2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1《數(shù)學(xué)歸納法》教案 新人教版選修4-5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1《數(shù)學(xué)歸納法》教案 新人教版選修4-5 教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫. 教學(xué)重點：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題. 教學(xué)難點：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準備： 1. 分析：多米諾骨牌游戲. 成功的兩個條件：（1）第一張牌被推倒；（2）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒. 回顧：數(shù)學(xué)歸納法兩大步：（i）歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立；（ii）歸納遞推：假設(shè)n=k（k≥n0， k∈N*）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立. 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 2. 練習(xí)：已知，猜想的表達式，并給出證明？ 過程：試值，，…，→ 猜想 → 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 3. 練習(xí)：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式對一切自然數(shù)n都成立，試證明你的結(jié)論. 二、講授新課： 1. 教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用： ① 出示例1：求證 分析：第1步如何寫？n=k的假設(shè)如何寫？ 待證的目標式是什么？如何從假設(shè)出發(fā)？ 關(guān)鍵：在假設(shè)n=k的式子上，如何同補？ 小結(jié)：證n=k+1時，需從假設(shè)出發(fā)，對比目標，分析等式兩邊同增的項，朝目標進行變形. ② 出示例2：求證：n為奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除. 分析要點：（湊配）xk+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2yk－x2yk =x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(y－x). ③ 出示例3：平面內(nèi)有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任何三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓將平面分成f(n)=n2－n+2個部分. 分析要點：n=k+1時，在k+1個圓中任取一個圓C，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓C與k個圓有2k個交點，這2k個交點將圓C分成2k段弧，每段弧將它所在的平面部分一分為二，故共增加了2k個平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2. 2. 練習(xí)： ① 求證: （n∈N*）. ② 用數(shù)學(xué)歸納法證明： （Ⅰ）能被264整除； （Ⅱ）能被整除（其中n，a為正整數(shù)） ③ 是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）3n+9對任意正整數(shù)n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由. 3. 小結(jié)：兩個步驟與一個結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”；從n=k到n=k+1時，變形方法有乘法公式、因式分解、添拆項、配方等. 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)：教材50 1、2、5題 2. 作業(yè)：教材50 3、4、6題. 第二課時 4.2 數(shù)學(xué)歸納法 教學(xué)要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫. 教學(xué)重點：能用數(shù)學(xué)歸納法證明幾個經(jīng)典不等式. 教學(xué)難點：理解經(jīng)典不等式的證明思路. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準備： 1. 求證：. 2. 求證：. 二、講授新課： 1. 教學(xué)例題： ① 出示例1：比較與的大小，試證明你的結(jié)論. 分析：試值 → 猜想結(jié)論 → 用數(shù)學(xué)歸納法證明 → 要點：…. 小結(jié)：試值→猜想→證明 ② 練習(xí)：已知數(shù)列的各項為正數(shù)，Sn為前n項和，且，歸納出an的公式并證明你的結(jié)論. 解題要點：試值n=1,2,3,4， → 猜想an → 數(shù)學(xué)歸納法證明 ③ 出示例2：證明不等式. 要點： ④ 出示例3：證明貝努利不等式. 2. 練習(xí)：試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有an+cn＞2bn. 解答要點：當(dāng)a、b、c為等比數(shù)列時，設(shè)a=, c=bq (q＞0且q≠1). ∴ an+cn=…. 當(dāng)a、b、c為等差數(shù)列時，有2b=a+c，則需證＞()n (n≥2且n∈N*). …. 當(dāng)n=k+1時，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+akc+cka) =(ak+ck)(a+c)＞()k()=()k+1 . 3. 小結(jié)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式；技巧：湊配、放縮. 三、鞏固練習(xí)： 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： . 2. 已知. 3. 作業(yè)：教材P54 3、5、8題. 來源：