PAN 90 APN 90 即AP BN 3分 BAN 90 AP BN BPA BAN 90 ABP NBA ABP NBA 4分 又 PBC PAM 5分 故 又 AB BC AM AN 6分 2 點(diǎn)M在AB的延長線上時 AP BN和AM AN仍然成立 7分 不存在 理由如下 如圖 以AB為直徑 作半圓O 連接OC OP BC 1 OB OC 8分 AP BN 點(diǎn)P一定在以點(diǎn)O為圓心 為半徑的半圓上 A B兩點(diǎn)除外 如果存在點(diǎn)P 那么OP PC OC 則PC 9分 故不存在滿足條件的點(diǎn)P 使得PC 10分 評析本題是以考查相似三角形為主的綜合題 涉及正方形的性質(zhì) 圓的性質(zhì)等知識 有一定難度 10 2015山東威海 23 10分 1 如圖 已知 ACB DCE 90 AC BC 6 CD CE AE 3 CAE 45 求AD的長 2 如圖 已知 ACB DCE 90 ABC CED CAE 30 AC 3 AE 8 求AD的長 圖 圖 解析 1 連接BE 1分 ACB DCE 90 ACB ACE DCE ACE 即 BCE ACD 又 AC BC DC EC ACD BCE AD BE 3分 AC BC 6 AB 6 4分 BAC CAE 45 BAE 90 在Rt BAE中 AB 6 AE 3 BE 9 AD 9 5分 2 連接BE 6分 在Rt ACB和Rt DCE中 ABC DEC 30 tan30 ACB DCE 90 ACB BCD DCE BCD 即 ACD BCE ACD BCE 8分 BAC 60 CAE 30 BAE 90 在Rt ACB中 AC 3 ABC 30 AB 6 在Rt BAE中 AB 6 AE 8 BE 10 9分 AD 10分 評析求線段長的常見方法 利用相似三角形的性質(zhì)求線段長 通過解直角三角形 含勾股定理 求線段長 所以對于此類問題要從相似或解直角三角形入手 通過作輔助線等尋找解題思路 1 2015甘肅蘭州 5 4分 如圖 線段CD兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C 1 2 D 2 0 以原點(diǎn)為位似中心 將線段CD放大得到線段AB 若點(diǎn)B的坐標(biāo)為 5 0 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 A 2 5 B 2 5 5 C 3 5 D 3 6 考點(diǎn)二圖形的位似 答案B設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 x y 由位似圖形的性質(zhì)知 得x 2 5 y 5 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 2 5 5 故選B 2 2015江蘇鎮(zhèn)江 17 3分 如圖 坐標(biāo)原點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心 頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為 1 t AB x軸 矩形A B C D 與矩形ABCD是位似圖形 點(diǎn)O為位似中心 點(diǎn)A B 分別是點(diǎn)A B的對應(yīng)點(diǎn) k 已知關(guān)于x y的二元一次方程組 m n是實數(shù) 無解 在以m n為坐標(biāo) 記為 m n 的所有的點(diǎn)中 若有且只有一個點(diǎn)落在矩形A B C D 的邊上 則k t的值等于 A B 1C D 答案D因為方程組無解 所以mn 3 且n 那么以實數(shù)m n為坐標(biāo)的點(diǎn)在反比例函數(shù)y 的圖象上 且y 矩形A B C D 與矩形ABCD的位似比為k 因為A 1 t 所以A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 k kt C 點(diǎn)的坐標(biāo)為 k kt 當(dāng)矩形A B C D 與函數(shù)y 的圖象有交點(diǎn)時 則交點(diǎn)至少有兩個 分別是A k kt C k kt 當(dāng)kt 時 A C 又n 所以A 不在函數(shù)y 的圖象上 有且只有C 在函數(shù)y 的圖象上 即當(dāng)kt 時 有且只有一個點(diǎn)在矩形A B C D 的邊上 評析本題以平面直角坐標(biāo)系中的位似和方程組的解的存在性為背景 考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 解題關(guān)鍵是運(yùn)用中心對稱的性質(zhì) 本題屬難題 3 2017甘肅蘭州 17 4分 如圖 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 位似中心是點(diǎn)O 則 答案 解析 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 OEF OAB OFG OBC 4 2018安徽 17 8分 如圖 在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的10 10網(wǎng)格中 已知點(diǎn)O A B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn) 