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2019-2020年高考數學一輪復習 4.1 函數與方程教案 新課標
【知識歸納】
一、二次函數的圖象和性質
1．二次函數的解析式的三種形式
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
(2)頂點式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是拋物線的頂點坐標。
(3)兩根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸兩交點的坐標。
2．二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點坐標
（1）a>0時，拋物線開口向上，函數在上單調遞減，在上單調遞增，時，
（2）a<0時，拋物線開口向下，函數在上單調遞增，在上單調遞減，時，
3．二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)當時圖象與x軸有兩個交點M1(x1,0),M2(x2,0)，
二、三個二次（二次函數、一元二次方程及一元二次不等式）的關系
設a>0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的兩個實根，
△情況
類型
△>0
△=0
△<0
圖象
ax2+bx+c=0的解即函數零點
x=x1或x=x2(x1
0解
xx2
x≠x1
R
ax2+bx+c<0解
x10恒成立問題含參不等式ax＋bx＋c>0的解集是R；其解答分a＝0(驗證bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）兩種情況
三、實系數一元二次方程 的實根符號與系數的關系：
韋達定理：方程（）的二實根為、，
則且
①兩個正根，則需滿足，
②兩個負根，則需滿足，
③一正根和一負根，則需滿足
四、一元二次方程根的分布條件
根的分布
x11時，
綜上所述：a= - 1或a=2
例3．已知二次函數為常數，且 滿足條件：，且方程有等根
（1）求的解析式；
（2）是否存在實數、，使定義域和值域分別為［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由
解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2 ．
由知此函數圖象的對稱軸方程為，得，
故 ．
（2），∴4n1，即
而拋物線的對稱軸為 ∴時，在［m，n］上為增函數
若滿足題設條件的m，n存在，則，
又， ∴，這時定義域為［–2，0］，值域為［–8，0］
由以上知滿足條件的m、n存在， ．
二、關于根的分布問題
例4．已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（-1，0）內，另一根在區(qū)間（1，2）內，求m的取值范圍。
(2)若方程兩根在區(qū)間（0，1）內，求m的范圍。
分析：一般需從三個方面考慮①判別式Δ②區(qū)間端點函數值的正負③對稱軸與區(qū)間相對位置。
解：設f(x)=x2+2mx+2m+1
(1)由題意畫出示意圖
（2）
例5．若關于x的方程有實根，求實數a的取值范圍．
解：設，則原方程可變?yōu)棰?
原方程有實根，即方程①有正根．
令
(1)方程①有兩個正實根，則解得；
（2）方程①有一個正實根和一個負實根，則，解得：．
（3）得，符合題意
綜上：
（選講）設f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b
（1）求證：函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個交點；
（2）設f(x)與g(x)的圖象交點A、B在x軸上的射影為A1、B1，求｜A1B1｜的取值范圍；
證明（1）：∵f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 ∴f(1)=a+b+c=0
又a＞b＞c ∴3a＞a+b+c＞3c ∴a＞0,c＜0
由
∴Δ=(b－a)2－4a(c－b)＝(b+a)2－4ac＞0
故函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個交點；
解（2）：設A、B的坐標分別為（x1,y1）、（x2，y2），則x1、x2是方程（*）的兩根故x1+x2=－,x1x2=,
由題意，
｜A1B1｜=｜x1－x2｜=
==
?。?
∵a＞b＞c,a+b+c=0∴a＞－(a+c)＞c ∴－2＜＜－
∴｜A1B1｜的取值范圍是（，2）
【補充作業(yè)】
1．已知關于的方程有兩個不同的實根，求的取值范圍.
解：設，原方程化為：，即
…………………………①
原問題等價于方程①有兩個不同的正根，解得：.
2．方程在（- 1，1）上有實根，求k的取值范圍。
解法一：方程有兩解時，，方程只有一解時。綜合可得：
解法二：變量分離法：因為，可得二次函數的值域為
3．已知，t∈[，8]，對于值域內的所有實數m，不等式恒成立，求的取值范圍．
解：∵t∈[，8]，∴ ∈[，3]， ∴∈[，3] ．
原題轉化為：>0恒成立，
當時，不等式不成立．
∴，令，m∈[，3]，
則：，解得：．
∴的取值范圍為．
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