浙江省五校聯(lián)盟2023～2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月聯(lián)考試題

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1、浙江省五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求. 1.若全集,集合A,B及其關(guān)系如圖所示,則圖中陰影部分表示的集合是( ) A. B. C. D. 2.已知,且,則與的夾角的余弦值為( ) A. B. C. D. 3.設(shè)b,c表示兩條直線,表示兩個(gè)平面,則下列說法中正確的是( ) A.若,則 B.若,則 C.若,則 D.若,則 4.已知角的終邊過點(diǎn),則( ) A. B. C

2、. D. 5.設(shè)等比數(shù)列的公比為,前項(xiàng)和為,則“”是“為等比數(shù)列”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 6.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,且,則的最小值為( ) A. B.8 C. D. 7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn),以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P,Q兩點(diǎn),且,則該雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 8.在等邊三角形ABC的三邊上各取一點(diǎn)D,E,F,滿足,則三角形ABC的面積的最大值是( ) A. B.

3、 C. D. 二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分. 9.在學(xué)校組織的《青春如火,初心如炬》主題演講比賽中,有8位評(píng)委對(duì)每位選手進(jìn)行評(píng)分(評(píng)分互不相同),將選手的得分去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高評(píng)分,則下列說法中正確的是( ) A.剩下評(píng)分的平均值變大 B.剩下評(píng)分的極差變小 C.剩下評(píng)分的方差變小 D.剩下評(píng)分的中位數(shù)變大 10.在三棱錐中,已知,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，則( ) A.MN⊥AD B.異面直線AN,C

4、M所成的角的余弦值是 C.三棱錐的體積為 D.三棱錐的外接球的表面積為 11.已知函數(shù),則( ) A.的零點(diǎn)為 B.的單調(diào)遞增區(qū)間為 C.當(dāng)時(shí),若恒成立,則 D.當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作的圖象的所有切線,則所有切點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分. 12.直線的一個(gè)方向向量是. 13.甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)羽毛球比賽的冠軍,比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,則在甲獲得冠軍的情況下,比賽進(jìn)行了三局的概率為. 14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,記,若均為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則. 四、解答題:本題共5小題,共77分.

5、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15.(本小題滿分13分)如圖,斜三棱柱的底面是直角三角形,,點(diǎn)在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn),且. (I)求證:平面平面; (II)若斜棱柱的高為,求平面與平面夾角的余弦值. 16.(本小題滿分15分)己知函數(shù),其中. (I)若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求的值; (II)是否存在實(shí)數(shù),使得在上的最大值是-3?若存在,求出的值;若不存在,說明理由. 17.(本小題滿分15分)記復(fù)數(shù)的一個(gè)構(gòu)造:從數(shù)集中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)作為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.重復(fù)次這樣的構(gòu)造,可得到個(gè)復(fù)數(shù),將它們的乘積記為. 已知復(fù)數(shù)具有運(yùn)算性質(zhì):

6、,其中. (I)當(dāng)時(shí),記的取值為,求的分布列; (II)當(dāng)時(shí),求滿足的概率; (III)求的概率. 18.(本小題滿分17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,我們把點(diǎn)稱為自然點(diǎn).按如圖所示的規(guī)則,將每個(gè)自然點(diǎn)進(jìn)行賦值記為,例如,. (I)求; (II)求證:; (III)如果滿足方程,求的值. 19.(本小題滿分17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)的直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn)在第一象限). (I)當(dāng)時(shí),求直線的方程; (II)若三角形OMN的外接圓與曲線交于點(diǎn)(異于點(diǎn)O,M,N), (i)證明:△MND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值; (ii)求凸四邊形OMDN的面

7、積的取值范圍. 參考答案 一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的. 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B C A C A 二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分. 題號(hào) 9 10 11 答案 BC ABD ACD 三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分. 12.(答案不唯一) 13. 14.-6 四、解答題:本大題共5小題,共77分

8、.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15.(本小題滿分13分)(第I問,6分;第II問,7分) 解:(I)取BC中點(diǎn)為,連接在底面內(nèi)的射影恰好是BC中點(diǎn), 平面ABC,又平面, 又, 平面平面, 又平面平面平面. (II)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,, , , 設(shè)平面的法向量為, 則有,令,則, 設(shè)平面的法向量為, 則有,令則, , 平面與平面夾角的余弦值為. 16.(本小題滿分15分)(第I問,6分;第II問,9分) (I),則, 故曲線在處的切線為, 即, 當(dāng)時(shí),此時(shí)切線為,不符合要求 當(dāng)時(shí),令,有, 令,有,故,即,故

9、 (II), ①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增, 的最大值是,解得,舍去; ②當(dāng)時(shí),由,得, 當(dāng),即時(shí),時(shí),時(shí),, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是, 又在上的最大值為; 當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,, 解得,舍去.綜上,存在符合題意,此時(shí) 17.(本小題滿分15分)(第I問,6分;第II問,4分;第III問,5分) (I)由題意可知,可構(gòu)成的復(fù)數(shù)為, 的可能取值為, ， ， 所以分布列為: X 1 2 3 4 (II)共有種, 滿足的情況有: ①3個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1,共有種; ②3個(gè)復(fù)數(shù)中,2個(gè)模長(zhǎng)均為1,1個(gè)模長(zhǎng)為或者

10、2,共有種; 所以. (III)當(dāng)或2時(shí),顯然都滿足,此時(shí); 當(dāng)時(shí),滿足共有三種情況: ①個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1,則共有; ②個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1,剩余1個(gè)模長(zhǎng)為或者2,則共有; ③個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1,剩余2個(gè)模長(zhǎng)為或者2,則共有. 故, 此時(shí)當(dāng)均成立. 所以. 18.(本小題滿分17分)(第I問,4分;第II問,7分;第III問,6分) 解:(I)根據(jù)圖形可知, (II)固定,則為一個(gè)高階等差數(shù)列,且滿足 所以 所以,,所以 P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024 等價(jià)于, 等價(jià)于 即, 化簡(jiǎn)得, 由

11、于增大,也增大, 當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),, 故當(dāng)時(shí),,即 19.(本小題滿分17分)(第I問,4分;第II問,5分;第III問,8分) 解:(I)設(shè)直線 聯(lián)立,消去,得, 所以, ,則 ,則,又由題意, 直線的方程是; (II)(i)方法1:設(shè) 因?yàn)镺,M,D,N四點(diǎn)共圓,設(shè)該圓的方程為, 聯(lián)立,消去,得, 即， 所以即為關(guān)于的方程的3個(gè)根, 則, 因?yàn)? 由的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得,,所以的重心的縱坐標(biāo)為0. 方法2:設(shè),則, 因?yàn)镺,M,C,N四點(diǎn)共圓,所以,即, 化簡(jiǎn)可得:, 所以的重心的縱坐標(biāo)為0. (ii)記的面積分別為,由已知得直線MN的斜率不為0設(shè)直線,聯(lián)立,消去,得,所以, 所以, 由(i)得,, 所以,即, 因?yàn)? 點(diǎn)到直線MN的距離, 所以, 所以 在第一象限,即, 依次連接O,M,D,N構(gòu)成凸四邊形OMDN,所以,即, 又因?yàn)?即,即, 所以,即,即, 所以, 設(shè),則, 令,則, 因?yàn)?所以,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以, 所以的取值范圍為.