1 在給定的網(wǎng)格中 以點(diǎn)O為位似中心 將線段AB放大為原來的2倍 得到線段A1B1 點(diǎn)A B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1 B1 畫出線段A1B1 2 將線段A1B1繞點(diǎn)B1逆時針旋轉(zhuǎn)90 得到線段A2B1 畫出線段A2B1 3 以A A1 B1 A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積是個平方單位 解析 1 線段A1B1如圖所示 3分 2 線段A2B1如圖所示 6分 3 20 8分 提示 根據(jù) 1 2 可知四邊形AA1B1A2是正方形 邊長為 2 以A A1 B1 A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積為 2 2 20 個平方單位 5 2016廣西南寧 21 8分 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 已知 ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A 2 2 B 4 0 C 4 4 1 請畫出 ABC向左平移6個單位長度后得到的 A1B1C1 2 以點(diǎn)O為位似中心 將 ABC縮小為原來的 得到 A2B2C2 請在y軸右側(cè)畫出 A2B2C2 并求出 A2C2B2的正弦值 解析 1 A1B1C1為所求作三角形 3分 正確作出一個點(diǎn)給1分 2 A2B2C2為所求作三角形 6分 正確作出一個點(diǎn)給1分 根據(jù)勾股定理得A2C2 sin A2C2B2 8分 考點(diǎn)一相似的性質(zhì)與判定 C組教師專用題組 1 2018湖北黃岡 5 3分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD為AB邊上的高 CE為AB邊上的中線 AD 2 CE 5 則CD A 2B 3C 4D 2 答案C在Rt ABC中 因為CE為AB邊上的中線 所以AB 2CE 2 5 10 又AD 2 所以BD 8 易證 ACD CBD 則CD2 AD DB 2 8 16 所以CD 4 故選C 2 2016重慶 8 4分 ABC與 DEF的相似比為1 4 則 ABC與 DEF的周長比為 A 1 2B 1 3C 1 4D 1 16 答案C因為 ABC與 DEF的相似比為1 4 所以由相似三角形周長的比等于相似比 得 ABC與 DEF的周長比為1 4 故選C 3 2016安徽 8 4分 如圖 ABC中 AD是中線 BC 8 B DAC 則線段AC的長為 A 4B 4C 6D 4 答案B由AD是中線可得DC BC 4 B DAC C C ADC BAC AC2 BC DC 8 4 32 AC 4 故選B 評析本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中線 屬容易題 4 2016廣西南寧 11 3分 有3個正方形如圖所示放置 陰影部分的面積依次記為S1 S2 則S1 S2等于 A 1 B 1 2C 2 3D 4 9 答案D如圖所示 由題意可知AG GE EF BH HC BC 設(shè)DE a 則AG2 GE2 EF2 2a2 則AE2 4a2 即AE 2a AD 3a HC a S1 a2 S2 a2 S1 S2 4 9 5 2016黑龍江哈爾濱 9 3分 如圖 在 ABC中 D E分別為AB AC邊上的點(diǎn) DE BC BE與CD相交于點(diǎn)F 則下列結(jié)論一定正確的是 A B C D 答案A DE BC ADE ABC 故選項A正確 故選A 6 2015山東聊城 7 3分 下列命題中的真命題是 A 兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等B 相似三角形的面積比等于相似比C 正方形不是中心對稱圖形D 圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ) 答案DA項 在兩邊和一角中 當(dāng)角為兩邊中一邊的對角時 這兩個三角形不一定全等 故本選項錯誤 B項 相似三角形面積比等于相似比的平方 故本選項錯誤 C項 正方形是中心對稱圖形 故本選項錯誤 D項 圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ) 故本選項正確 故選D 7 2014河北 13 3分 在研究相似問題時 甲 乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下 對于兩人的觀點(diǎn) 下列說法正確的是 A 兩人都對B 兩人都不對C 甲對 乙不對D 甲不對 乙對 答案A由題意知新三角形與原三角形的對應(yīng)角相等 所以兩個三角形相似 甲的觀點(diǎn)正確 新矩形與原矩形的對應(yīng)角相等 但對應(yīng)邊的比并不相等 所以新矩形與原矩形不相似 乙的觀點(diǎn)也正確 故選A 8 2014貴州貴陽 7 3分 如圖 在方格紙中 ABC和 EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 要使 ABC EPD 則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為 A P1B P2C P3D P4 答案C由題圖可知 E A 90 要使 ABC EPD 則 2 所以EP 2AB 6 點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為P3 故選C 評析本題考查相似三角形的判定 設(shè)計巧妙 屬容易題 9 2018云南 5 3分 如圖 已知AB CD 若 則 答案 解析 AB CD A C B D AOB COD 10 2018遼寧沈陽 16 3分 如圖 ABC是等邊三角形 AB 點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn) 點(diǎn)H是線段AD上一點(diǎn) 連接BH CH 當(dāng) BHD 60 AHC 90 時 DH 答案 解析延長AD至點(diǎn)E 使得HE BH 連接BE CE BHD 60 BHE是等邊三角形 BH BE HE BEH 60 ABC是等邊三角形 AB BC ABC 60 ABH CBE ABH CBE BEC BHA 120 HEC 60 CH AD CHE 90 設(shè)BH x x 0 則HE x CH x 過點(diǎn)B作BG HE于G 則BG x EG BGD CHD 90 又 BDG CDH BDG CDH BC CD 又DH GH HE 由勾股定理得 DH2 CH2 CD2 即 x 2 解得x 1 DH 疑難突破此類題型中 可根據(jù)等邊三角形 60 這些條件 通過補(bǔ)全小等邊三角形 構(gòu)造全等三角形 從而實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化 11 2017黑龍江哈爾濱 20 3分 如圖 在矩形ABCD中 M為BC邊上一點(diǎn) 連接AM 過點(diǎn)D作DE AM 垂足為E 若DE DC 1 AE 2EM 則BM的長為 答案 解析 BAM EAD 90 EAD EDA 90 BAM EDA 又 B AED 90 ADE MAB 即 AE BM 由AE 2EM可設(shè)AE 2x EM x x 0 則BM 2x 在Rt ABM中 由勾股定理可知 2x x 2 12 2x 2 解得x 舍負(fù) BM 2x 12 2016遼寧沈陽 16 3分 如圖 在Rt ABC中 A 90 AB AC BC 20 DE是 ABC的中位線 點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn) BM 3 點(diǎn)N是線段MC上的一個動點(diǎn) 連接DN ME DN與ME相交于點(diǎn)O 若 OMN是直角三角形 則DO的長是 答案或 解析 A 90 AB AC BC 20 AB AC 10 DE是 ABC的中位線 DE BC DE BC 10 BD CE 5 當(dāng)DN BC時 OMN為直角三角形 如圖 易知 BDN為等腰直角三角形 BN DN 5 BM 3 MN 2 DE BC ODE ONM 即 解得OD 當(dāng)DN ME時 OMN為直角三角形 如圖 過點(diǎn)E作EF BC 垂足為點(diǎn)F 易知 CEF為等腰直角三角形 EF FC 5 BM 3 MF 20 3 5 12 在Rt MFE中 ME 13 DE BC DEO EMF DOE EFM 90 ODE FEM 即 解得OD 綜上所述 DO的長是或 評析對于幾何探究型問題 分類討論思想是重點(diǎn)考查內(nèi)容 本題中 要對 OMN分兩種情況進(jìn)行討論 一是 ONM為直角時 二是 MON為直角時 13 2015山東臨沂 18 3分 如圖 在 ABC中 BD CE分別是邊AC AB上的中線 BD與CE相交于點(diǎn)O 則 答案2 解析連接DE BD CE分別是AC AB邊上的中線 DE為 ABC的中位線 DE BC DE BC OBC ODE 2 14 2015重慶 15 4分 已知 ABC DEF ABC與 DEF的相似比為4 1 則 ABC與 DEF對應(yīng)邊上的高之比為 答案4 1 解析兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比 所以答案是4 1 15 2014四川成都 12 4分 如圖 為估計池塘岸邊A B兩點(diǎn)間的距離 在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)O 分別取OA OB的中點(diǎn)M N 測得MN 32m 則A B兩點(diǎn)間的距離是m 答案64 解析由題意易知MN為 OAB的中位線 根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得AB 2MN 2 32 64m 故答案為64 16 2018云南昆明 23 12分 如圖1 在矩形ABCD中 P為CD邊上一點(diǎn) DP CP APB 90 將 ADP沿AP翻折得到 AD P PD 的延長線交邊AB于點(diǎn)M 過點(diǎn)B作BN MP交DC于點(diǎn)N 1 求證 AD2 DP PC 2 請判斷四邊形PMBN的形狀 并說明理由 3 如圖2 連接AC 分別交PM PB于點(diǎn)E F 若 求的值 解析 1 證明 在矩形ABCD中 AD BC C D 90 DAP APD 90 APB 90 CPB APD 90 DAP CPB 1分 ADP PCB 2分 AD CB DP PC AD BC AD2 DP PC 3分 2 四邊形PMBN為菱形 理由如下 4分 在矩形ABCD中 CD AB BN PM 四邊形PMBN為平行四邊形 ADP沿AP翻折得到 AD P APD APM CD AB APD PAM APM PAM 6分 APB 90 PAM PBA 90 APM BPM 90 又 APM PAM PBA BPM PM MB 又 四邊形PMBN為平行四邊形 四邊形PMBN為菱形 7分 3 解法一 APM PAM PM AM PM MB AM MB 四邊形ABCD為矩形 CD AB且CD AB 設(shè)DP a 則AD 2DP 2a 由AD2 DP PC得PC 4a DC AB 5a 8分 MA MB CD AB ABF CPF BAF PCF BFA PFC 9分 同理可得 MEA PEC 10分 11分 12分 解法二 過點(diǎn)F作FG PM 交MB于點(diǎn)G APM PAM PM AM PM MB AM MB 四邊形ABCD為矩形 CD AB且CD AB 設(shè)DP a 則AD 2DP 2a 由AD2 DP PC得PC 4a DC AB 5a 8分 MA MB CD AB CPF ABF PCF BAF PFC BFA 9分 FG PM 10分 AM MB FG PM 12分 思路分析 1 根據(jù)矩形的性質(zhì)以及所給條件 證明 ADP PCB 從而得AD2 DP PC 2 由翻折得 APD APM 由等角的余角相等得 PBA BPM 從而得PM MB 進(jìn)而易得四邊形PMBN為菱形 3 解法一 設(shè)DP a 則可求得AD 2a PC 4a AB 5a 由CD AB 可得 BFA PFC MEA PEC 所以 進(jìn)而可得的值 解法二 過點(diǎn)F作FG PM 交MB于點(diǎn)G 設(shè)DP a 可求得AD 2a PC 4a AB 5a MA MB 根據(jù)CD AB FG PM AM MB這些條件可求得的值 解題關(guān)鍵本題主要考查了矩形的性質(zhì) 軸對稱 菱形的判定 相似三角形的判定與性質(zhì)等知識 題目綜合性強(qiáng) 計算量大 屬難題 解題的關(guān)鍵在于從復(fù)雜的條件中確定解決問題所需的條件 進(jìn)而推理 論證 計算 使題目得以解答 17 2017安徽 23 14分 已知正方形ABCD 點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn) 1 如圖1 點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn) 且 AGB 90 延長AG BG分別與邊BC CD交于點(diǎn)E F 求證 BE CF 求證 BE2 BC CE 2 如圖2 在邊BC上取一點(diǎn)E 滿足BE2 BC CE 連接AE交CM于點(diǎn)G 連接BG并延長交CD于點(diǎn)F 求tan CBF的值 圖1圖2 解析 1 證明 四邊形ABCD為正方形 AB BC ABC BCF 90 又 AGB 90 BAE ABG 90 又 ABG CBF 90 BAE CBF ABE BCF ASA BE CF 4分 證明 AGB 90 點(diǎn)M為AB的中點(diǎn) MG MA MB GAM AGM 又 CGE AGM 從而 CGE CBG 又 ECG GCB CGE CBG 即CG2 BC CE 由 CFG GBM BGM CGF 得CF CG 由 知 BE CF BE CG BE2 BC CE 9分 2 解法一 延長AE DC交于點(diǎn)N 如圖1 圖1 四邊形ABCD是正方形 AB CD N EAB 又 CEN BEA CEN BEA 故 即BE CN AB CE AB BC BE2 BC CE CN BE 由AB DN知 又AM MB FC CN BE 不妨令正方形的邊長為1 設(shè)BE x 則由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 于是tan CBF 14分 解法二 不妨令正方形的邊長為1 設(shè)BE x 則由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 即BE 作GN BC交AB于N 如圖2 圖2則 MNG MBC 設(shè)MN y 則GN 2y GM y 即 解得y GM 從而GM MA MB 此時點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上 AGB是直角三角形 且 AGB 90 由 1 知BE CF 于是tan CBF 14分 18 2016福建福州 25 12分 如圖 在 ABC中 AB AC 1 BC 在AC邊上截取AD BC 連接BD 1 通過計算 判斷AD2與AC CD的大小關(guān)系 2 求 ABD的度數(shù) 解析 1 AD BC AD2 AC 1 CD 1 AD2 AC CD 2 AD2 AC CD AD BC BC2 AC CD 即 又 C C ABC BDC 又AB AC BD BC AD A ABD ABC C BDC 設(shè) A ABD x 則 BDC A ABD 2x ABC C BDC 2x A ABC C x 2x 2x 180 解得x 36 ABD 36 評析本題主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定 等腰三角形的性質(zhì) 三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用 證得 ABC BDC是解題的關(guān)鍵 19 2016湖北武漢 23 10分 在 ABC中 P為邊AB上一點(diǎn) 1 如圖1 若 ACP B 求證 AC2 AP AB 2 若M為CP的中點(diǎn) AC 2 如圖2 若 PBM ACP AB 3 求BP的長 如圖3 若 ABC 45 A BMP 60 直接寫出BP的長 圖1 圖2圖3 解析 1 證明 ACP B A A ACP ABC 2分 AC2 AP AB 3分 2 解法一 延長PB至點(diǎn)D 使BD PB 連接CD M為CP的中點(diǎn) CD MB D PBM 4分 PBM ACP D PBM ACP 由 1 得AC2 AP AD 5分 設(shè)BP x 則22 3 x 3 x 解得x 舍去負(fù)根 即BP 7分 解法二 取AP的中點(diǎn)E 連接EM M為CP的中點(diǎn) ME AC EM AC 1 4分 PME ACP PBM ACP PME PBM 由 1 得EM2 EP EB 5分 設(shè)BP x 則12 解得x 舍去負(fù)根 即BP 7分 BP 1 10分 20 2015江蘇連云港 25 10分 如圖 在 ABC中 ABC 90 BC 3 D為AC延長線上一點(diǎn) AC 3CD 過點(diǎn)D作DH AB 交BC的延長線于點(diǎn)H 1 求BD cos HBD的值 2 若 CBD A 求AB的長 解析 1 DH AB BHD ABC 90 ACB DCH ABC DHC AC 3CD BC 3 CH 1 BH BC CH 4 在Rt BHD中 cos HBD BDcos HBD BH 4 4分 2 解法一 A CBD ABC BHD ABC BHD 6分 ABC DHC AB 3DH DH 2 AB 6 10分 解法二 CBD A BDC ADB CDB BDA BD2 CD AD BD2 CD 4CD 4CD2 BD 2CD 6分 CDB BDA AB 6 10分 21 2015安徽 23 14分 如圖1 在四邊形ABCD中 點(diǎn)E F分別是AB CD的中點(diǎn) 過點(diǎn)E作AB的垂線 過點(diǎn)F作CD的垂線 兩垂線交于點(diǎn)G 連接GA GB GC GD EF 若 AGD BGC 1 求證 AD BC 2 求證 AGD EGF 3 如圖2 若AD BC所在直線互相垂直 求的值 解析 1 證明 由題意知GE垂直平分AB GA GB 同理 GD GC 在 AGD和 BGC中 GA GB AGD BGC GD GC AGD BGC AD BC 5分 2 證明 AGD BGC AGB DGC 在 AGB和 DGC中 AGB DGC AGB DGC 8分 又 AGE DGF AGD EGF AGD EGF 10分 3 如圖1 延長AD交GB于點(diǎn)M 交BC的延長線于點(diǎn)H 則AH BH 圖1 由 AGD BGC 知 GAD GBC 在 GAM和 HBM中 GAD GBC GMA HMB AGB AHB 90 12分 AGE AGB 45 又 AGD EGF 14分 本小題解法有多種 如可按圖2和圖3作輔助線求解 過程略 圖2圖3 評析本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì) 直角三角形斜邊中線 三角形全等和相似的判定方法和性質(zhì) 屬于拓展探索型題 學(xué)生要有較強(qiáng)的基本功和綜合分析問題的能力 22 2015福建福州 25 13分 如圖 在銳角 ABC中 D E分別為AB BC中點(diǎn) F為AC上一點(diǎn) 且 AFE A DM EF交AC于點(diǎn)M 1 求證 DM DA 2 點(diǎn)G在BE上 且 BDG C 如圖 求證 DEG ECF 3 在圖 中 取CE上一點(diǎn)H 使 CFH B 若BG 1 求EH的長 解析 圖 1 證明 DM EF AMD AFE AFE A AMD A DM DA 2 證明 D E分別為AB BC的中點(diǎn) DE AC 圖 DEB C BDE A 又 AFE A BDE AFE BDG GDE C FEC BDG C EDG FEC DEG ECF 圖 3 解法一 如圖 所示 BDG C DEB B B BDG BED 即BD2 BE BG A AFE B CFH C 180 AFE CFH EFH 又 FEH CEF EFH ECF 即EF2 EH EC DE AC DM EF 四邊形DEFM是平行四邊形 EF DM AD BD BE EC EH BG 1 解法二 如圖 在DG上取一點(diǎn)N 使DN FH 圖 A AFE ABC CFH C BDG EFH 180 AFE CFH C BDG DE AC DM EF 四邊形DEFM是平行四邊形 EF DM AD BD BDN EFH BN EH BND EHF BNG FHC BDG C DBG CFH BGD FHC BNG BGD BN BG EH BG 1 解法三 如圖 取AC中點(diǎn)P 連接PD PE PH 則PE AB 圖 PEC B 又 CFH B PEC CFH 又 C C CEP CFH CEF CPH CFE CHP 由 2 可得 CFE DGE CHP DGE PH DG D P分別為AB AC的中點(diǎn) DP GH DP BC BE 四邊形DGHP是平行四邊形 DP GH BE EH BG 1 解法四 如圖 作 EHF的外接圓交AC于另一點(diǎn)P 連接PE PH 圖 則 HPC HEF FHC CPE B CFH C C A CHF A CPE PE AB DE AC 四邊形ADEP是平行四邊形 DE AP AC DE CP 由 2 可得 GDE CEF DEB C GDE CPH DEG PCH GE HC EH BG 1 圖 解法五 如圖 取AC中點(diǎn)P 連接PE PH 則PE AB PEC B 又 CFH B PEC CFH 又 C C CEP CFH CEF CPH CEF CPH 由 2 可得 CEF EDG C DEG D E分別是AB BC的中點(diǎn) DE AC PC DEG PCH CH EG EH BG 1 1 2017四川成都 8 3分 如圖 四邊形ABCD和A B C D 是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形 若OA OA 2 3 則四邊形ABCD與四邊形A B C D 的面積比為 A 4 9B 2 5C 2 3D 考點(diǎn)二圖形的位似 答案A由位似圖形的性質(zhì)知 所以 故選A 2 2015甘肅蘭州 17 4分 如果 k b d f 0 且a c e 3 b d f 那么k 答案3 解析由題意得a bk c dk e fk 則a c e k b d f 3 b d f 故k 3 3 2015天津 16 3分 如圖 在 ABC中 DE BC 分別交AB AC于點(diǎn)D E 若AD 3 DB 2 BC 6 則DE的長為 答案 解析 DE BC ADE ABC DE 4 2018陜西 20 7分 周末 小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬 測量時 他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹 將其底部作為點(diǎn)A 在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B 使得AB與河岸垂直 并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC 再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D 豎起標(biāo)桿DE 使得點(diǎn)E與點(diǎn)C A共線 已知 CB AD ED AD 測得BC 1m DE 1 5m BD 8 5m 測量示意圖如圖所示 請根據(jù)相關(guān)測量信息 求河寬AB 解析 CB AD ED AD ABC ADE 90 BAC DAE ABC ADE 3分 5分 BC 1m DE 1 5m BD 8 5m AB 17m 河寬AB為17m 7分 思路分析首先根據(jù) ABC ADE BAC DAE判定 ABC ADE 再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 進(jìn)而可求得AB的值 方法指導(dǎo)解與三角形有關(guān)的實際應(yīng)用題時應(yīng)注意的事項 審題 結(jié)合圖形通讀題干 第一時間鎖定采用的知識點(diǎn) 如 觀察題圖是否含有已知度數(shù)的角 如果含有 考慮利用銳角三角函數(shù)解題 如果僅涉及三角形的邊長 則采用相似三角形的性質(zhì)解題 篩選信息 由于實際問題文字閱讀量較大 因此篩選有效信息尤為關(guān)鍵 構(gòu)造圖形 只要是與三角形有關(guān)的實際問題都會涉及圖形的構(gòu)造 如果題干中給出了相應(yīng)的圖形 則可直接利用所給圖形進(jìn)行計算 必要時可添加輔助線 若未給出圖形 則需要通過 中獲取的信息構(gòu)造幾何圖形進(jìn)行解題 5 2015寧夏 20 6分 在平面直角坐標(biāo)系中 ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A 2 4 B 3 2 C 6 3 1 畫出 ABC關(guān)于x軸對稱的 A1B1C1 2 以M點(diǎn)為位似中心 在網(wǎng)格中畫出 A1B1C1的位似圖形 A2B2C2 使 A2B2C2與 A1B1C1的相似比為2 1 解析 1 如圖所示 3分 2 如圖所示 6分 考點(diǎn)一相似的性質(zhì)與判定1 2017鄭州二模 6 如圖 兩條直線l4 l5分別被三條平行直線l1 l2 l3所截 若AB 3 BC 6 DE 2 則DF的長為 A 4B 5C 6D 7 三年模擬 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 答案C l1 l2 l3 EF 4 DF DE EF 6 故選C 2 2016安陽一模 6 如圖 AB CD AD與BC相交于點(diǎn)O 若AO 2 DO 4 BO 3 則BC的長為 A 6B 9C 12D 15 答案B AB CD CO 6 BC BO OC 3 6 9 故選B 3 2018鄭州二模 13 如圖 在 ABC中 C 90 D是AC上一點(diǎn) DE AB于點(diǎn)E 若AC 8 BC 6 DE 3 則AD的長為 答案5 解析在Rt ABC中 AB 10 DE AB AED 90 C AED AED ACB AD 5 4 2017開封一模 12 如圖 在 ABC中 DE AC 則DE AC 答案5 8 解析在 ABC中 DE AC BDE BAC 5 2016鄭州一模 10 已知四條線段a b c d是成比例線段 即 其中a 3cm b 2cm c 6cm 則d cm 答案4 解析因為a 3cm b 2cm c 6cm 所以 所以d 4cm 6 2018信陽一模 22 1 問題發(fā)現(xiàn) 如圖 在等邊三角形ABC中 點(diǎn)M為BC邊上異于B C的一點(diǎn) 以AM為邊作等邊三角形AMN 連接CN NC與AB的位置關(guān)系為 2 深入探究 如圖 在等腰三角形ABC中 BA BC 點(diǎn)M為BC邊上異于B C的一點(diǎn) 以AM為邊作等腰三角形AMN 使 ABC AMN AM MN 連接CN 試探究 ABC與 ACN的數(shù)量關(guān)系 并說明理由 3 拓展延伸 如圖 在正方形ADBC中 AD AC 點(diǎn)M為BC邊上異于B C的一點(diǎn) 以AM為邊作正方形AMEF 點(diǎn)N為正方形AMEF的中心 連接CN 若BC 10 CN 試求EF的長 解析 1 NC AB 2 ABC ACN 理由如下 1且 ABC AMN ABC AMN AB BC BAC 180 ABC AM MN MAN 180 AMN BAC MAN BAM CAN ABM ACN ABC ACN 3 如圖 連接AB AN 四邊形ADBC AMEF為正方形 點(diǎn)N為正方形AMEF的中點(diǎn) ABC BAC 45 MAN 45 BAC MAC MAN MAC 即 BAM CAN ABM ACN BM CN 2 CM BC BM 8 在Rt AMC中 AM 2 EF AM 2 思路分析 1 根據(jù) ABC AMN為等邊三角形 運(yùn)用判定定理SAS證明 BAM CAN 即可得到 B ACN BAC 得出NC AB 2 根據(jù)條件判定 ABC AMN 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 又 BAM CAN 證明 ABM CAN 得到 ABC ACN 3 連接AB AN 類比第 2 問解題過程 根據(jù)正方形的性質(zhì)證明 ABM ACN 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 得到BM 2 CM 8 再根據(jù)勾股定理即可得到答案 7 2017濮陽一模 22 1 問題發(fā)現(xiàn)如圖1 在Rt ABC中 AB AC 2 BAC 90 點(diǎn)D為BC的中點(diǎn) 以CD為一邊作正方形CDEF 點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合 則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為 2 拓展探究在 1 的條件下 如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn) 連接BE CE AF 線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化 請僅就圖2的情形給出證明 3 問題解決當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B E F三點(diǎn)共線時 直接寫出線段AF的長 解析 1 BE AF 2 無變化 證明 在Rt ABC中 BAC 90 AB AC ACB 45 四邊形CDEF是正方形 FCE 45 ACB FCE ACB ACE FCE ACE 即 ECB FCA ECB FCA 即BE AF 3 AF 1或AF 1 8 2016許昌一模 22 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于點(diǎn)D 點(diǎn)E是直線AC上一動點(diǎn) 連接DE 過點(diǎn)D作FD ED 交直線BC于點(diǎn)F 1 探究發(fā)現(xiàn) 如圖1 若m n 點(diǎn)E在線段AC上 則 2 數(shù)學(xué)思考 如圖2 若點(diǎn)E在線段AC上 則 用含m n的代數(shù)式表示 當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動時 中的結(jié)論是否仍然成立 請僅根據(jù)圖3的情形給出證明 3 拓展應(yīng)用 若AC BC 2 DF 4 請直接寫出CE的長 解析 1 1 2 成立 證明如下 ACB 90 A ABC 90 CD AB DCB ABC 90 A DCB FDE ADC 90 FDE CDE ADC CDE 即 ADE CDF ADE CDF A A ADC ACB 90 ADC ACB 3 CE的長為2或 1 2017重慶江津一模 6 在平面直角坐標(biāo)系中 ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是 2 3 若以原點(diǎn)O為位似中心 畫三角形ABC的位似圖形 A B C 使 ABC與 A B C 的相似比為 則A 的坐標(biāo)為 A B C 或D 或 考點(diǎn)二圖形的位似 答案C 解析 ABC與 A B C 的相似比為 A B C 與 ABC的相似比為 位似中心為原點(diǎn)O A 或A 即A 或A 故選C 1 2017安陽一模 10 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn)A 2 4 點(diǎn)B在直線OA上 且OA 2OB 則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 A 1 2 B 1 2 C 4 8 D 1 2 或 1 2 B組2016 2018年模擬 提升題組 時間 35分鐘分值 25分 一 選擇題 每小題3分 共9分 答案D 點(diǎn)B在直線OA上 且OA 2OB OB與OA的位似比為 A 2 4 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 1 2 或 1 2 故選D 思路分析在平面直角坐標(biāo)系中 位似比為1 2的點(diǎn)的坐標(biāo)有兩個 2 2016焦作一模 7 如圖 在 ABCD中 點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn) EC交對角線BD于點(diǎn)F 則EF FC等于 A 3 2B 3 1C 1 1D 1 2 答案D在 ABCD中 AD BC AD BC E為AD的中點(diǎn) ED AD BC AD BC EFD CFB 故選D 思路分析根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知AD BC 得 EFD CFB 從而得EF FC ED BC 1 2 3 2016新鄉(xiāng)一模 7 如圖 在 ABC中 AD平分 BAC 按如下步驟作圖 第一步 分別以點(diǎn)A和D為圓心 大于AD的長為半徑作弧 兩弧相交于M N兩點(diǎn) 第二步 作直線MN 分別交AB AC于點(diǎn)E F 第三步 連接DE DF 若BD 6 AF 4 CD 3 則BE的長是 A 2B 4C 6D 8 答案D由MN的作法可知 MN是AD的垂直平分線 根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)有AE ED AF DF 所以 AFD和 AED是等腰三角形 所以 1 2 3 4 又因為AD平分 BAC 所以 1 3 所以 1 2 3 4 所以ED AC AE FD 所以四邊形AEDF是平行四邊形 因為AE DE 所以平行四邊形AEDF為菱形 所以AE ED DF AF 4 因為ED AC 所以 BED BAC 所以 所以 解得BE 8 經(jīng)檢驗BE 8為原方程的解 故選D 思路分析由作法知四邊形AEDF是菱形 則DE AC AE AF 4 由 BED BAC求得BE的長 4 2017鄭州一模 12 如圖 在 ABC中 D E分別是AB和AC上的點(diǎn) 且DE BC 如果AB 12cm AD 9cm AC 8cm 那么AE的長是 二 填空題 每小題3分 共6分 答案6cm 解析 DE BC ADE ABC AE 6cm 思路分析根據(jù)DE BC得到 ADE ABC 由相似的性質(zhì)求得AE的長 5 2017南陽一模 14 如圖 等邊 ABC被一平行于BC的矩形所截 AB被截成三等份 若BC a 則圖中陰影部分的面積是 答案a2 解析由題意知EH FG BC 由AB被截成三等份 得AH HG GC AE EF FB 所以S ABG S ABC S陰影 S ABG S ABC 在等邊 ABC中 BC a 所以S陰影 a2 6 2016新鄉(xiāng)二模 22 10分 問題背景 已知在 ABC中 AB邊上的動點(diǎn)D由A向B運(yùn)動 與A B不重合 同時 點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長線方向運(yùn)動 E不與C重合 連接DE交AC于點(diǎn)F 點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn) 求的值 1 初步嘗試如圖1 若 ABC是等邊三角形 DH AC 且點(diǎn)D E的運(yùn)動速度相等 小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過點(diǎn)D作DG BC 交AC于點(diǎn)G 先證GH AH 再證GF CF 從而求得的值為 2 類比探究如圖2 若在 ABC中 ABC 90 ADH BAC 30 且點(diǎn)D E的運(yùn)動速度之比是 1 求的值 三 解答題 共10分 圖1圖2圖3 3 延伸拓展如圖3 若在 ABC中 AB AC ADH BAC 36 記 m 且點(diǎn)D E的運(yùn)動速度相等 試用含m的代數(shù)式表示的值 直接寫出結(jié)果 不必寫解答過程 解析 1 2 2 如圖 過點(diǎn)D作DG BC 交AC于點(diǎn)G 則 ADG B 90 BAC ADH 30 AH DH HGD HDG 60 GH DH AD GD AH GH 由題意可知 AD CE GD CE DG BC GDF CEF DGF ECF GDF CEF GF CF GH GF AH CF 即HF AH CF 2 3 思路分析 1 根據(jù)題意構(gòu)造全等三角形 得GF CF 由等邊三角形的性質(zhì)得AH GH 從而求得的值 2 類比第 1 問構(gòu)造全等三角形 結(jié)合含30 角的直角三角形的三邊之比為1 2 表示GD AD AG的關(guān)系 求出的值 3 類比 1 和 2 的解法 得到相似三角形 則 m m 所以 解題關(guān)鍵作DG BC 構(gòu)造全等三角形或相似三角形 結(jié)合全等或相似的性質(zhì) 表示并計算邊與邊 線段與線段間的數(shù)量關(guān)系